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数学形式的暗合:电(磁)偶极相互作用势能 与 强相互作用张量力

已有 2319 次阅读 2022-11-12 17:11 |系统分类:科普集锦


本文作者第一次读到 “暗合”一词是在三国演义里的一个情节。杨修把曹操的《孟德新书》给蜀国使者张松看,张松看了一下大笑说:“丞相秘藏之书,虽已成帙,未传于世。公言蜀中小儿暗诵如流,何相欺乎?”。随后当面给杨修背诵一遍,毫无差错。杨修随后告知曹操此事,曹操说:“莫非古人与我暗合否?”于是令人把书烧掉。曹操当然足智多谋,竟也被骗,不过此事却反映曹操可爱可敬之处:明明是自己耗费心血写了一本书,可是与古人“暗合”就羞愧不已而烧掉 [对比现在个别学者抄袭他人文章竟也登堂入室,相比之下,何如?!]。因此,在本文中“暗合”一词没有通常中文包含的那种贬义,属于中性词汇。

 

本文作者多年来讲授《电动力学》和《原子核理论》风格迥异的二门课程。电动力学应该是物理的理论基础课程中形式最优美的,而核理论课程是我知道的最庞杂并有一定难度的理论课程;二者内容和方法相差很多。本文目的是指出, 在这两门课程中有看起来很不同的物理量在数学形式上存在“暗合”,而这种暗合其实又不是偶然的。本文作者认为这个暗合是有趣的、有帮助的,所以写出来娱乐一下同行或后学者们。

 

在电磁理论中有一道典型习题,讨论两个电偶极的势能。做法很简单,就是先计算其中一个电偶极矩 p_1(矢量) 产生的电场强度 E_1(矢量),二个电偶极相互作用电场势能可以用电偶极矩在外场中的能量表示,即取负的 p_2(矢量) 点乘 E_1(矢量)。形式为

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两个磁偶极矩系统磁场的势能形式与上式相同,不过把电偶极矩换为磁偶极矩、系数和物理量量纲不同而已,即

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 这两个结果是经典电磁学中的典型习题答案。


在原子核结构理论中也有一个典型练习题,是关于氘核结构的。氘核是两体系统,可以简化为一个质心运动和一个相对运动,如果不考虑质心运动,那么可以变成单体问题。氘核内的质子和中子之间存在吸引的相互作用。如果质子和中子之间的相互作用是中心势场,那么氘核的轨道角动量是一个守恒量。氘核只有一个束缚态,最低能级当然是轨道角动量等于零。在这种情况下氘核的电四极矩应该等于零,而实验上测量氘核电四极矩是一个很小的数值,是正的 0.28590 e-fm^2. 因此氘核基态不是纯粹的轨道角动量等于零状态,也就是说, 氘核内质子-中子相互作用除了中心势之外还有其它的“非中心势”,这就是俗称的“张量力”,这也是核子-核子相互作用中存在张量力最简单而直接的证据。在确定张量力算符的数学形式时核物理教科书上还有许多小练习或讨论,说明为什么张量力算符一定写成下面的形式

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这里不讨论那些小练习。作为第一步,本文指出:两个电偶极静电势能或磁偶极磁场势能的数学形式与张量力算符的形式是一致的(除去把偶极矩换成自旋算符 以及 r^3 和一些常量系数依赖之外)。实际使用的核子-核子张量力在上式的S_12 前面还有一堆关于两个核子之间距离、总自旋、同位旋依赖十分复杂的形式,不过张量力算符一定是上式的 S_12。理解张量力算符是有些抽象的,特别是刚开始接触时对它的矩阵元运算规则不熟悉时容易甚至有一点儿畏惧心理, 关于张量力一个有些拗口的简单解说词是“两个核子自旋相对取向依赖的非中心力成分”,因为自旋本来是粒子内禀自由度,张量力的理解就更抽象了;部分同行们可能只是听过张量力这几个字儿,对于张量力的理解不够深入。另一方面,经典的电(磁)偶极相互作用是在大学低年级时就接触到了,因此可以由此得到张量力的一个直观图像,因为张量力的数学形式与偶极相互作用在数学形式上完全相同,因此用电(磁)偶极相互作用势能作比方来理解张量力,在图像上就十分直观了。

 

也许有些读者立即会有不同看法。经典的偶极相互作用处理的是经典的物理量,而张量力讨论的是十分复杂的强相互作用的非中心成分,二者似乎是风马牛不相及的,是不是乱弹琴呢? 本文作者曰:不然也!这样做其实是可以的。

 

为什么呢?我们回到质子-中子相互作用的事情。我们在核结构理论中往往把质子-中子都近似为点粒子(虽然不是点粒子),它们都有磁矩,其中中子的磁矩为 -1.913 mu_N, 质子的磁矩为 2.793 mu_N. 这两个磁矩相互作用是什么?数学形式还就是前面的那个 V-m1m2;其中的两个磁矩无论是 m1 还是 m2 都正比于各自的自旋,因此这个质子-中子系统磁场势能算符 V-m1m2 在数学形式也正是核物理中张量力的形式!这样一来,就不仅仅在数学形式上“暗合”了,而是真的相同了!!! 当然,强相互作用的张量力与磁场部分的势能在物理概念上完全不是一回事,这一点要清楚。

 

在原子核物理教科书中,本文作者从未看到有任何作者讨论磁场对于核结构的影响,这一点其实有些令人奇怪。我们都知道磁场部分贡献非常小,但是绝不是象万有引力那么小,一般情况也是几十keV 量级;这对比起其它部分贡献来说确实小了很多,但是绝对不是不存在,也许只是我们可能不知道这个部分对于原子核带来什么可观测的效应。最近几年本文作者在不同场合跟朋友们多次提到这个问题,或许也希望聪明的同行们或好事的读者们思考。另一方面,我又比较悲观,因为磁矩相互作用与张量力形式相同,其数值就是那么一点点,很容易淹没在数值大得多的强相互作用部分,因为二者贡献在实验上可能是不可区分的。 这正如我们可能永远不能知道电子的总质量中有多少成分来自于惯性质量和电场[和磁场]部分一样。电子有电场,电场能量也对应质量,这是在许多教科书里已经提到的;其实电子还有磁矩,因此也有磁场能量,不过磁场能量小,迄今谁都不去理会它。电磁质量可能永远无法从电子的总质量中剥离开来。类似地,人类难以在实验测量方面把氘核系统质子-中子的磁场势能从总的张量力中剥离开来。想想这些,心里不免对上帝有那么一点儿崇拜、而对于自己有那么一点儿气馁。

 

本文作者下面再稍微乱侃一下,因此这一小段就属于过一过嘴瘾了。根据标准模型、或者超出标准模型的新物理研究,其实质子、中子这些微观粒子都有非零(但是极其微小、现在数值尚未具体知道)的电偶极矩,因此原则上[我说的是原则上] 原子核内也存在着质子-中子的电偶极相互作用势能,它们电偶极方向也都是自旋方向(或反方向)。因此与磁矩一样,可以堂而皇之地说,这个电偶极相互作用势能算符也取张量力算符相同形式;原则上[我说的是原则上]原子核内也有这部分能量纠缠进来。只不过这部分能量实在太小了,在数值上堪比乃至不如万有引力对于原子核总质量的贡献大,这部分“张量力”说起来真的仅仅是娱乐而已。

 

总而言之,理解核子-核子之间张量力初期稍有困难的读者们如果还记得电磁学内容,可以类比经典的偶极相互作用的数学形式,这种类比十分直观,容易得到一个经典图像。而实际上这种不同的物理量在数学形式上的“暗合”并不是偶然的,二者之间其实有内在的联系。

 

本文以此娱乐亲爱的读者朋友们,也请大方之家指正。




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2 王涛 亓斌

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