数学具有严谨的逻辑性。严谨的逻辑性是指逻辑推理的严密性，是数学区别于其它科学的最显著特点之一，但是，现有《随机过程》教科书中却出现了与第二次数学危机时相同的形式逻辑错误。

一、同一律

同一律（The Law Of Identity）是数学思维过程中必须要遵循的形式逻辑基本规律之一。

数学理论是从基本概念和基本假设出发，按照逻辑推理规则推导出的一系列命题和结论，从而构成具有一定逻辑结构的理论体系。

同一律是指数学理论在运用概念、作出判断、进行推理和论证时，所使用的数学概念必须要与其自身始终保持同一，同一律可用公式表示为：

同一律要求数学推理过程必须具有确定性。也就是说，无论一个数学概念被使用或重复多少次，这个数学概念的内涵和外延必须是确定的。

如果在同一数学思维过程中，用一个完全不同的概念去代替原有的概念进行推理和证明，就会违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，导致推导出的结论与经验事实不符，或逻辑上不能自洽。

二、第二次数学危机

数学史上共发生过三次数学危机，其中的第二次危机就是由于贝克莱（Berkeley）在1734年发现微积分理论中出现违反同一律的逻辑错误而导致的。

17世纪，微积分理论虽然在各个领域获得了广泛且成功的应用，但是其理论基础中却存在逻辑缺陷，对微积分理论的应用可靠性和逻辑严密性产生了严重威胁。

牛顿的微积分理论主要建立在无穷小概念之上。牛顿在函数求导过程中，一会儿说是零，一会儿又说不是零。从形式逻辑来看，这无疑是一个违反同一律的逻辑矛盾，证明建立微积分理论的基础中包含严重的逻辑缺陷。

由于贝克莱发现的逻辑错误使微积分理论的合理性遭到严重质疑，而牛顿和莱布尼茨又无法消除微积分理论中的逻辑缺陷，导致当时的数学界产生了极大的思想混乱和精神恐慌，动摇了人们的传统观念，整个微积分理论险被推翻，使数学家们陷入到极度不安的深渊之中，引发了持续150多年的数学危机。

整个18世纪，数学家的首要任务就是为微积分找出合乎逻辑的理论基础，几乎每一位数学家都为此做出了巨大的努力。

后来柯西（Cauchy）将极限概念作为微积分理论的基础，才消除了微积分理论违反同一律的逻辑错误，彻底解除了数学史上的第二次危机。

三、随机过程定义

自然界的事物变化过程可以分成两大类：确定过程和随机过程。

确定过程具有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程完全相同，所有试验结果可用同一个时间函数描述。研究确定过程现象及规律的数学工具是《微积分》。

随机过程没有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程均不相同，次试验结果要用个不同的时间函数进行描述（图1）。研究随机过程现象及规律的数学工具是《随机过程》。

图1 随机过程试验结果

《随机过程》教科书将随机过程的所有试验结果（一族时间函数）映射到样本空间，然后用二元函数来定义随机过程（图2）。

图2 随机过程定义示意图

随机过程有和两个变量，《随机过程》通常保持一个变量恒定来研究另一个变量的变化规律。

对于固定的样本点，是时间的函数，通常称为样本函数或样本轨道，简记为小写的。样本函数也被称为随机过程的物理实现，是一次随机试验的观察结果。

对于固定的时间，是样本点的函数，通常称为随机变量，简记为大写的。所有样本函数在时刻的取值就是随机变量在时刻的状态。

随机过程既可看成是一族样本函数的集合，也可看成是一族随机变量的集合。

四、逻辑错误分析

《随机过程》教科书的研究对象是一个质点在随机运动（随机游走、布朗运动或泊松跳跃）过程中位移和时间之间的数量关系（图3），或一次随机试验曲线的数学性质。

图3 布朗粒子位移曲线

根据随机过程定义，《随机过程》教科书的研究对象是固定样本点时的随机过程，亦即样本函数，或一次随机试验观测结果。

但是，《随机过程》教科书违反同一律，不加说明地用随机变量代替样本函数进行推理和证明，用随机变量的空间统计特性来描述样本函数的时间变化规律，出现了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，导致《随机过程》教科书出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题。

五、典型案例分析

布朗运动（维纳过程）定义违反同一律的逻辑错误。

设为一个布朗粒子在时刻的位移，，若

（1）为平稳独立增量过程；

（2），其中为常数；

（3）是的连续函数。

则称是参数为的布朗运动，或维纳过程。

在上述布朗运动（维纳过程）定义中，既是服从正态分布的随机变量，又是连续时间函数，而随机变量和时间函数是两个内涵与外延完全不同的概念，因此从形式逻辑的角度来看，布朗运动（维纳过程）定义中包含一个典型的违反同一律的逻辑矛盾。

六、总结

《微积分》是研究质点确定运动现象及规律的数学工具，《随机过程》是研究质点随机运动现象及规律的数学工具。第二次数学危机时《微积分》的逻辑错误：，；现有《随机过程》的逻辑错误：随机运动的质点在时刻的位移是时间函数，也是随机变量。第二次数学危机时《微积分》的可检验结论与经验事实相符；现有《随机过程》的可检验结论与经验事实不符，例如《随机过程》理论中布朗粒子瞬时速度无穷大或不存在，而《物理学》理论和实验结果表明：布朗粒子瞬时速度为白噪声，不仅存在，而且可观测。