由于邻间距等于零会导致实数轴上所有实数都变成一个点，故L-离散实数轴^[1]将邻间距定义为不等于零的常数或无限小。

    用上述邻间距概念很容易研究实数轴上有理数和无理数的分布。

    为此，我们首先要明确给出L-离散的实数轴上邻间距的表示方法。

    本文统一用无限小数表示实数_,例如

          1      可以表示为1.000...(或0.999...,但为了统一表述,本文不采用这种方法)

        -1/3     可以表示为-0.333…

         π      可以表示为3.14159…

    对任意a∈N, 称估算到一位小数的10个无限小数a.0..., a.1..., a.2..., ..., a.9...为1_小数, 其中每个小数后面的省略号表示任意循环或不循环无限小数，这些1_小数称为是1_相邻的, 其间隔称为1_邻间距,间隔的范围在开区间（0，0.2）内， 平均值为0.1;

    同理,10²个 2_相邻的小数a.00...,a.01...,a.02..., ..., a.99...., 其2_邻间距约为0.01,..., 故

    引理1 10ⁿ个n_相邻的无限小数的n_邻间距d_n≈10^-n。 

    推论  当n →∞时, n_邻间距 d_∞为趋于0但不等于0的无限小量。

    定理1 任意两个有理数之间的距离h 与n_邻间距的比值, 当n→∞时趋于无限，即h/d_∞=∞.

    证明 由于任一有理数都可以表示成与小数位数n 无关的整数之比，因此，任意两个有理数之间的距离h 也是一个与n无关的数，由引理1及其推论可知，lim_n→∞ h/dn=h/d_∞=∞。      证毕

    定义1 n→∞时，n_相邻的小数称为是∞_相邻的。

    推论 1 n →∞时，任意两个有理数不是∞_相邻的.

    证明  (反证) 若两个有理数∞_相邻, 则h/d_∞=1，与定理1矛盾. 证毕

    推论 1 的意义在于首次证明了有理数不能相邻，即有理数是单独存在的。

    推论 2 n →∞时,任意两个有理数之间必存在非有理数(称为无理数)。

    证明(反证)分两种情况证明1）n →∞时,若两个有理数之间不存在任何数，则两个有理数∞_相邻，与推论1矛盾；2）n →∞时,若两个有理数之间只存在有理数，则也会出现有理数 ∞_相邻的情况，仍然与推论1矛盾。证毕

    推论 2 的意义在于证明了无理数的存在，但比戴德金分割要简洁得多。

    推论 3 n →∞时，有理数和无理数可以∞_相邻。

    证明(反证)若有理数和无理数不能∞_相邻，则n→∞时，有理数之间就不能存在无理数，与推论2矛盾，证毕。

    推论4 n→∞时,任意两个有理数之间不能只有一个无理数.

    证明  (反证) n→∞时,若两个有理数之间只有一个无理数,则h=2d_∞，与定理1矛盾， 证毕

    如果数轴上无理数是单独存在的，则无理数的两边都是有理数，与推论4矛盾，所以，推论4说明，与有理数相反，

    推论 5 n →∞时，无理数只能∞_相邻，不能单独存在。

    推论 6 n →∞时，任意两个有理数之间不能只有有限个无理数.

    证明  (反证) 若这时只有有限个无理数,用m表示无理数的数目，则h=(m+1)d∞, 与定理1矛盾. 证毕

    如果数轴上无理数是以有限个无理数相邻的方式而存在的，则有限个无理数的两边都是有理数，与推论6矛盾，所以，推论6说明，

    推论 7 n →∞时，数轴上的无理数不能以有限个无理数相邻的方法而存在。

    定理 2 n→∞时，任意两个有理数之间有无限个无理数.

    证明  (反证) n→∞时，根据推论1，有理数是单独存在的，根据推论2，任意两个单独存在的有理数之间存在无理数，若这些无理数的数目是有有限的,则与推论6、7矛盾，故任意两个有理数之间有无限个无理数。证毕

    由有理数的稠密性可知，任意两个有理数之间都可以插入有理数，但由定理2可见，无论怎么插，有理数之间仍然有无数个无理数。

    打一个不太确切的比喻，如果我们在大海中插入极细的针（有理数），无论这些针分布得密还是疏，由于不能紧挨着（有理数不相邻），故针与针之间总有无数个水分子（无理数）。  

    由定理2可得：

    推论 n →∞ 时，数轴上任意区间内有理数的数目与全体实数的数目之比趋于零。

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    在用有理数的分划来定义无理数的时候^[2]，需要证明任何一个已经确定的第三类有理数分划Q’|Q（即Q’中无最大有理数数、Q中无最小有理数数）所确定的无理数是唯一的。为此，戴德金用反证法来证明这一点^[2]：如果分划Q’|Q确定的无理数不是唯一的，就可以利用有理数的稠密性在无理数之间插入有理数，从而和已经确定的分划Q’|Q矛盾，使反证成立。

     然而，由定理2可知，无理数的数目比有理数多，即无理数比有理数更稠密，为何可以在稠密的无理数之间随意插入相对稀疏的有理数？

     为了“证明”这是可以的，戴德金利用了有序域的阿基米德性^[2]：对任意两个有序元 a 和 b，总存在自然数,使得

                                N |a - b|>1                  (1)

然后用1/N 表示有理数的间距，|a - b|表示无理数的间距，从而只要N 足够大，就可以“证明”无理数的间距大于有理数的间距。

     然而，不但所得结论违反直觉，该证明在逻辑上也是不严格的(只要前提不违反直觉,反直觉的结论往往意味着逻辑不严格)。

    由定理1、2 可见,无论有理数的间距1/N 多么小，无理数的间距|a - b|还要小，因此式（1)不成立。

    虽然有序域的阿基米德性永远成立，但一旦其中的 N 和|a - b| 有了具体含义，其变化就不一定是任意的了，但戴德金却认为N 的大小可以独立于|a - b|而任意变化，从而造成了错误。

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结论

    1）在L-离散实数轴上，有理数是单独存在的，无理数则成片存在：任意两个有理数之间有无限个无理数，无理数的数目远远大于有理数。

    2）有理数的第三类分划 Q’|Q 所对应的无理数不是唯一的，即无法用该分划定义唯一的无理数。

[1]李鸿仪.在L-离散空间基础上重建数学基础

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1244583

[2] 华师大.数学分析