世记大错的铸成和纠正

无限集可以与其真子集一一对应,是现代集合论的一个基本观点，很多教材甚至把这个作为无限集的定义。

然而，本文将表明，这是一个源于概念混淆的、延续了一个多世纪的世记大错。
 
 1     世记大错是如何铸成的?

对元素进行计数得到的结果称为元素数目。对于无限集合，我们通常无法在有限的时间内完成计数，而且也给不出任何一个无限集合的元素数目究竟是多少，但我们可以用其他方法来比较无限集合元素数目的相对多少。例如，如果无限集合的真子集也是无限集合，那么根据真子集的定义，我们知道任何无限集合的元素数目是必定比其无限真子集多的。再比如，如果两个无限集合的元素一一配对（单射）后一个不剩（满射），即可以一一对应，那么这两个无限集合的元素数目必然是相等的；如果一一配对后有剩余，那么有剩余方的集合的元素数目必定是比另一方多的；还有，与有限集合一样，易证交集为空集的无限集合的元素数目与其并集的元素数目相等，即无限集合的元素数目也具有加和性.....

由以上分析可见，既然任何无限集合的元素数目都是比其真子集多的，那么，无限集合无论怎样与其真子集一一配对，配对后必然有剩余，怎么可能形成双射呢？

道理非常浅显，但康托似乎”严格”地证明了两者之间存在双射，且似乎到现在还没有人说得清楚他错在哪里！

  出于对权威的迷信，人们似乎普遍情愿相信康托那看似严密，但结果显然不合理的证明，甚止把结果的明显错误看做是自己直觉的不可靠！

 盲目的宗教式迷信，是否已经导致了愚昧？
        那么，问题究竟出在哪里呢？
        不妨用一个最简单的例子来分析一下。  

 以集合N={1，2，3……}和集合{0，1，2，3……}为例，康托确实证明了两者之间是存在以下双射关系的

1→0，2→1，3→2……

问题在于，用上述双射证明的与N一一对应的集合{0，1，2，3……}究竟是N₁={0}UN还是N′={x|x=n-1，n∈N}？如果是前者，他确实证明了无限集可以与其真子集一一对应，否则另当别论！

 显然，由于对映射1→0，2→1，3→2……即n-1→x（n∈N）来说，每有一个n∈N，有且只有一个x=n-1，因此用该映射函数证明的与N一一对应的集合只能是N′，且N′的元素数目与N的元素数目精确一致。

    康托实际上只证明了N′与N可以一一对应，但N并不是N′的真子集，而是N₁的真子集。康托却误把N′当作N₁，以为自己证明了N₁与其真子集N可以一一对应，世记大错，由此铸成！

        事实上：由于N是N₁的真子集，N₁的元素比N多(多了一个0)，但集合N′的元素数目与N的元素数目却是精确一致的，因此，N₁比N′多了一个元素，N₁与N′外延不同，当然不是同一个集合！

    因此，康托只证明了N′与不是其真子集的N可以一一对应，却误以为是证明了N₁与其真子集N可以一一对应，  错误的原因仅在于他把两个列出式看上去一样，但实际上外延并不相同的集合N′与N₁混为一谈了。

 这就是康托那所谓“严格”证明中的错误所在！

 历史上，由于康托理论的明显反直觉，遭到很多人的反对，但是人们又无法从逻辑上驳倒它，于是就变成了逻辑可靠还是直觉可靠的历史悬案，其中一派就以”逻辑是可靠的，直觉是不可靠的”这一经不起推敲的说辞胜出:如果直觉是错的，那就是错觉，任何错误总有形成它的过程和原因，过程何在？原因何在？
    现在我已经从逻辑上证明了这一派是错的。
    这一派之所以能胜出，希尔伯特和罗素有很大的责任，作为权威人士，看不出康托理论中的明显错误，反而还要力荐？

 思考题
        1)N=｛1,2,3......｝是否比N₁=｛0,1,2,3......｝只少了一个0, 其它元素都完全相同？

  2)N=｛1,2,3......｝是否比N′=｛0,1,2,3......｝只少了一个0, 其它元素都完全相同？

 3)N₁=｛0,1,2,3......｝和N′=｛0,1,2,3......｝的处延是否相同？为什么？

 4)设N={1，2，3……}，A=N-{1}，B=N-{1，2}，证明B是A的真子集，A与B的元素数目是否相同？如果不同，哪一个集合的元素数目多？多多少？A能否与B建立双射？

5)如何用”双射即元素数目相等”证明交集为空集的无限集合的元素数目与其并集的元素数目相等？

       思考题5)其实已经说明了，交集为空时，无限集合的元素数目与有限集一样，具有可加和性。

2       一些讨论

      任何有限集合是绝对不可能与其真子集一一对应的，但是康托居然证明了无限集可以与其真子的集一一对应，这就给人们造成了这样一个印象:无限与有限有着完全不同的规律，有限的可加和性等性质不能推广到无限，∞+1=∞等也应运而生。
        一旦该世纪大错被纠正，所有这一切当然就都不成立了。 

    而且，一般来说，一一配对的方法即单射的方法有很多种，对无限集合来说，则有无限种，但引入了明确的元素数目概念以后，对于元素数目相同(或不同)的两个集合，任何一种单射即一一配对后必定无剩余(或有剩余)，即必定是满射(或不是满射)，不妨将这种性质称为映射的单射无关性或映射的客观性。
    然而，由于误以为无限集合可以与其真子集一一对应，传统的集合论无法认识到这种映射的客观性，相反以为不同的单射可以有不同的结论，完全失去了数学应有的判断能力。
    这或许不能算是世纪大错，但至少也可算是世记大错而带来的世纪小错。

         这里还可以看到，由于省略号里面的内容不一定完全一样，所以列出式一样的无限集合实际上并不一定是同一个无限集合。例如，N₁和N’的列出式看上去虽然一样，但并不是同一个集合。

          类似的例子其实有很多，例如，{1}U{x|x=n+1,n∈N}={1，2，3……}，列出式与N虽然一样，但显然比N多了一个元素，与N并不是同一个集合。所谓存在一个包含所有自然数的唯一的自然数集合这一世纪大错也被纠正了。

    一个包含所有自然数的、唯一的自然数集合，其实不过是一个哲学定义。定义通常总是可以的，比如定义一个包含所有鬼神的集合至少对于信鬼神的人来说就是有意义的，但并不等于鬼神因此就存在了。同样，如果存在一个包含所有自然数的集合，就会出现各种矛盾，比如说既然已经包含所有自然数了，就说明自然数不能再增加了，这显然是错的。搞哲学的人或许可以这样认为，搞数学的人不可以轻信！事实上，上面已经给出了一个反例，类似的反例可以有无限多个。例如，N₂={x|x=2*n-1,n∈N}U{x|x=2*n,n∈N}={1，3，5……，2，4，6......}={1，2，3……}，列出式与N也一样，但N₂显然比N多了一倍元素，与N并不是同一个集合，而且上述自然数集合元素的倍增过程可以无限地进行下去，设进行了∞次，形成了元素数目2↑∞倍于N的自然数集合……任何一个有数学常识的人都明白这意味着什么！又一个世纪大错浮出水面！

   类似地，偶数E₁={x|x=2n，n∈N}与E₂={x∈N|x为偶数}，列出式虽然也完全一样，但是E₁与N一一对应，其元素数目和N严格一致，E₂可视作是从N中仅抽取偶数组成的集合，其元素数目只有N的一半。由于元素数目不一样，E₁和E₂当然不可能是同一个集合，延续几百年、从来没有人能够真正解决的所谓伽利略悖论就此彻底破解！

     当然，对于思维僵化，难以接受新鲜事物的人来说，上述事实都是难以接受的晴天霹雷。然而，事实就是事实，与人们是不是愿意接受没有关系。

有的人可能会认为，你这个大象进入了瓷器店，把精美的瓷器弄得七零八落，美感被你破坏了！

 人都有追求美的倾向，但什么是美的本质？未必有人说得清楚。

        从控制论的角度可以比较科学地解释美的本质: 控制论系统必须对环境中的事物进行价值判断:把所有的事物分成有利于控制目标和不利于控制目标两类，然后才能 ”趋利避害”，效率最高的分类方法是根据容易被”感知”的外表特征进行的，例如，人类把人的感知距离相对较远的视觉和听觉所感知的外在特征，根据对人类的生存和延续是否有利分成美和丑两类。

        例如，美好的风景通常有山有水有植物，有水有植物意味着有食物，有山意味着有洞穴可容身，如果原始人类不具有这种美感，人类就找不到适合生存和延续的地方。

       由此可见，美的本质是有利于实现控制目标的一些特征。

       那么数学美的本质又是什么呢？

数学的目标是为人类提供研究数学世界的高效工具。因此，其正确性，是首要的:错误的数学不可能用于达到数学目标。其次，数学是一种高强度的思维活动，如果没有较高的效率，很难有深入的发展，这就要求我们抓住事物的本质，不被一些表面的东西所迷惑，从而使得我们的研究变得更加有效率，结果也可表达得更简洁。

因此，数学美的特征，我认为有两个，第一个是正确，第二个是简洁。

错误是丑陋的，我的使命就是要找出错误所在并消灭之，以增加数学的美感。至于别人认识不认识，那是他们的事情，取决于他们的悟性，与我没有关系，我也不关心。当然，去除错误以后，我也会尝试建立新的，不含错误的，简洁且优美的集合论，暂时取名为相容集合论^[1]。

    可能有人会问:N’比N₁少了哪一个元素？要给出这个具体的元素也是可以的，问题在于不同的无限观有不同的结论，所以无法给出一般性的结论。以认为无限不能完成的潜无限观(UNEIGENTLICH –UNENDLICHES，也称为“移动的有穷”)^[2]为例，既然无限永远在进行当中，不能完成，当然不能用外延固定的传统集合来描述，而只能用外延可无限扩张的集合来表示，为此，相容集合论定义了一种外延可变的弹性集合，例如，自然数集合N可以表示为n趋向于无穷大的弹性集合N={1,2,3……n}（注意不要把n趋向无穷大和数列极限混起来，因为集合元素未必是数列项）。

        不难看出，n趋向无穷大时，N′={x|x=n-1，n∈N}={0,1,2,3...n-1},N₁={0}UN={0,1,2,3...n},N₁比 N′多了一个元素。

        如果采用无限可以完成的实无限观(EIGENTLICH -UNENDLICHES)^[2]其实更简单，但由于实无限观其实并不能描述无限现象，因此会出现各种矛盾，比如说既然无限已经完成，那已经完成了的集合不能再有新的元素出现，其实就是一个元素数目已经被限定了的有限集合，必然有最后且最大的自然数。

         这些矛盾其实都是无法解决的，因此讨论实无限其实未必有意义。但是用来找出N1比 N多的那一个元素还是很容易的：N’={0,1,2,3...n*-1},N₁={0,1,2,3...n*},N1比 N′多了一个元素，这里，n*是所谓名为“完成了无限集含”实为有限集合中最后和最大的自然数。

[1] 李鸿仪.相容集合论初探. https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

[2] 康托.超穷数理论基础，第二版，商务印书馆，2016

附录 一些相关命题和定理 

        命题1集合A,B存在双射的充分必要条件是集合A,B的元素数目相等。
证明：充分性证明：A,B的元素数目相等时，任何单射I（一一配对）显然都是满射（无剩余）；必要性证明（反证）：若集合A,B的元素数目不相等，不妨设集合A的元素数目少于集合B，则对于任何单射，B中必有一部分元素不在A→B的单射所形成的像中，即A→B的任何单射不是满射。证毕
       摘自《新方法比较无限集合的大小》
https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1340718.html

       命题1的意义在于进一步明确了映射的客观性，例如，根据命题1可证：
       定理1：若A与B之间存在双射，将A，B分别分解成两个交集为空集的两个子集合 A=A1UA2，B=B1UB2，若A1与B1之间存在双射，则A2与B2之间必然存在双射;同理，若A2与B2之间存在双射，则A1与B1之间必然存在双射。
       证明：若A与B之间存在双射，根据命题1，A与B的元素数目相等，若这时A1与B1之间也存在双射，根据命题1，A1与B1的元素数目也相等，因此，必有A2与B2的元素数目也相等，根据命题1，A2与B2之间存在双射，同理可证，A2与B2之间存在双射时，A1与B1之间也存在双射。证毕

      由定理1可知，如果可以把省略号里面的东西变成处延相同的集合，即使我们不清楚省略号里面究竟有些什么，也可以保证其能一一对应，从而大大筒化了问题。例如，

      例 A={a1,a2,...}， B={b}UA 之间是否存在双射？

       解： 据题意，设A=A1UA2=｛a1,a2｝U｛a3,a4,....｝, B={b,a1,a2,...} =B1UB2={b,a1,a2}U｛a3,a4,....｝, 显然，A2 与B2是外延完全相同的同一个集合，当然存在双射关系，但A1 与B1不存在双射关系，根据定理1，A 与B不存在双射关系。解毕

摘自https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1348770#comment 评论1