通常把在两个数之间可以插入其他数的现象定义为数的稠密性。

稠密性的定义不过是对现象的一种描述，关键在于要透过现象看本质！比如，为什么会有稠密性这个现象？为什么无理数比有理数更稠密？

先回答第一个问题，以有理数0.1和0.2为例，稠密性是指这两个数之间还有其他有理数，比如容易证明，任何两个有理数(分数)之间的平均值都是有理数(仍然是分数)。在这里平均值就是0.15，但显然其小数位数增加了一位。同样容易证明任何两个n位有限小数的中间值是n+1位小数。

对于无限循环小数，也有类似的结论。以0.111……和0.222……为例，其中间值是0.166666…….，虽然仍然是无限循环小数，但是其不循环部分增加了一位。

因此，所谓有理数的稠密性的本质是指其不循环部分的小数位数可以增加而已。
 不妨由此定义一个新概念.

稠密度:不循环小数的位数称为小数的稠密度，用m表示。

 再用m定义小数的结构:倒如，有理小数的结构可以用:

S={m，∞1}

表示，其中∞1表示循环部分的位数，无理数的结构则为

{∞，0}，

其中

∞=∞1+m，表示无理数的稠密度。

所以无理数的稠密度远远高于有理数。

这样，第二个问题也就解决了。

从小数的结构S={m，∞1}来看，有理数虽然是稠密的，但由于m是有限值，其稠密度是有限的。这是有理数不能连续的原因所在。如果有理数的稠密性可以达到无限，即m=∞，∞1=0，实际上就变成无理数了。

如果考察两个有理数a1与a2之间的间距，设其不循环小数分别为m1和m2位，不妨设m1>m2，由于不循环小数可以取任意值而不影响小数的结构，故可设a1的前m1位小数与a2相同，这样a1与a2的距离最近，约为L=10^(-m1)。

再考察两个无理数之间的间距. 不妨设无理数的小数位数为n→∞，则其最小数间距为n→∞，Lim10^(-n)<< 10^(-m1).

作为有理数，再大的m1也不可能达到∞(否则就变成无理数了)，所以有理数的间距永远远大于无理数的间距，这就再次证明了无理数比有理数稠密得多。

由于戴德金分割定义实数是以假定有理数比无理数更稠密才得到的，这是错的。

这里指的是戴德金认为可以用有理数的第三类分割定义唯一的实数，但实际上，该分割用来证明无理数的存在是可以的，但是不能用于定义唯一的实数。

这是因为他认为在两个无理数中必定可插入多个有理数，这不一定做得到，因为无理数更稠密，怎么能保证在两个无理数中必定可插入多个有理数呢？难道有理数比无理数更稠密？

其实他并没有严格证明无理数中必定可插入有理数，但他误以为用阿基米德公式可以证明，其实是不能证明的，因为其”证明”实际上就是假定有理数可比无理数更稠密。