任何数学定义必须首先保证它所定义的对象是存在的。

比如欧几里德空间中没有正十面体，那么在欧几里德空间定义正十面体就没有意义。如果非要定义，可能会形成另一种未必有实际意义的非欧几何。

同样，自然数集合的定义必须基于该集合的存在性。

例如，如果N被定义为已经包含全体自然数集合，那么首先必须保证“全体自然数”这一概念是存在的。

在数学中，“全体自然数”通常有多种含义。首先，在“全体自然数”中，我们不能排除任何一种自然数。比如偶数集中没有奇数，所以虽然任何偶数都是自然数，但我们不能称偶数集为自然数集，因为它排除了奇数。单从这个角度来看，“全体自然数”

这个概念当然是成立的。

但是，“全体自然数”的另一层意思是，我们找不到任何“全体自然数”之外的自然数。如果仅仅从内涵角度来说，自然数集合中的每一个元素当然都是自然数，这一点是确定不变的，也是非常清楚的，但如果从外延的角度来说，这个概念就有问题了。如所周知，自然数可以通过添加后继不断增加。除非这个过程可以终止，也就是不再有后继数，才有可能形成“全体自然数”的外延。然而这是不可能的，所以永远不可能形成外延确定不变的“全体自然数”。

无穷公理或皮亚诺公理也只是证明了任何自然数都可以由0或1通过+1形成，并没有证明+1过程可以结束形成全体自然数。将

我已经在以前的博文中多次说过不存在外延确定不变的“全体自然数”，这里再给出一个可能是最简单的证明。

我在上一篇博文说到；

“在数学中，无限大指的是数的大小没有界限或限制，可以一直增加。

由于实数内任何数都是有限的，因此实数域内的无限就是指有限数的大小没有界限和限制而已。”,为此，

定义：称取值为1，2，3….. 的无界递增变量中任意大值的变量为无限变量。

无限变量的性质：

性质1：对于任一个自然数n*，总存在无限变量。的取值n’，使得n’﹥n*，

性质2：对无限变量的任意取值n’，总存在自然数n*，使得n*﹥n’。

定理  不存在全体自然数。

证明（反证法）：假定存在全体自然数，则性质1可改写为，对于全体自然数中任一个自然数n*，总存在无限变量的取值n’，使得n’﹥n*，即无限变量的取值n’可以大于全体自然数中的任何一个， 显然这与性质2矛盾，所以，存在全体自然数这一假定错误，即不存在全体自然数。证毕

这里要注意，只有当“全体”这个概念存在时，“任一”才可以当作“全体”，否则的话，如果连“全体”这一概念都不存在，又怎么能把“任一”当作并不存在的“全体”呢？

显然，由部分自然数组成的集合也可以是无限集合。比如说奇数和偶数都只是部分自然数，但它们都是无限集合。

既然不存在由全体自然数组成的集合，只存在由部分自然数组成的集合，而仅仅由部分自然数组成的集合不可能永远是一样的，这就再次证明了，自然数集合不是唯一的。

根据这一点，容易证明，康托几乎所有的命题都是建立在自然数集合的唯一性基础上的，因此都是错的。

详见 https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1406288