从系统演化视角来理解物质运动的规律，我们就要形成与以往热力学和统计物理学的不同理解，前一篇博文3所谈的是内禀温度趋于无穷大时的高温稳态。本文再续谈另一种可能的系统稳态，简并稳态。这是特指系统的演化会在某些情况下自发形成大量等几率的能量简并子系统，这同样也是熵能判据下熵值和能量竞争的产物，但却体现为处于活力能等于0的无温度的稳态。简并稳态与高温稳态一样也具有封闭性，从而构成了热力学系统的另类角点解。如此简并稳态在超流现象中呈现为层流，在超导现象中则呈现为Cooper电子对，但我的简并稳态理解与现有物理学对超流超导的理解并不相同，其具体分析我将在本博文后面再细述。下面，我先谈谈对简并稳态这个概念的物理理解。

我们知道，通常系统的热平衡态是依赖能量跃迁来维持的。系统从高能态到低能态的跃迁释放热量或光子给外部环境，而从低能态到高能态的跃迁则从环境吸收能量。为此，该能级跃迁的概念实际上暗示了，量子跃迁行为必须局限于同一系统之内，而且该系统会与外部环境发生热交换而形成热平衡。这样一来，此类能量跃迁系统就不可能是封闭的。但是，如果一个系统内部所有子系统的能量都是简并的，那么，该系统就不会存在子系统之间的能级跃迁了。如此没有能级跃迁的系统，会有什么特点呢？我们依然可以想象，每个简并能级都构成了一个子系统，假如系统有N个这样的子系统，每个子系统都只以1/N的概率存在，这是否也可以看做是不同子系统之间也在彼此彼此做“跃迁”呢？我就称其为熵值跃迁。为何系统要维持如此熵值跃迁？原因就在于这是等几率系统，会导致系统的熵能系数为ln N，从而会形成封闭的稳态。

以上熵值跃迁的定义看起来并不符合我们对常规多体系统的理解，我们对简并稳态的通常理解似乎应当是系统包含有大量能量简并的个体。为此，我再举一个简单的例子来说明，以上大系统包含N个子系统，以及每个子系统出现的几率为1/N的理解，与一个系统包含了多个等能量量子个体理解，两种物理理解实际上是等价的。为此，假如一个大系统有三个量子状态A、B和C，每个状态若被占据，则占据的能量都相等。那么，AB态就代表A和B状态被占据C为空，这就是一个子系统。BC和AC则为另外两个可能的子系统。这就是由三个等能量子系统AB，BC和AC所构成的大系统。如果这三个量子状态只有两个被占据，就等价于三子系统之间在不断相互跳转，每隔子系统的几率均为1/3。为此，我前述熵值跃迁的定义和这个例子就是相互等价的了。所以，在以后的博文中，我可能就会两种表述混用而不做特别说明了。

进而，从系统演化的角度来看，既然简并稳态和热平衡态分别属于两种熵能系数最大化的存在，那么，这两者之间也可能发生跳转，从而可能形成两种不同类型的演化。第一类演化是简并稳态系统可能失稳而自发地丧失其能量简并性，系统演化成为不同能级的系统。Jahn-Teller效应就是一个例证。对如此第一类演化本小节不拟深入分析，以后博文在谈及跷跷板模型时，我还会简略谈到。本文下面我要着重分析的是第二类演化，即普通的热力学系统，会部分或全部地转化为简并稳态系统。我称其为能级跃迁-熵值跃迁转化，其物理原因来自环境温度的变化会令系统的部分能量发生简并，以创生出熵能系数更大、更加稳定的简并稳态。在前一篇博文3中，我已经简略地指出，激光就来自如此转化。本文下面将要分析的超导和超流现象也都属于以上第二类简并稳态，两者都属于多体简并稳态。物质世界还存在少体简并稳态，如量子纠缠问题，文小刚教授提出的拓扑序问题，我将在以后博文再细述。

下面，我在第一小节里要先建立起个体规律和系统规律的两类规律概念。在第二小节，我要根据系统所服从的统计物理学规律来分析熵值跃迁和简并稳态的关系。这些都是我对基本物理问题的理解与教科书的不同之处。然后，基于以上不同理解，我再着重分析我所给出的对液氦超流和超导现象的简并稳态之物理图像，并指出我对超导Cooper对之稳态理解是介乎于量子和经典现象之间的中间态，并具有Lyapunov稳定性。对此我们可以通过非线性迭代来描述其熵值跃迁。我所给出这幅简并稳态物理图像，与现有物理学的理解是有一定差别的。

4.1 个体规律和系统规律的选择性——对波粒二象性的不同理解

物理学中有一个比较含混的概念——波粒二象性。这个既呈现为波动性又呈现为粒子性的概念是很难理解的。在以后的博文中，我还要提出从量子叠加态的角度来理解。本文在此，我先给出一种系统理解：任何一个系统中的个体，它既可能以个体规律、也可能以系统规律的形式呈现出来，这在概念上就很清楚了。个体究竟以何种规律呈现出来，取决于我们观测它的方式。如分子之碰撞在微观要满足动量和能量守恒，在宏观上又要满足Maxwell分布，这就很令人费解。但如果我们这么来理解：每个分子既可能满足动量和能量守恒的微观规律，这是熵能系数为零的保守系统。同时它还可能满足Maxwell分布的宏观规律，其熵能系数就是配分函数的对数：两者都体现了熵能系数的极值点。那么，粒子究竟呈现为哪种规律呢？这完全取决于我们对该分子观测的方式，到底是基于个体还是基于系统的。

为此，我认为物理学规律要划分为两类，个体规律和系统规律。下面，我要举一个更加实际的湍流的例子，来进一步说明这一点。之所以我要先列举这个例子，是因为我的简并稳态的概念就来自这个例子，后文我要谈到的对液氦超流问题的分析，也正是受到了这个物理现象的启发。这要从影响我一生的一篇物理学文献谈起，这篇文章让我确立了自己硕士研究的方向为非平衡态物理学——这就是郝柏林院士发表在1983年的《物理学进展》的一篇综述文章《分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其他》。此文在谈到湍流时，郝先生特别指出了一点：描述流体运动的Navier-Stokes方程能不能描述湍流发生的机制？“这是物理学中一个历史悠久的难题”。就这一句话，引起了我强烈的好奇心和共鸣。

当年，我恰好对湍流现象也感到十分困惑：虽然我从未研究过湍流，但那时我却几乎每周都要目睹几次层流或湍流。还是单身的我当时虽在湖南大学当助教，但却和在湖南师范大学任教的父母住在一起。两所大学都在湘江边上，我一个人经常散步到湘江大桥，河水流过桥墩就会形成层流。若是雨后江水上涨流速增大，从桥面往下看，层流又会进一步到演变成为湍流。进而，绕流桥墩的最前端、也是水流速度为零的那一点，我从湘江大桥上往下看，总能看到这一部分的水面是非常明显地往下凹陷的。对此，我就感到非常惊奇：流速最低的点怎么会往下凹陷呢？其物理原因何在？我之所以对此感到惊奇，这又来自另一个故事。

我在中国科大近代物理学理论物理专业有个同班同学，叫谢彦波。如今人们对谢彦波这个名字可能很陌生了。但在当年他可是个名人， 11岁就戴着红领巾进入了中国科大少年班。他是77级的，我1978年也选择报考了中国科大少年班，就是受到当年媒体对他报道的影响。后来我入学就直接入读普通班他也进入784近代物理系，等到我们进入理论物理专业，我们更是同班同学了。我还清晰地记得，当年媒体报道了一个关于谢彦波的这么一个故事。流水的动能是否能转变为势能？他与学物理出身的父亲有争执。为此，他还特意去做了一个实验：挖了一条小沟并在末端筑起一个往上的斜坡。果不其然，等到一天下大雨，雨水沿着小沟流动后冲涌上了斜坡，其速度也放缓了。为此，这个实验说明了，水流遇到障碍物时，应当动能转换为势能往上走才对。

然而，对于水流流经湘江大桥的桥墩的情景，我却看到了相反的情形：流水遇到桥墩这个障碍物，不但没有出现往上流的情形反倒会往下陷了。为此，这就引发了我强烈的好奇心：同样是水流，其流体运动在受到不同的障碍物阻挡之下，怎么会在一种情况下往上涌，另一种情况下又往下陷呢？这是不是意味着同样是水流，却要在不同情况下满足不同的规律？类似的情况Wheeler在延迟选择实验中提到过，但那是针对量子情形的（我下一篇博文还要专门谈到这一点）。但在这里，水流问题却是经典问题。另外，经典的气体分子运动既要满足能量动量守恒，也要满足经典的Maxwell分布。那么，这两者是不是具有可比性？经典流体中的水分子，也既可能呈现为满足Newton运动规律，也可能呈现为受到某种热力学统计规律支配呢？这个流体问题的提出，可能也正如同前述郝柏林先生所述，湍流问题的确可能是无法由Navier-Stokes方程来描述的。

前文已经谈到Einstein在67岁时写的《自述》，他把这篇文章称为自己的讣告。在文章中Einstein写道，“惊奇”和“去惊奇化”是产生科学思维的源泉。为此，我当年也从这一现象中感受到了某种“惊奇”，并提升出了自己的观点：同样的个体在不同的系统环境下，可能要服从不同的物理学规律。在以上例子中，同样是水流体，在谢彦波所做的水沟实验中，水流所服从的是Newton力学的运动规律。但水流在流经桥墩时却要满足另外的流体力学规律。为此，这另外的规律是什么？我立即让我再次想到了熵能判据：这属于系统规律，而不同于Newton力学的个体规律。

为此，我琢磨流经桥墩的流水系统，为何先会呈现出层流，即形成从内到外一层一层地不同流速圈呢？其原因可能就是我在博文2里分析的系统演化之分岔效应，整个流体系统分岔成了不同流速即不同基准能量E₀的子系统。这或许也体现了，一个大系统若分岔为各种子系统之后，所有子系统的熵能系数之和会更大。难道这就是流体形成层流的原因？这就是我早年形成的系统活力能要走向最小化之简并稳态的思想来源。当年我并未在大学里学过Navier-Stokes流体运动方程。为此，我后来还查了用该方程来解释层流问题的文献。但这却令我感到困惑，当今流体科学的理解似乎和我的系统理解不一样，认为流体运动方程依然可以解释层流问题。不过，我依然保留自己的观点。事实上，Navier-Stokes确定性的方程能否解释湍流现象这个问题，已是后来千禧年提出的7大世界数学难题之一，我就不在此文深入讨论了。

通过以上层流和湍流的例子，我进而强化了如下观点：我们应当建立起个体规律和系统规律的选择性之概念，来取代量子物理学中的含混的波粒二象性。

先以光子为例。宇宙观测唯一的来源就是各个天体所发射的光子。怎样理解宇宙微波背景辐射中的光子严格服从Planck分布呢？我一直在力图给出合理的解释：或许所有宇宙背景辐射中的光子都具有共同的基态，所以，随着宇宙的膨胀，整个宇宙中每个光子都在不断重复着以下行为：先跃迁到共同的基态，即空态|0﹥，然后在从空态|0﹥跃迁到特定能量态|ε﹥，从而形成了以内禀温度为基础的平衡态。这就是对光子的系统理解，下一小节我还要再详述这个问题。那么，就某一个微波背景中的某个光子而言，将其理解为从38万年以前宇宙退耦以后，这个光子行走了137亿年并同步于宇宙的膨胀，这个光子抵达我们的光子探测器时，其能量因为红移下降到只有3K了。这个理解对不对？似乎也对，这就属于对光子的个体理解了。显然，对宇宙微波背景辐射中光子的系统理解意味着光子要服从Planck分布，这相当于波动性或统计性，而对光子基于红移的个体理解，就体现为粒子性了。

再以宇宙线中的电子和质子为例。前一篇博文已经谈到大爆炸宇宙电子产生的问题。下面我再谈正电子的来源问题。我们知道，Dirac早年推出电子满足的相对论协变性方程时，并未得到物理学界的承认。他提出的正电子填充了Dirac海的概念，虽然也获得了Fermi-Dirac统计的冠名，但这个Dirac海的概念在当今物理学看来并不正确。为此，几年后人们恰好在探测宇宙线云室中发现了正电子，从而带来了转机：Dirac的相对论电子方程从此才获得了学界的认可。为此，宇宙中为何会有大量正电子？这个问题我在学习粒子物理学时就一直在脑海里反复琢磨。其来源可能是地球大气层中的高能电子发生了相互碰撞而发生了非弹性散射，从而生成出了一对正负电子对。但这又引来了进一步的问题：宇宙线中的高能量的电子又是怎么来的？进而，占了宇宙线中粒子9成以上的是高能量的质子，它们又是怎么来的？

关于宇宙线，有一个Fermi加速理论。该理论认为，带电粒子在电离气体中不断随机碰撞而获得了能量。我认为这种依赖随机力而导致粒子加速的理由显然并不充分。虽然Fermi解释了为何加速多于减速，但这种解释依然很难让人相信，因为这是违反统计分布的。另外，若认为宇宙线来自宇宙中高强度的电磁场，这就更缺乏天文观测的依据了。事实上，即便早期宇宙存在高能的质子或电子这粒子，那么，经过137亿年宇宙的膨胀，到今天人们观察到宇宙线中的这些粒子时，它们理应也会通过电磁辐射而能量大幅衰减了。再说，我们地球在穿越宇宙背景辐射的相对速度仅每秒几百公里，该相对速度也不会是高能粒子被相对加速而探测到的原因。为此，受到了以上水分子既可能服从个体规律、也可能服从系统规律的启发，我就想到了，宇宙中存在大量高能的电子质子之谜，可能也与微波背景辐射中的光子一样，这也来自系统规律。

我认为，宇宙中游离的质子和电子也要服从Fermi分布，犹如宇宙微波背景辐射的光子要服从Planck分布一样，这可能就是我们在宇宙线中能探测到大量高能的质子和电子的原因。事实上，我们观测到的宇宙物质中的重子数目约有10⁸⁰个，而在宇宙中除了构成星系和恒星的物质以外，游离的电子或质子的数目虽然可能比以上数目10⁸⁰要少，但我估计不会有差别太大。进而，普通物质材料中电子的Fermi能级约有几个eV，这来自10²³摩尔量级的电子在我们宏观凝聚态尺度下Fermi填充的结构。那么，在宇宙尺度下数量级远远要高得多的电子和质子的Fermi填充，或许就是宇宙线中高能量之电子和质子的来源。

事实上，宇宙线的观测表明，宇宙线中粒子能量最高可超出10²⁰eV。而宇宙线中反电子和反质子的能量上限分别在Mev和Gev量级，远低于正粒子的能量。这说明它们都是电子-电子和质子-质子碰撞后的产物，反粒子并未形成Fermi填充。为此，我认为宇宙中游离的质子或者更广义地说重子，可能就是暗物质：这与目前人们根据星系结团时间而推论出，暗物质不可能来源于重子的观点有所不同。关于星系结团问题，我后文还要提出高温筛选的概念来说明，星系结团时间不足可能是个伪命题，这里暂时不表。

以上描述显示了，无论是作为经典粒子个体的水分子，还是服从Bose统计的光子，以及服从Fermi统计的电子和质子，它们可能都具有要服从个体运动规律的一面，也具有要服从系统之统计规律的另一面。这说明了什么？这说明了任何一个系统个体，针对于我们测量所形成的不同观察环境，被测对象都在自发选择它所要服从的规律。这个观点与当今的经典物理和量子物理的划分，就截然不同了：我们不能说水分子、光子或电子哪个是经典粒子具有粒子性，哪个是量子粒子而具有波动性。所有的运动规律都呈现了，个体规律或系统规律是具有选择性的。

在本小节最后我想说明的是，逻辑学里有Godel不完备性定理，数学里有Russell悖论，经济学里有Arrow不可能性定理，这些都体现了个体和系统规律的不可调和性。然而，以上学科都没法做实验验证。而如此个体规律和系统规律的矛盾问题，在物理学中也同样存在且是可以做实验验证的。但遗憾的是，似乎却没有物理学家认真研究这个问题，并提出更为严格的实验方案。以上分析只代表了我的观察和直觉，并非严格的实验论证。

4.2 基于熵能判据对Bose、Fermi和经典统计规律的重新理解

本篇博文在本博客系列中很重要，这体现了我对统计物理学的理解与现有物理学的理解有两点不同。第一点不同在之前博文已经谈到了，是对随机性的理解问题。以往人们对统计物理的规律的理解是大量个体运动之随机性而形成的统计后果。所以，很多教科书都是把Fermi统计、Bose统计和经典统计并列来分析的，如Fermi统计下同一量子态不可有两个“粒子”同时占据而呈现出某种“排斥力”，Boson则有某种“吸引力”，经典统计则位居两种统计之间。进而，经典统计是量子统计在其个体能级远远大于热力学参量k_BT下的近似，等等。我认为这些观点都是不对的。事实上，一个光子既可体现为反射和折射的经典特性，也可能表现为干涉或衍射的量子规则，还可能遵循黑体辐射的统计规律，这与光子能量的大小并无必然联系。

第二点不同体现在，我认为当今统计物理没有建立起简并稳态的概念，而只有BEC凝聚的概念。BCS理论的创建的基础Cooper对电子，就必须建立在动量相反的两个电子之上，这就体现了似乎只有总动量为零的一对电子来能凝聚，而忽视其物理本质是动量接近电子的简并稳态行为，下文马上就要谈到。另外，BEC的凝聚理解也影响到了人们对量子纠缠的理解。事实上，超导超流现象和量子纠缠的本质都是简并稳态，是等几率性导致的信息熵极大化而形成的稳态结构。

所以，这一方面说明了当今物理学对随机性认知还是欠妥当的，人们总是从个体出发来理解随机性而缺乏系统认识。另一方面更说明了人们忽略了系统规律。每个个体或量子态既可能服从个体相互作用规律成为经典态，也可能服从系统规律成为热力学意义下的统计态，也包括简并稳态，这一在博文1推导熵能判据时就给出的法则，是非常重要的。而熵能判据的本质是系统规律。事实上，从系统演化视角来看，任何系统个体除了服从个体相互作用规律以外，还会自发地满足系统的统计规律。至于每个系统个体或量子态究竟会受系统规律支配还是个体规律支配，这就与系统环境设置有关。在以后博文谈到Wheeler视角的延迟选择实验时，我还会详述这一点。本小节下面，我就要从以上理念出发，来逐一分析Bose、Fermi和经典统计。

为此，让我先从量子思想的创立者Planck先生谈起。人们对他首次提出量子这个概念虽然没有疑义，量子理论的起点就被公认为来自1900年Planck所提出的黑体辐射公式。但他当年给出的假定，光子必须是一份一份不连续的，能量分别为1ћν，2 ћν，3ћν，直至无穷，却被认为是不正确的。反倒后来由印度物理学家Bose提出，Einstein进而在其基础上还提出了其分布会呈现凝聚的量子统计分布，被人们认为其物理思想才更加合理。所以，最终这种统计分布被称为Bose-Einstein分布，满足这一统计分布的粒子被称为Boson。这都与Planck没什么关系了。黑体辐射分布虽然也被称为Planck分布，但这被认为只是用Bose-Einstein分布描述光子系统的特例。这就说明了，物理学家更看重的是物理思想的贡献者。

我之所以要谈以上这一段物理学历史，就是要续谈我的看法：一百多年后的今天，再回味这段量子力学发展的历史，可能Planck老先生的以上思想未必是错误的。这启发了我要从系统角度来理解统计物理学的本质，并进而形成了我下面要谈的简并稳态和熵值跃迁的概念。为此，我这些年来思考的结论是，Planck把光子看做是一份一份不连续的，可能蕴含了更为深刻的物理思想。我是从熵能判据出发来推导Fermi分布和Bose分布以及经典分布时，想到这一点的。

我当然并不否定现有教科书里对Maxwell-Boltzmannn分布、Bose-Einstein分布和Fermi-Dirac分布推导的数学过程本身。这既可以从个体能级的填充推导出来，也可以从系综理论推导出来，这本身就说明了个体规律和系统规律的并存性。许多基础物理问题都能从不同的数学方法推导出来，这也说明了物理现象的本质可能非常复杂，人们不同的理解都可以并行存在。为此，我当年给出了熵能判据以后，一个很自然的想法就是，以上这三个统计物理学分布是否还可以从熵能判据出发推导出来呢？显然，从熵能判据出发的推导，就可能拥有不同的物理含义，我的理解是，这体现了上帝所创造的统计物理学规则，是为了创生出宇宙演化要走向多样性和复杂性。下面，我就要用简单的数学推导，来分别给出经典、Bose和Fermi这三种统计。

先说明一点，以下所有推导都是针对非定域的、无相互作用的粒子，而并非包含更普遍的有相互作用的情况。对于更复杂的物态我们就只能从整体的、包含了个体之间的相互作用能的出发来分析了，这就属于不同能态的概念了——这是要基于整体量子态所服从的统计，而不是用所有粒子作为广延量的总和来代表整个系统了。不过，基于系统整体的各个不同量子态的统计，和基于粒子的不同能量的统计，两者在物理本质上并无多大区别，都体现了系统要构架于各种不同的独立的量子态或者独立的个体。所以，基于无相互作用的独立粒子所构成的统计规律，与基于量子态的统计规律含义一致，两者可用同一数学表达式。

为此，我下面的推导就只建立在单个粒子之量子态及其对应的能量之上。进而，因为系统能量是广延量，也是概率意义下的守恒量。所以，如果粒子之间并无相互作用，则系统中N个粒子的能量和熵值之广延量的系统特性，就必然体现为单个粒子特性的简单叠加。通常统计物理学中系统测量之总能量的概念，即所有量子态能量的统计平均测量值∑_k p_kE_k，与我定义的系统活力能E = ∑_k p_k(E_k-E₀)的含义仅有一个基准能量E₀的差别，总熵值也是所有单个量子态的熵值之和。所以，我提出的熵能判据在对系统的基础表述上，与统计物理学的现有表述也并无多大实质性的差别。

有了以上说明，让我先考虑最简单的情况，Fermion系统。其熵能系数的计算非常简单。从量子态占据的角度来看，任何能量值为ε的Fermion，其占据状态只可能存在两种情况，未被占据的空态|0﹥其能量为0。以及占据态|ε﹥，则表示其能量为ε。为此，一个合理的假定就是，在所有Fermion构成的系统中，所有不同能量的Fermion共享一个空态。为此，单个Fermion的熵能系数就是X(ε) = ln [1+ exp(-βε)]。作为广延量的系统熵能系数，就体现为对所有可能的量子态求和，即X= ∑_k ln [1+ exp(-βε_k)]。这正是无相互作用的非定域全同Fermion系统的配分函数的对数。进而，对个体之间具有相互作用的Fermion系统也就很好理解了，其占据态就不是单粒子态而是不同能量值的量子态，求和则是对所有量子态的求和。系统的熵能系数也具有以上完全相同的数学形式。

那么，Boson系统与Fermion系统的不同体现在在哪里呢？这就要谈到早年Planck的推导了，其量子态除了空态|0﹥和单粒子占据态|ε﹥，还存在着同一能级下的2粒子态|2ε﹥，3粒子态|3ε﹥，直到无穷多粒子占据态……。为此，把这些能态都添加上，X(ε) = ln [1+ exp(-βε) + exp(-2βε) + exp(-3βε)+…] = - ln [1- exp(-βε)]。求和后就给出了Boson系统的整体熵能系数及其配分函数。可见，Boson和Fermion的差别，若从系统是由所有子系统构成这一角度来理解的话，就是Fermion只存在不占据或占据两种状态，而Boson则存在从零（不占据）到无穷大的各种能量倍数之量子占据态。各种倍数占据态都属于大系统下的一个子系统。各种倍数占据态，在本质上属于能量简并的多粒子或多个体之量子态，它们具有何种特殊含义？这就是我下一小节还要做仔细分析的简并稳态的基础，同时也体现了量子纠缠的含义，以后博文再续谈。

以上推导的简洁性体现在，我们完全不需要粒子的位置、动量、相空间以及在此基础上的所谓各态历经等概念。交换对称性的概念也不需要。事实上，两个全同粒子在分离空间距离多大时才会具有交换对称性或反对称性？这个问题是非常复杂的，在无相互作用的气体中交换对称性或反对称性是容易实现的。但在液态和固态物质中，这就不是基于系统个体的统计，而是基于大量个体相互作用而形成的量子态统计了，如量子Hall效应的统计。进而，以上推导所需要的，就只有能量所对应的量子态。其中，空态|0﹥是Bose统计和Fermi统计共有的，而多粒子占据的简并能态则只是Boson才特有。这就让我们可以简单地理解早年物理学史上对黑体辐射不理解的红外灾难和紫外灾难是怎么回事了。Boson所特有的空态和多粒子简并能态恰好解决了这两个灾难：这正是Planck提出的能量是一份一份之猜想的伟大贡献。

进而，对于服从Maxwell-Boltzmannn分布的经典统计，我们又该如何理解？许多统计物理教科书把经典统计理解为量子统计在其能级远远大于热力学参量k_BT的近似，前文已经谈到，我认为这是不对的。我是从系统演化视角，即在博文1的熵能判据之推导过程中，系统可能存在个体规律主导的经典态，以及系统规律主导的统计态，来给出各种统计分布之推论的。为此，除了可以给出前述量子统计分析，我当然还可以同熵能系数来给出经典统计分布。但这还不是最重要的。更重要的是，由熵能判据还可以论证出量子统计和经典统计存在演化的中间态，如此中间态属于相对封闭的稳定系统，其物理含义非常丰富。以下就是我的四点看法：

A）经典统计形成的来源——不同经典个体之间的能量交换

经典分子之间的碰撞而导致的经典统计行为，就与前述的量子系统的统计规律和量子个体的相互作用规律都截然不同了。经典统计形成于分子个体之间的碰撞而导致的能量传递所形成的平衡态，这与量子跃迁的统计行为有两点不同。首先，这不同于量子态是先跃迁到空态，再跃迁到某个能量态的行为。经典系统并不存在空态，经典粒子只存在热力学极限下的最低能量态。其次，量子跃迁无需弛豫时间，而经典统计是基于时间演化的后果。所以，在系统演化过程中，任何经典个体是可能历经各种可能的能量状态的。这样一来，经典统计系统就可以被理解为是没有空态的系统，而只存在ε_k = E_k-E₀的所有可能的能量态。每一个系统的的熵能系数就要穷尽各种能量，即x= ln∑_k exp(-βε_k)。而整个系统的熵能系数X又是对前述所有x的求和。熵能系数最大化主导了经典统计系统随时间的演化，这也是经典系统对应的配分函数的对数。

以上经典系统没有空态，而量子系统却存在空态，这是区分经典和量子统计的最简洁的表述。其物理含义让我很思考了很多年。如此对经典和量子统计的描述，一方面扬弃了以往不严谨的各态历经的假说，另一方面也并未把经典统计看做量子统计的某种近似，而是肯定了经典统计本身的存在，这是具有系统演化含义的。我认为，这才是从系统演化出发，对经典统计的最准确的物理描述。这种描述体现了无论是量子还是经典系统，它们都属于聚分演化意义下的子系统：量子跃迁体现为每个粒子子系统内部的跃迁，其物理基础是量子态，从而它具有一个能级态和空态就很自然。而经典系统的物理本质是，经典个体或子系统之间基于碰撞或其他形式的能量动量交换，作为能动交换系统没有空态也很自然。这进而说明了，经典统计要基于时空构架，而量子统计则要基于能动构架，这两个构架的概念我会在以后的博文中详述。

B）经典统计的微观能动交换性和宏观整体演化性

以上从系统演化和个体能量交换来理解经典统计，就完全不同于许多统计物理学教科书的理解：以往理解是把Maxwell-Boltzmannn经典分布，看做是量子统计分布下的经典近似。这意味着量子统计要比经典物理更加基本。但我并不同意这种看法。经典分布体现了系统个体之间的能动交换，而量子统计的来源则为穿越空态的势阱隧穿。经典和量子两类统计之间并无逻辑上的必然联系。事实上，经典统计分布的存在，是基于其自身的逻辑：这是建立在以所有个体的自身质心系为基础的、不同个体之间的动量和能量交换，后文在分析超导电子系统时我再详述。进而，经典统计不存在空态，这就令经典统计更能体现出系统演化的宏观整体规律。例如，绝对零度不可能达到的热力学第三定律，就是仅仅针对经典统计系统而言的。本博文后面的分析表明，超导超流的简并稳态子系统并无温度含义，它们不受热力学第三定律的约束。

进而，在宇宙整体层次上，Newton万有引力定律或Einstein的广义相对论，可能也类比于微观的经典个体规律，这体现了星际物质个体之间所发生能量和动量转换。为此，当今物理学把整个宇宙用广义相对论的弯曲时空来描述，我认为这可能有问题。当今的宇宙之ΛCDM模型，既包含了广义相对论的宇宙常数，还包含了冷暗物质，这或许很荒唐。为此，2009年荷兰的物理学家E. P. Verlinde提出了一个全新的引力理论，认为引力就是一种熵力，这是一种将热力学与引力相结合的理论。可惜，我脱离物理学界太久，并未能弄懂Verlinde的物理思想。但基于我对其粗略的了解，这个理念完全符合我的基本观点：在整个宇宙中，恒星相互作用尺度的规律类似于微观个体相互作用，是可由Newton力理论或修订后的广义相对论来描述的。但宇宙整体作为宇观系统，其运动规律应联系着熵能判据，对其描述就不应基于平直或弯曲的时空构架之上，而应当基于能动构架之上。

C) 经典统计的实时性、量子统计的虚时性及其中间态

从系统演化视角来理解经典统计和量子统计的规律，在我看来，还应当体现为实时性和虚时性的不同。经典物理规律既包括个体运动规律，也包括经典多体统计规律，它们都属于系统演化的实时系统。实时演化规律可用基于时间的运动方程来描述，如此描述可以建立起某种在时间先后次序上的因果顺序，这符合人们基于日常生活的因果律思维。所以，我称其为实时演化。而量子现象，无论是量子个体从初态到终态的能级跃迁，还是量子统计规律，它们都属于虚时演化规律，而并无某种因果关系。这只是体现在系统要瞬间跃迁到熵能系数的最大化的状态。例如，前一段COVID-19流行世界。各个大商场测体温，用无接触的体温计时瞬时就能测出体温，这与以往的基于经典热运动的水银或酒精温度计，要有相当的弛豫时间才能测出结果，就很不一样。这就体现了量子系统演化的虚时特性。虚时和实时演化系统我后文要专门分析。

进而，我们的物质世界是否还存在介乎于经典统计和量子统计之间的系统，或者说实时演化和虚时演化之间的中间态？本文以后几个小节要分析的超流和超导问题，并由此而提出的简并稳态和熵值跃迁概念，就体现了简并稳态是介乎经典和量子、实时与虚时之间的中间态演化系统。从系统演化视角来看，一个量子系统内部若存在能级跃迁就属于虚时演化系统。而这个量子系统如果已经非常稳定了，至少温度很低时系统内部不存在量子跃迁了，该系统就只有整体的动量和能量特性了，这就可以被当做经典物态，这既包括经典个体也包括经典统计运动。然而，介乎于量子态和经典态之间，还存在本博文要分析的简并稳态。这是通过熵值跃迁维系的、由等能量的子系统所构成的系统。如此介乎于经典和量子之间的中间态，其物理内涵非常丰富。事实上，超导体在外磁场下就存在中间态问题，我认为就是这里所述的介乎于经典和量子之间的状态，在本文后面我还要提到。

D) 开放系统、封闭系统和稳态概念——不同于经典和量子的分类

怎样理解开放系统？从量子系统的演化来看，这体现为我们不能把一个能量为|ε﹥的态直接转换为其他能量的态，而是要先清空成为能量空态|0﹥，然后再跃迁到其他能级态，这就体现了演化过程，我在博文3提出的势阱隧穿就体现了这幅物理图形。这也是形成Fermi和Bose分布的原因。开放系统在量子统计系统中的含义，就是通过穿越空态的势阱隧穿让系统实现与环境的热力学平衡态。那么，对于其他量子个体的能级跃迁行为呢？情况情况也很类似。如氢原子中电子跃迁形成的Lyman系和Balmer系光谱线，它们并非跃迁到前文所述的空态，而是体现为Schrödinger方程所述的基态和各个激发态之间的跃迁。环境温度的不同会令以上量子跃迁的频率有所不同，它们都属于量子开放系统的不同表现形式，都要实现与环境的热平衡。

进而，经典系统是否存在开放性？无论是经典个体还是经典统计系统，都存在要与环境实现热平衡的问题。如前所述，这是通过能量和动量交换的过程来开放性的，我就不赘述其简单的物理机制了。这就带来了一个很深刻且有趣的问题：既然量子系统和经典系统都是开放系统，怎么还会存在其他热力学稳态呢？博文3所述的基本粒子属于高温稳态，高温稳态就是封闭系统。那么，其他熵能系数极大化的系统要形成稳态，是否也要构成封闭系统呢？事实上，在博文1所推导的熵能判据中，经典态和热平衡态都属于开放系统，并不具有稳定性。而介乎于不同开放系统之间的中间态，往往要具有封闭的稳定性。这也可以看做是另类统计分布，也是我在以后博文中要重点论述。

4.3 超流的层流模型：熵值跃迁下动量空间的简并稳态之层流结构

在本小节我要再续谈熵值跃迁这个全新的概念。其含义体现为跨系统的跃迁会驱动开放系统全部或部分地变成单个或多个封闭系统，其中封闭系统的内禀温度可自发调节。之前博文3讨论的高温稳态是温度会自发调节到无穷大高温，而本文讨论的简并稳态则是内禀温度要自发调节为无温度状态：其含义是系统个体都处于简并能量态了，其量子态即便发生跃迁也属于等能量的跃迁，从而系统的熵能系数与温度无关了——超导和超流就都属于这种情况。为此，我对超导超流问题的理解就不同于现有教科书。写到这里，博友们可能就会对此表示怀疑：超流超导的理论不早就了，还轮得着我来做理论上的重新解释？为此，我不得不自信地指出，这是我从物理专业的角度，思考了近40年的结果。从熵值跃迁出发的理解所形成新的物理观与以往的物理理解，把绝对零度的系统看做是熵值一定等于零的系统，是完全不一样的。

这里先谈我对液氦超流理论的理解，超导问题还有所不同，我放在下一节在分析。首先说明一点，早年我一接触到超流这个概念就形成的疑问：为何我们这个世界上，只有液氦这种最难被液化的元素，才存在超流现象？任何气体在低温下都会发生液化的。从氢气、氧气到空气中含量最大的氮气，都可以液化。为何所有这些相对更容易被液化的气体都无超流现象呢？进而，对于Landau当年对超流所给出的声子和旋子（Rotons）的解释，声子的存在很好理解，任何固体的振动或磁性材料的自旋波都可以用声子、元激发等来描述。但为何旋子却从未出现在任何其他材料中？这也是液氦所特有的。特别为特殊的具有超流特性的物质建立起一个如此特别的理论，却没有在其他任何地方找到类似的东东，我一直觉得很惊奇。为此，我首先想到的是，氦这个材料一定具有完全不同于其他材料的某种特殊的性质，才导致了其超流特性。为此，我们需要给出液氦物理图像的特别之处。

我对液氦超流现象的最初思考，来自在湖南大学当助教期间准备再次考研究生时复习统计物理这门课程之际。因为我报考的是北师大非平衡统计物理专业，统计物理这门课就绝不能掉以轻心，所以我这次复习得格外仔细，大学毕业那年考研失败，这次我不能再次失败了。Landau的液氦超流理论虽然是比较偏的内容，但我还是研读得很认真。后来到了1990年代初考博士，我又要准备统计物理，对超流现象又再复习思考了一篇。所以，以下对超流的理解，是我分别为了应付硕士和博士考试时所思考而形成的想法，我过去并未专门研究过超流问题。我的思考始于对以上疑问的回答，并在此基础上给出了进一步的考虑。

首先谈谈为何只有液氦才存在超流？我认为原因应当是，在元素周期表的所有元素同时还也包括其他分子，由氦原子构成的系统可能是唯一呈现为排斥力的系统——其外层的两个s电子填充饱和了。从而令其成了所有物质中，其个体构成几乎是体积最小而且为最硬的“钢球”，并具有排斥力。其它更大的元素或分子在极低温环境下，外层电子之间可能会形成类似于共价键的化学键而相互吸引，因而并不会产生排斥力。而对于唯一比氦原子还要小的系统，它不可能是氢原子而是氢分子，因为游离的氢原子只可能结合成氢分子。氢分子的性质也有所不同。氢分子之外层虽然也是由两个饱和的s电子构成的，但却并没有氦原子所呈现出的完全球对称性，所以氢分子之间也会产生类似氢键的化学键能，从而在低温下也具有吸引力而无排斥力。实际上，氢分子也比氦原子更容易被液化。为此，在所有元素或分子构成的材料中，可能唯有氦这个“钢球”元素构成的系统，是个体之间具有相互排斥力的特殊系统。

接下来的进一步的思考就是，超流是否属于Bose-Einstein(BEC)凝聚？几乎所有的统计物理学教科书，包括现在的网上百科，都认为超流和超导都属于BEC。但我感到很奇怪的是，BEC的公式在哪本统计物理学教科书上都有。既然如此，把BEC的公式一套用不就应当算出其凝聚态的性质，从而就可以直接得出超流特性了吗？事实上，考虑了分子之间的相互作用力之后，Mayer就提出了用集团展开的方法计算基于经典Maxswell统计的非理想气体，并给出了比Van der Waals方程更高级的近似结果。为此，非常类似地，只要考虑到氦原子之间的相互排斥力，修订一下Einstein当年给出的BEC公式，液氦的BEC特性理应也可以推论出来。为什么其他人没有给出基于Bose统计下类似Mayer的计算呢？为此，Landau为何还要另起炉灶，搞出专门针对液氦超流之唯象理论呢？为此，我当年复习考研时，就自己尝试做了基于排斥力的Bose统计分析：我得出的结论是可给出Landau唯象理论之声子能谱，但旋子能谱无法得出。

所以，我早年一方面仔细分析了Landau对声子和旋子能谱的假定，认为这个唯象理论的确很精妙，对超流现象的确具有很好的解释力。更加关键的是，Landau理论给出的旋子能谱与后来的中子散射实验吻合得非常好，这更不大可能有错。唯象理论的假定只要有实验支持，人们一般趋于都相信。但从另一方面来看，Bose-Einstein统计更不可能有错。为此，从BEC得不出旋子能谱又是咋回事呢？我想到了，He原子之间的排斥力会令系统的基态产生巨大的涨落。如此涨落能构造出在无序基础上的声子能谱，但相对有序的旋子能谱，则似乎不能通过排斥力计算出来。或许也正因为如此，Landau当年才要提出唯象理论。

这样一来，对于以上Landau的唯象理论和BEC凝聚的冲突，这当中的问题出在哪里呢？进而，我注意到了Landau更早提出的二流体模型：把超流划分为正常流体和超流体两类，这个二流体模型可能更加体现了超流的物理本质。声子和旋子的概念也实际上来自这个二流体模型。这个二流体模型虽然在统计物理教科属都有提及，但大都没有深入论证超流的速度场是无旋场。该速度场还有一个上界速度：我是在一本教学参考书中发现以上描述的。这令我想到，应当从动量空间，而不是实实在在的坐标空间来理解超流：动量空间是坐标空间做了Fourier变换后的特性，超流属于动量空间下的无旋场，这很类似于坐标空间下Coulomb力的电场。

一旦有了以上对超流在动量空间下无旋场的理解，那么，对于超流的毛细管现象，机械制热效应，喷泉效应就很好理解了。氦原子的超流体比普通流体的速度更大，按常理其温度理应也更高。但因为超流体为无旋场且无摩擦性，这才导致了它与环境没有热交换。以上毛细管现象，机械制热和喷泉效应等，都是超流与容器和普通流体没有热交换导致的后果。有了以上理解，就进而让我想到了：超流现象可能在本质上依然属于动量空间的BEC凝聚，只是凝聚的点并不在能量等于零处，而是在其速度或动量的上界点：也就是说，动量或速度更高的He原子先凝聚，而更低的则后凝聚，这与通常的BEC速度低的先凝聚是相反的。

为此，超流现象之BEC凝聚点若在其无旋场动量上界处，这就开启了我理解超流物理机制的突破口：其物理机制可能类似前一篇博文已谈到的激光之非平衡相变。假设在速度场上界以上的氦原子数目为N，液氦超流的λ相变就应当和激光的等频率光子的生成原理一样，这N个氦原子在系统温度下降时，会突变成了能量都相等的N重简并态。进而，这N重简并态之熵值S = ln N！≈ N ln N与温度无关，当N的数目很大时。显然，λ相变之所以发生，这一定体现在以上N个氦原子形成简并态的熵能系数，要比服从无序的Bose统计分布时的熵能系数还要更大。这就是我设想的熵值跃迁：它把一个原本服从玻色统计的氦原子系统分岔成了两个子系统，一个子系统为动量为恒定值的层流系统之超流体，我称其为简并稳态。另一个子系统仍为普通流体，但其动量在层流结构动量的上界处被“截断”了。

然而，进一步的问题是：以上液氦超流为何要分岔成为不同速度圈或动量圈的层流系统？其物理理由是什么？对于这一物理图图像我简单说明如下。第一，液氦原子由于存在排斥力的作用，每个原子就都会有很大的零点能，在温度非常低逼近于绝对零度时，此零点能就会大大高于热涨落能k_BT，所以，虽然为Boson系统，但液氦原子的能态密度分布ρ(ε)∝exp(-βε)却很类似于经典分布。实际上，这也是Landau把旋子近似地当做是经典分布的原因。第二，但非常重要的一点是，液氦原子系统又绝对不能当做经典系统来处理。Landau所提出的声子和旋子概念在本质上依然服从Bose统计。为此，声子系统和旋子系统就属于这样一幅物理图像：一个大系统在温度降低到了液氦λ相变点温度之下时，而构成的两个Boson子系统。

以上两点就体现了发生液氦相变的物理本质。熵能判据导致了在λ相变点温度之下，液氦无法继续维持为Bose统计下的纯声子系统，这是因为纯声子系统的熵能系数不能保障其极大化了，而必须让大于某个阈值的ε_r的声子系统变成旋子系统。但如何来理解旋子系统？我觉得可有两种理解：第一种理解是把旋子系统看做是熵能系数更大的“第一激发态”，这与下一小节要分析的超导BCS理论处理是一致的。第二种理解则是把旋子系统看做完全是一个基于势阱隧穿的简并稳态。

先谈第一种理解，把旋子系统看做是熵能系数更大的“第一激发态”。这样一来，旋子系统就按一定比例来占率空态|0﹥和ε_r能量态|ε_r﹥。进而，值得强调的是，旋子系统并非经典系统，而是一个量子的双能级系统，处于空态|0﹥和能量态为ε_r的这两个量子态要分别占据一定的比例。在这个量子双能级系统中，空态|0﹥的熵值当然等于零，但能量严格相等的N个量子简并态实际上应当写成|Nε_r﹥，即前述Bose分布下等能量的Boson占据态。其熵值S（与熵能系数X相等）就是前述的ln N！。这与粒子数不守恒的光子系统在高温下必须相变为激光系统之物理原理是一样的。如此理解与超导BCS理论也具有一致性，但问题是以上“第一激发态”作为BEC凝聚的理由是什么？这个量子态是如何稳定的呢？

再谈第二种理解，把旋子系统看做是之前博文3谈到的势阱隧穿态。旋子系统也要服从Bose统计，其量子空态当然也是存在的。但我们不是以上述“第一激发态”来理解旋子系统，而是把旋子系统看做是N个He原子穿越了作为势阱的空态|0﹥，而形成了以上量子简并态|Nε_r﹥。如此势阱隧穿理解就能从动态演化的视角来理解简并稳态的。任何量子态的本身都没有稳态的含义。稳态必须有抗干扰性，任何扰动都不会破快简并稳态。为此，这就构成了液氦相变的熵值跃迁之物理图像：液氦系统为了实现熵值的极大化，会把在能量阈值超出ε_r的氦原子构成能级简并的量子旋子系统。

熵值跃迁与通常意义下的能级跃迁有三点不同：一是这属于跨系统的熵值跃迁，具体就体现为大系统下不同子系统之间的跃迁，以令熵能系数最大化。二是熵值跃迁的目标为能级简并的量子系统，如此系统是一个稳态的系统而具有抗干扰能力，即外界的热扰动或外力包括摩擦力、电场和磁场的作用若未达到一定强度，就不会破坏系统的稳定性。三是量子跃迁来自同一系统内部个体的相互作用，而熵值跃迁与系统内部个体之间的相互作用无关。具体体现在，液氦分子之间虽有排斥力，但形成以上能级简并的量子系统的熵值跃迁来自熵能判据，而与He分子之间的排斥力无关。显然，如此熵值跃迁的物理图像，就与Landau所提出的基于声子和旋子概念的超流唯象理论，既有相同之处也有不同之处。

先谈我的基于熵值跃迁的物理理解与Landau超流理论的不同之处。第一点不同，也是最大的不同就是体现为对超流的物理理解。Landau的理解是基于个体的理解：超流的旋子为何可以没有摩擦力地流动呢？根据Landau唯象理论给出的旋子能谱，这是因为旋子与其他粒子在碰撞时不能同时满足动量和能量守恒。而我的理解是基于系统的理解。当年我做了一个估算，不过却没有解析结果：只要个体排斥力存在，声子系统分岔出一个由旋子构成的子系统，就会令熵值系数达到最大化。系统分岔的温度就是超流的相变点温度，它反比于系统个体排斥力的强度。

另一点不同则是对熵值和温度理解的不同。Landau的理解是超流旋子系统的熵值等于零，而我的理解是反过来的，位于能量简并态的旋子系统若有N个个体，其子系统的状态数目就会有N!个，从而系统的熵能系数就是ln N!，这是一个基于等几率子系统的熵能系数，若系统温度足够低，就会比服从Bose统计的，与温度立方成正比的有限温度之熵能系数更大。Landau的唯象理论把声子和旋子看做是同温度的系统，而我理解是旋子作为能量简并的、系统活力能最小的稳态系统。其活力能等于零因而内禀温度不存在，犹如能量守恒的地球绕太阳转动之引力系统就是一个无温度的系统。

从熵值跃迁所形成简并稳态出发，就会形成一个类似层流的、一圈一圈的简并能量谱，这一点又与Landau超流理论对旋子的唯象理论之能谱假定Δ+(p-p₀)²/(2m) 是相吻合的。事实上，前文已经分析了，在λ相变点，旋子会形成能量或速度空间中最大、最外围的一层动量空间的圆球壳层结构。那么，随着温度进一步降低以至于低于相变点，会出现什么情况呢？有两种可能性：一是保持这一层之动量空间下的圆球壳层结构。但由于超流氦原子的速度比普通氦原子的速度更大，系统还要继续吸热。如果温度降低了系统还继续吸热，这就意味着系统比热为负，就与常识和实验都不符了。

所以，更大的可能性是，超流系统会吸引速度更低的普通氦原子，也形成越来越小的圆球壳层。这就非常类似于前文提到水流之层流结构了。这就是我称以上超流的物理图像为层流模型的原因。显然，如此一环套一环的圆球壳层，在动量空间下的能谱就与Landau唯象理论的以上能谱假定非常一致了。Δ和p₀这两个唯象假定的参量，就代表着液氦排斥力导致的简并稳态的壳层结构参数。以上分析就呈现出了超流的基本物理机制。但这当中还有一些需要进一步澄清的物理问题，我还要补充说明以下三点：

1）我始终觉得，以上对超流的分析只要简单地假定一个液氦粒子相互排斥力的参数，就应当可以给出一个类似于超导BCS理论的结果。事实上，前述处于空态|0﹥和能量态|ε_r﹥的这两个量子态要分别占据一定的比例之分析，与BCS理论对超导电子的分析非常接近。为此，进而给出一环套一环的圆球壳层结构也是可期待的，从而前述Δ和p₀这两个唯象假定的参量也就可以给出来了，这将能从理论上厘清超流体在绝对零度下，是否纯在“残存”无序的量子基态，还是会全部化作旋子超流体这已基本问题。这个问题在理论上是有意义的。然而，若将超流理解为势阱隧穿，以上层流模型中不同壳层就是独立的，这就比较难处理了。我原本拟定若重返学术界再就此做进一步的研究。但到了近年发现自己老了，已经力不从心了。不过，留下这个问题让感兴趣的博友们来做，从而推进该简并稳态理论的发展，或许也是一件很美妙的事情。

2）对超流的以上简并稳态理解，是完全不同于以往Landau破缺之相变理论的。以往基于对称性破缺的相变概念体现在系统的自由能要保持极小化。它必须依赖于系统的序参量随温度的展开，从而这就只可能是热平衡意义下的内点解。如此相变概念在一级相变下可能存在内能的不连续平台，如水从气态、到液态再到固态会有汽化热或溶解热。而二级相变则会形成自相似结构以及各种临界指数。但超流的实验似乎体现了以上不连续平台，但并不存在所谓的相变临界指数。所以，我趋向于认为，以上量子简并稳态的物理图像理应是更为准确的物理理解，因为熵能系数可能发生一个随温度演变的跳跃。在1980-90年代我思考超流超导现象时，还没有量子相变的概念。如今的量子相变现象更应当归类于如此简并稳态，熵能系数都可能有如此跳跃。

3）以上简并稳态可能不仅仅体现在超流以及我下面将要谈到的超导现象，而是还会体现在更普遍的物质结构。以原子结构为例，1s，2s，2d，3s的如此电子分层的排列，这是否也可以被看做是某种分层的简并稳态结构呢？常温下内层电子的能级结构基本上可以看做是零温稳态的。只有最外层的电子才会形成各种化学键，或者形成热平衡态下的能量交换。同样地，比原子尺度更高一级的固体能带结构也是如此。进而，比原子尺度更小的原子核结构，如原子核的壳层模型，也存在与原子结构类似的幻数，如2，8，14，20，28…..。这似乎也体现了某种简并稳态的层流结构。为此，是否所有凝聚态物质都属于动量空间下的某种简并稳态之层流结构？它们与超流的差别体现在，常规物质简并稳态之存在于内层结构中，其热力学性质并不会呈现出来，因为只有其外层结构才呈现出热力学规律。但超流和超导现象是反过来的。

4.4 超导系统的封闭稳定性与其蚂蚁模型思考

有了以上对超流的简并稳态之理解，我再谈谈当年我是如何理解超导的。超导现象由于存在Meissner效应和超导环流现象，所以，看起来超导和超流的简并稳态似乎非常类似，只是在超导中或许只存在最外壳层的即Fermi面上超导电子的一层层流，而并不会像超流是我层流模型那样，形成多层层流。但解释超导现象的BCS理论之基础，却是基于电子的Cooper成对，这就并无超流的壳层结构特性了。不过，我经过仔细思考，认为在本质上超导和超流现象还是具有相同之处的：我们应当从动量空间下能量简并性来整体认识Cooper对：超导电子虽包含了配对电子的子系统，但子系统之间要存在跨系统的熵值跃迁而并非一个系统内部相互碰撞导致的能级跃迁。为此，让我把时间先拉回到1986年。这一年我刚入北京师范大学物理系读研究生，发生了两件对我思想影响很大的学术事件。

一是这年年底耗散结构理论的创始人Prigogine教授（他是我的导师胡岗教授的博士导师，应当算是我的师爷）来访北师大，做了一场关于蚂蚁模型的群体生物学报告。其大致内容是，筑窝群居的蚂蚁世界可分为两个群体：懒蚂蚁啥正经事也不干而是到处乱串，而勤蚂蚁则表现为成成行齐力搬运食物到蚂蚁窝。研究人员把所有懒蚂蚁都移走后，结果奇迹发生了：勤蚂蚁中又分离出部分蚂蚁而变成了懒蚂蚁会到处乱串：原来懒蚂蚁的存在是非常必要的，它们负责寻找新的食物源。这说明蚂蚁世界必然要存在分工不同的懒蚂蚁和勤蚂蚁两个并存的子系统。另一学术事件是在这一年的年底，铜氧化物高温超导材料被发现而引发全球轰动，中科院物理研究所赵忠贤小组一度世界领先，他还到北师大来做过一场报告。而我原来在中科大本科没学过超导理论。所以，当年我出于兴趣，就找了几本超导的书籍来研读了一番。没想到的是，我的想法居然把超导机制与以上蚂蚁模型联系到一起了，后文马上就要谈到。

先谈谈我当年初学超导理论时所形成的理解和产生的疑惑，这是我建立起了系统演化视角的开端，所以有必要多说几句。在BCS超导理论中，Cooper对的概念当然是一个核心概念，但我个人的理解是，该理论成立的另一个也同样很重要的思想基础体现在：电子系统要分岔成两个子系统，即普通电子Fermion系统和超导电子Boson系统，这两个子系统当然是相互关联的，但却会呈现出以下相互独立的两点特性：第一，只有在Fermi面能量薄层ћω_D区域之内的电子会结成Cooper对而满足Bose统计，其中ћω_D为声子Debye频率对应的能量。第二，在其余区域，电子能量小于该能量薄层的区域仍为普通电子的Fermi填充区域，大于该能量薄层则超导电子系统也不再具有相互吸引，所以又要满足Fermi统计。为此，对于BCS理论所描述的两个电子子系统，我有两点疑惑如下：

首先，BCS理论是把动量相反而形成了Cooper对的两个电子理解为Boson，这样它们才具有“凝聚”性从而才可以解释超导，而“凝聚”性又来自Cooper对电子的相互吸引。因而，只有在能量薄层两个动量相反的Fermion的“捆绑”效应才构成了玻色子，其余区域依然服从Fermi统计，这看起来很合理。但是，如此假定却也带来了物理图像的不合理：动量相反的两个电子只会“擦肩而过”，怎么能起到因为相互吸引而降低电子系统能量之效果呢？其物理图像为何不是把动量完全相同，却自旋方向相反的两个电子一前一后穿越晶格，看做Cooper对呢？这似乎更加合理。不过，这就属于动量很大的两个电子“前后飞翔”，而没有BEC“凝聚”了。可见，BCS理论在对Cooper对电子的数学处理上是扭曲的： BEC “凝聚”的物理图像之动态演化实际上非常难以产生“凝聚”，而只会“擦肩而过”。

其次，超导电子具有BEC“凝聚”的两个Cooper对电子虽然总动量为零，但这两个动量相反的电子，其总能量并不低，实际上它们都处在Fermi面，能量是很高的。按理说，从Bose统计出发的BEC凝聚，其含义就应当体现在配对电子都“凝聚”到了这个能量和动量都等于零的最低能量的“基态”上。但BCS的理论处理却体现在，一方面它只能把超导电子“凝聚”在Fermi面附近，而不能是能量和动量都等于零的“基态”上，但另一方面，在做量子统计之占据态密度的计算时，又并非考虑以上“基态”而是空态|0>的占据几率。否则的话，超导电子的Cooper对就会因为动量太大而类似经典统计，而没有“凝聚”的后果了。这属于理论分析的不得已。事实上，BCS理论是把超导电子看做“凝聚”在Fermi面上的“激发态”，这是比任何其他量子态能量还要高的量子态，我总觉得其物理图像不是很合理。

以上两点就体现了我早年初学BCS理论的感受：其理论看起来很精妙，但其物理图像似乎又比较混乱。为此，当年我经过反复思考，感觉超导电子结构之物理图像可能要做一些修正，Cooper所指出的电子因为相互吸引而形成了超导机制这一点，我当然并不怀疑。但也用热平衡态的Bose统计来描述超导电子，且只有空态和Fermi面上的Cooper对电子，我则认为这幅物理图像有问题。我认为，任何电子都是要服从Fermi统计的，把Cooper对电子看成Boson却要服从Bose统计，这一点我认为并无必要。Fermi面附近的电子理应还依然是Fermion，只是具有了相互吸引力而已。为此，我受Prigogine教授的启发，而建立了在动量空间下的蚂蚁模型之超导的物理图像。如此物理图像建立的思考过程很漫长也很烧脑，对其物理图像之数学描述，我将放在下一小节再做分析。这里，我先把我的蚂蚁模型之逻辑思路整理如下：

1）首先，BCS理论把电子-晶格作用作为超导的基础当然是正确的，Cooper对的概念也非常形象。但为了形成超导电子的BEC“凝聚”，因而要把Cooper对描述成两个动量必须相反的电子，这可能就有问题了。事实上，从动态演化的物理图像来看，Cooper对若要体现为对系统能量降低产生了影响，其形成和存在一定要有相当长的持续时间，或者说，在同一时刻必须有大量的Cooper对同时存在。这样一来，动量空间下的Cooper对电子就不能方向相反“背道而驰”，这是无法持续降低系统能量的。正确的物理图像应当是：先有一个电子穿越晶格，造成正电荷晶格的畸变而形成的“瞬间靠拢”，从而加大了该区域的正电荷密度。然后，另一个动量接近的电子再“尾随其后”，又被畸变的正电荷晶格所吸引，这样的“一前一后”的Cooper对的动量越接近，才会产生持续时间越长的吸引力，从而才会具有降低系统能量之功效。

另外，Cooper对的描述也不能从坐标空间来理解。在以后的博文我还要说明，经典物理是基于实数下的时间和空间的表述，而量子物理属于虚数下能量和动量空间下的表述。前者为时空构架，后者为能动构架。量子表述相当于对时间和空间的表述下作了一个的Fourier变换，即添加了iEt/ћ和ipx/ћ两个指数因子再做积分之后，就变成了能量和动量空间下的能动构架表述了：系统描述必须基于能动构架，它体现了所有空间的局域个体电子态之叠加的系统后果。为此，Cooper对的概念在坐标空间下经过Fourier变换而呈现在动量空间之后，就不是某一个电子对的概念，而是展现为整个电子系统之动量或波矢的集体效应了。这样一来，电子Cooper对的概念就应改为Cooper动量或波矢群的集团概念了，这属于系统概念。

2）我对超导现象的进一步思考则来自Prigogine教授的蚂蚁模型之启发：其懒蚂蚁和勤蚂蚁与超导中的普通和超导电子之物理图像是非常具有可比性的。该蚂蚁模型之所以引发我的兴趣和联想，是因为该模型让我回忆起了小时候对蚂蚁的观察：懒蚂蚁通常呈现为单个出行。我一直感到纳闷的是，它行走时为何经常会停顿一下再转向？听了Prigogine教授的报告，我才恍然大悟：这个动作体现了懒蚂蚁行动并非具有既定的目标而是为了寻找食物源，才会呈现出类似于布朗运动。这与普通电子碰撞要会形成统计分布，就具有某种可比性。而勤蚂蚁搬运食物时则总要排成一行前行，部分蚂蚁还会头顶食物：这就很像超导电子了。为此，既然Cooper对的概念要被修订为动量空间下的Cooper群集团，那么，如果把动量相近、自旋相反的一个Cooper对看做一只勤蚂蚁， Cooper对动量或波矢群电子就类似于勤蚂蚁了。

另外，蚂蚁模型除了激发了我以上动量空间下的两类电子的物理图像，更关键的还是，我们就可以从系统稳定性，而并非Bose统计来理解超导电子系统的能量简并性“凝聚”。Prigogine教授所指出的，把懒蚂蚁移走之后部分勤蚂蚁也要自发变为懒蚂蚁去寻找食物——这就说明了蚂蚁系统具有稳定性：蚂蚁群体要维持其食物来源，就必须保持寻找食物的懒蚂蚁和搬运食物的勤蚂蚁这两类蚂蚁数目比例的稳定。但在以往的BCS模型中，只有能量最低的基态以及自由能最小所导致的超导电子分布概念，这是建立在热平衡态的基础之上的。而热平衡系统自身是没有稳定性的，如气体中体积随压强而变，压强为零气体就要无限膨胀。这与弹簧受到拉伸或压缩后要自发恢复长度的稳定性并不一样。然而，超导环流现象和Meissner效应，显然体现了超导的性质与蚂蚁系统一样具有稳定性。为此，超导现象稳定性之基础是什么？若把Cooper对的个体概念修订为蚂蚁群体模型，或许会带来给出超导电子系统的稳定性。

3）一个系统之稳定性的物理基础，可能来自其封闭性，我之前在博文2对高温稳态的分析中已经说明得很清楚。这也应当可用于对超流超导现象的解释。然而，BCS理论对超导的理解是基于开放系统下的热平衡态，却并无封闭稳态的含义。下面，我以普通电阻测量为例来说明什么是稳定性。从非平衡态之线性响应理论来看，测量行为体现了人们在测量过程中对系统扰动，从而系统会反馈出响应。电阻测量就体现在，外加电场驱动着Fermi面或导带上的电子，让其不断跃迁到稍高的能级，稍高能级的电子又会再跃迁回低能级态。这就让系统形成了新的热力学平衡：如此热平衡态是具有开放性的。作为开放系统，外部环境只要稍有变化，系统就要力图达到达到新的热平衡，这就不具有封闭稳态特性。

为此，超流和超导的稳定性可能和前述基本粒子的高温稳态特性一样，它们也都必然要具有某种封闭性：系统在外界的扰动下，系统的响应要把扰动能量存储在系统自身，而并不与外界做热交换，这样的系统才会有封闭的稳定性。若从宏观来理解封闭稳定性，在超流现象中就体现为无摩擦性，在超导现象中则体现为超导环流和Meissner效应。进而，从微观来理解超导的封闭稳定性，则体现为外加电场导致的电子加速运动虽然也会带来系统能量的改变，但如此能量改变并不会形成能级跃迁，即不会作为光子传播热量给环境，而是被储存在了超导电子系统的内部。我设想的超导之封闭稳态性，就体现在Cooper对电子的相互吸引势能：配对电子相对运动的动能可与该相互吸引势能相互转换，这非常类似于地球绕太阳的转动，其动能和引力势能也会不断转换从而形成了能量守恒的保守系统，这就构成了封闭的系统。

4）以上封闭稳定性似乎并不体现在BCS理论之中。BCS理论对超导电子基于Cooper对的湮灭和产生的热平衡态描述，就并未显示出以上封闭性和稳定性。对于总动量都等于零的两个Cooper对，若一对是(p₁↑, - p₁↓)，另一对是(p₂↑, - p₂↓)，即同为两个超导电子Cooper对，但只要其动量p₁和p₂不一样，那么，两者的能量自然也就不同。这样一来，即便所有Cooper对“凝聚”在了动量空间为零的上述Fermi面上，这也无法能保证一个Cooper对湮灭、另一个Cooper对产生过程就没有能量差。为此，如果这个过程还存在能量差，超导电子与普通电子的导电行为，还会有什么差别呢？它们同样也是要与环境交换热量的。这就是我在理解BCS超导理论时，产生的最大的困惑。这依然是一个基于开放系统，并无封闭性的理论描述。

所以，BCS理论尽管引入了Cooper对的概念，但这个基于两个电子相互吸引的物理思想依然是基于个体的，而缺乏基于熵值跃迁的系统图像：超导和超流的简并稳态似乎有某种类似，我们要从熵能判据的系统的角度，而不是BEC凝聚的能量角度来理解超导。这两种角度的思维逻辑之差别是，BEC凝聚体现的是一种基于能量的基态思维，似乎一个系统只要有相当的量子态“凝聚”在最低能量的基态，就会激发出像超导超流这样奇特的物理性质。而我的思路是基于熵值跃迁所形成的简并稳态：简并稳态并非基态，而是系统个体自组织协同性排列的状态。这体现为活力能保持等于零的活力稳态，因为系统中每个个体的能量都趋同了。

4.5 超导蚂蚁模型：基于细胞自动机和虚时迭代下的Lyapunov稳定性

本小节我要续谈我当年所设想的超导蚂蚁模型。这是建立在熵值跃迁下简并稳态的模型，主要是力图展现出由Cooper对电子演化的封闭性。我的数学处理受到Wolfram细胞自动机的影响——我是选择描述混沌的迭代方法，来描述超导电子系统的熵值跃迁。为此，我认为超导的本质体现了能动构架下的虚时演化系统，这一方面吻合了细胞自动机的理念，另一方面也体现了混沌中的Lyapunov稳定性。下面，我先要给出超导蚂蚁模型的物理描述，然后再给出细胞自动机的想法，最后再来分析熵值跃迁下封闭系统的Lyapunov稳定性。

1）先谈对超导的蚂蚁模型的数学描述。前文已述，对于BCS理论中电子-晶格作用的机制，我当然并不否定。但该理论对超导Cooper对的Bose统计处理，我则认为可能不对。为此，我们该怎样划分普通电子和超导电子这两个子系统，并对超导电子子系统做不同于普通电子的分析？BCS理论划分的方式是把Fermi面薄层附近的电子归类为超导电子，不同超导电子Cooper对之间会发生相互碰撞散射，从而这就构成了Bose统计。而我提出的蚂蚁模型的划分方式则有所不同。我对普通电子和超导电子划分的基础，是基于对时间和空间作Fourier变换后系统的能动构架。在此构架下，把所有动量非常接近，但自旋方向相反的电子两两合为一体，这就构成了两个相对独立的子系统——质心运动的子系统和配对运动的子系统，简称质心系统和配对系统。下面，我要对这两个子系统的含义做简单的解释如下。

电子系统可看成由动量最相近但自旋相反的电子对构成的。对于质量都相同为m动量分别为p_↑和p_↓的配对电子对，其质心运动的动能为(p_↑ + p_↓)²/2m，而配对相对运动的动能为(p_↑ - p_↓)²/2m。很显然，原来在能动构架下，系统中N个原本可以被看做是几乎独立的电子，就被拆分成了N/2个做质心运动的普通电子对，和N/2个配对运动的蚂蚁电子对。由普通电子构成的质心系统要服从Fermi统计。这相当于把动量相近但↑和↓自旋相反的电子“捆绑”在一起，两两地从零能量填充直到Fermi面。显然，对于质心运动的两个电子对，不仅其自身动量本身很大，其自旋磁矩也已经等于0了。这样一来，环境温度、外加磁场对于质心系统的普通电子之相对影响就非常小。或者说，超导和非超导材料的电子质心系统区别不会很大，两者的物理特性也不会有太大差别。所以，我们以后可以不考虑质心系统下的普通电子对系统超导特性的影响。

蚂蚁配对电子系统则体现了动量p_↑和p_↓的相对差。为此，“一前一后”穿越晶格而具有相互吸引的超导电子对，只有在其自旋反向、动能接近的无排斥情况下才效应最强。进而，外电场、外磁场以及环境温度对蚂蚁配对电子的扰动，也会比质心系统的普通电子要大得多。对于蚂蚁配对电子，假设相对动量p = |p_↑ - p_↓|，则其动能 p²/2m和Cooper相互吸引能-V(p)之和，ε(p) = p²/2m - V(p) < 0时，该蚂蚁才会约束“捆绑”在一起，这非常类似于氢原子中束缚电子的动能与势能之和。虽然相互吸引能V(p)的解析形式很难给出，但很显然V(p)在p=0时最大，且会随着p的增加而迅速衰减。另外，每只蚂蚁还有其演化“持续”时间问题：p值越大，其“持续”时间必然越短。这类似于绕着田径环形跑道跑步的运动员，若一前一后两名运动员速度接近则会长时间伴行，若速度差异很大，则即便某个时刻一度并行，长时间后也会拉开距离而相互独立。以上物理图像描述会更容易地体现出蚂蚁配对电子的动态演化。

以上对质心电子系统和配对电子系统的理解也都体现了量子系统的全同性含义。这当中由于呈现了自旋相反的两个电子的“捆绑”，从而导致所有电子自旋特性都消失了，从而全同性的含义就只有动量概念了。不过，在强外磁场下，不同自旋朝向的电子之动量p_↑和p_↓可能呈现出差异，从而出现复杂的超导中间态问题，即超导体在强磁场下的几何效应。这也是我当年要如此划分为两类电子系统的原因，我觉得用下面的Lyapunov稳定性来分析中间态问题可能是有效的，下文马上就要谈到这一点。通常情况下，对超导特性我们只需分析蚂蚁配对的电子系统。鉴于只有在Fermi面薄层上的蚂蚁之相互吸引能V(p)才有意义。为此，如果在Fermi面上有N_F个电子，则全同蚂蚁数目就共有N_F/2只。当然，每只蚂蚁虽然是全同的，但其能量ε(p)并不一样，犹如爱任何统计系统中，全同粒子也会有不同的能量。

2）接下来再谈我当年用虚时细胞自动机来描述超导蚂蚁之封闭子系统演化的设想。这要得益于我当年在硕士生期间偶尔听到了一次讲座，获悉了当时在1980年代Wolfram提出了很新的物理思想：细胞自动机。后来Wolfram超将其进而发展成了新科学，他写了一本书名为《一种新科学》。当年我就读了他用细胞自动机计算Navier-Stokes流体运动方程的文章，却发现Wolfram用细胞自动机来理解层流和湍流问题与我前述的熵能判据理解，似乎并不相同。不过，细胞自动机的思想依然启发了我，因为其数学描述既体现了某种全同性的系统含义，从而可引入熵的概念。同时，细胞自动机又是以个体演化为基础的——我认为用这幅动态演化的物理图像是可以用来模拟超导蚂蚁的熵值跃迁，这完全不同于BCS理论的量子统计分析。为此，从细胞自动机出发或许能解释超导的稳定性，稳定性则体现在细胞自动机函数迭代的封闭性。

我认为，如前所述，超导状态就是介乎于量子态与经典态之间的中间态。单纯的量子力学和经典力学都不适合用来描述系统演化特性。BCS理论对超导电子的分析是基于量子统计，这就必需求解不同Cooper对碰撞的散射矩阵元：其物理分析的本质体现在，这属于全局化的热平衡态分析。如此分析要涉及到以下计算：从其他量子态跃迁流入到该量子态的几率，并减去从该量子态流出的几率。这样的分析就难以具体描述量子态的演化，通常只能给出能态密度的某种静态分布，恰如BCS理论的描述。另外，基于经典力学的动力学描述又属于唯一概率描述并无几率含义，其演化描述只是体现了确定性的运动方程，如地球绕太阳转动的两体运动。但超导蚂蚁显然也有量子跃迁的概率成分。经典描述对于超导体这样具有全同性个体，也并不合适。

为此，针对以上配对电子蚂蚁，是需要有某种介乎于量子和经典之间描述的数学工具来做分析的。该用何种数学工具最好？这就要谈到细胞自动机了。事实上，前文已述，既然不能用散射矩阵也不能从经典动力学出发，那么，对蚂蚁超导电子演化的最佳描述，似乎就要结合两者之间的某种数学手段。进而，稳定性的存在又要基于某种封闭性，这是我在博文3提出高温稳态之后就有的想法。为此，把能动构架下的能级ε(p) = p²/2m - V(p)做量子化处理，把具有全同性的蚂蚁运动理解为在此能动构架下量子化能级之间的跳跃——如此离散的跃迁就体现了细胞自动机的计算理念。似乎可以由此而创建出另类的超导理论。事实上，无论是外加电场形成超导环流，或外加磁场导致Meissner效应，都会导致蚂蚁的能级跳跃，但如此能级跳跃并非体现为真实的时空构架下的跃迁而具有虚时特性，犹如粒子物理学中的真空激发并不能被实测到。

对于以上从细胞自动机的演化角度来理解超导问题，虽然也基本上采用了Cooper对之配对电子的概念，但却体现了与BCS理论截然不同的物理图像：其核心点是要对超导电子 “无能耗”传导之稳定性做出理论解释，这正是超导环流和Meissner效应的基础。前文已经谈到，我对BCS理论的BEC凝聚解释是不满意的。为此，若从细胞自动机来理解超导问题，就要涉及到以下三个基本概念：封闭性、虚时性和稳定性。虽然前文也已经提到了这几个概念，但我下面还是要进而更加详细地分别说明如下：

A) 封闭性是能够用细胞自动机的方法来分析系统演化的基础。这意味着我对超导蚂蚁的理解是它在外加电场（导致零电阻和形成超导环流）或外加磁场（具有Meissner效应）下，蚂蚁只会在能动构架下ε(p) = p²/2m - V(p)下做自身量子能级跳转，不会存在它和周边环境，如其他蚂蚁、自由电子或晶格系统有能量交换。这犹如地球绕太阳的公转过程只会发生动能和引力势能的转换，系统能量不会外泄从而具有封闭性。当然，蚂蚁的不同在于具有量子性，其能级是不连续的。另外，环境温度作为随机力会破坏这种封闭性，即温度增高超导就会相变成普通导体。

B) 虚时性是我下一篇博文还要着重谈的，这里先简要说明一下。简单地说，我认为经典运动具有实时性，可用时间序列来描述。但量子运动体现在Fourier变换之后的能动构架下的系统行为，就具有虚时性。虚时性的重要特点是不再有可测的时间演化特性。BCS理论认为Cooper电子交换声子的本质也体现了虚时性，不过这当中没有系统演化的含义。我是从时间演化来理解虚时性的。这不但体现在一个系统内部的能级跃迁，即从初态到终态的跃迁没有了弛豫时间，同时也体现在跨系统的熵值跃迁上。如以上每个蚂蚁子系统可能有两个，在外磁场的作用下可能有劈裂成了四个子系统，熵值跃迁就会在这些子系统之间循环跳跃，这就体现了虚时性。

C) 稳定性对超导性而言，我认为就是一个最核心的概念了。我个人之所以认为BCS超导理论有问题，就是因为它无法解释超导具有封闭系统下的稳定性问题：一个Cooper对被拆散而导致另一个Cooper对的产生，若不能保障每个Cooper对的能量都严格绝对相等，这幅物理图像就并不呈现为封闭性，而是一个开放系统无法保障稳定性了。我是通过以上虚时的熵值跃迁所构成的封闭子系统集合，即在能量集合{E₀, E₁, E₂,…, E_k}中跳转形成的稳定的循环即E₀= E_k，来说明由k只蚂蚁构成的熵值跃迁之子系统集合具有稳定性。如此稳定性是具有抗干扰能力的。环境温度就体现为随机力的噪声，只有温度很高噪声大了，超导才可能被破坏。

3) 有了以上对超导蚂蚁熵值跃迁的描述，下面就可具体构建超导的细胞自动机模型了。而该模型与BCS理论的本质不同，就要体现在超导的稳定性上。这就要谈到1980年代比较热门的研究课题，混沌学了。混沌现象是普遍存在的，但最为简单的混沌现象来自离散动力系统。虽然如此离散动力系统很简单，但却依然体现了混沌的核心概念，Lyapunov稳定性。熟悉控制论的博友一定清楚，在微分动力系统的演化过程中若Lyapunov指数小于零系统就具有稳定性，否则的话，系统就会失稳而被称为进入了混沌状态。为此，我把以上超导蚂蚁的虚时演化问题与混沌中单峰映射的Lyapunov稳定性联系在一起了。在具体分析之前，我先举一个典型的倍周期分岔例子来说明一维单峰映射的含义，这来自May在1976年提出的生态学虫口模型。

该想一下，某种虫口生物每年繁衍一次，下一年虫口的数目x_n+1将是前一年数目的a倍，若年复一年如此增长，这就是我们熟识的Malthus人口论之几何级数增长模型了。但任何生物还存在生存环境的残酷竞争：这体现在生物群体数目越多，食物就越短缺竞争死亡数目就越大，在数学上这就体现为减员正比于群体数目的平方- bx_n²。为此，虫口数目具有x_n+1=ax_n - bx_n²这一简单的迭代关系。稍微做一下参数变换，上式可改写为更简洁的单一参量的形式：y_n+1=μy_n(1-y_n)。如此简单的迭代方程在μ<3时为稳定的迭代解。在μ处于3和3.5之间则为2点周期解，随后变成4点，8点直到μ=3.6左右整个系统呈现为2^∞周期解，系统走向混沌。这就是一条沿着倍周期分岔而走向混沌的道路。但我更关心的是这条通向混沌道路所对应的稳定性。

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以上图来自百度百科。第一个图是倍周期分岔(period-doubling bifurcation)走向混沌的分岔图，第二个图则是对应参数的Lyapunov指数，这个指数要小于0系统才具有稳定性。关于Lyapunov指数的含义我不在此多做解释了，博友可以去查相应的百科。这里我只想说明与超导分析有关的两点：

 第一，任何非线性的确定性动力行为都可能导致系统趋于稳定，也可能令系统走向混沌。该虫口模型就体现了，虫口数目少的年份会通常令来年自然繁衍数目增大，反之，虫口数目大的年份会竞争死亡加剧，而导致来年虫口数目减少。为此，对于每一只超导蚂蚁自身能量的演化，是否也会呈现为类似的分岔或混沌行为？前述跳转的能量集合{E₁, E₂,…, E_k}所构成的稳定循环，体现了通常的熵值跃迁对低能级系统要往高能级系统跃迁，高能级又要跃迁回低能级，最终可能形成循环稳定性。这两者或许是有可比性的，只是虫口模型是实时演化系统具有可测性，但超导蚂蚁的跨子系统之熵值跃迁为虚时演化系统，并不具有演化的可测量性。

第二，至于环境温度作为随机力驱动对系统演化之作用，以上细胞自动机与统计物理学的理解，就完全不一样了。统计物理学是把随机力视为形成统计分布的根源，BCS理论正是基于如此思路。而基于细胞自动机的理解是，从分岔到混沌或者反演倒过来，是系统自发的演化行为。作为分岔系统其Lyapunov指数小于0，它就具有一定的抗随机力干扰的能力。超导的实现只会基于如此具有Lyapunov稳定性的系统，且可能在温度升高、随机力增大时遭到破坏。进而，混沌系统中Lyapunov指数大于0，系统就完全无序化了而不会有超导存在了。所以，以上虫口模型之分岔和混沌的物理图像让我联想到了，超导蚂蚁的自动细胞机模型可以由此而建立。

有了以上超导电子的蚂蚁模型、虚时细胞自动机和单峰映射的Lyapunov稳定性描述，我就要进而再具体说明，当年的建立起该超导模型以下两点想法了。

首先，我的意图不是创建一个比以往BCS理论更加全面和正确的理论。事实上，以往的BCS理论计算，已经给出了许多诸如超导相变点温度、同位素效应、超导比热等可以与实验比对的理论分析结果。以上蚂蚁模型要做到这一点，就必须给出相互作用势V(p)精确的数学形式，否则任何计算就无从谈起，而这是非常困难的。为此，我当年的意图只是想解决BCS理论尚不能解释的现象。这体现在3点。一是前面着重谈的超导稳定性，我要从熵值跃迁的虚时演化之稳定性来理解。第二点是BCS理论给出的结论是，只要有电子-晶格的相互吸引势的存在，就会有超导。但这个结论肯定不对，因为如此电子-晶格作用存在于几乎所有材料但超导很罕见。为此，以上蚂蚁模型显示，超导可能还要依赖于V(p)对p展开的数学的形式。第三点就是前文已经谈到的超导中间态问题，超导理论对如此中间态没有很好的描述。我个人觉得，从蚂蚁模型出发可能可以建立起更好的磁场作用下的超导中间态理论。

其次，我的想法就是从以上蚂蚁模型出发，所给出的分岔和混沌的物理图像是具有普适性的，这是更为有趣的现象。事实上，Wolfram对细胞自动机的分析就揭示出任何演化最终只会形成为4类系统，即稳定、振荡、混沌或复杂化状态。为此，若能构造出分岔和混沌描述，以上蚂蚁模型之演化方向似乎涵盖了稳定、振荡和混沌解。更重要的是这些解具有普适性。这就意味着我们并不需要具体求解出整个系统在能动构架下的具体结构，而只要描述了每只蚂蚁子系统的熵值跃迁法则，那么，以上分岔和混沌的图像就是具普适性的。通向混沌的道路有两类普适性的数学结构，一类是上述的单峰映射的倍周期分岔道路，另一类是园映像的锁频道路（后文用于描述量子Hall效应）。然而，以上分岔和混沌问题一直停留在纯数学描述阶段，而并未在具体物理现象中找到典型案例。如果对超导现象能建立起如此分岔和混沌描述，当然意义重大。

接下来，就要谈如何具体把以上想法具体做成超导蚂蚁之物理模型了。这就涉及到到我的硕士论文了。我当年在北师大硕士论文导师的虽是胡岗教授，但对我硕士论文选题影响更大的，则是丁鄂江教授。当时丁教授正在瑞典做访问学者，他把时当时撰写的一篇论文的预印本（后来此文发在1988年的Phys. Rev. A上）邮寄给了胡老师。胡老师又交给我，是一个兼有单峰映射和园映射的混沌动力学模型。具体地说，这是一个做匀速圆周运动的质点在受到另一个δ函数的周期性外力后，就会从单一有序稳态的运动模式分岔，而走向混沌。这个模型包含了两条走向混沌的道路，就是前文所述的倍周期分岔和周期性锁频模式。

胡老师认为，在丁鄂江教授论文的基础上，我可做进一步的工作而作为我的硕士论文，即对以上两条通向混沌道路之交界处做符号动力学分析。交代完给我的这个工作以后，胡岗老师也出国做访问学者了。为此，我一个人只好在此基础上“瞎做”硕士论文：当年也没有e-mail，我无法与胡老师再有任何联系了。但我后来很快就发现，胡老师交给我的工作做下去意义不大：因为丁教授的模型在两条混沌道路之交界处在放大之后，并不会体现出普适性。顺便多说一句，我后来在硕士论文中并未按照胡岗老师的要求做，反倒还在论文中写了一句我对当年流行的符合动力学的看法，认为如此动力学分析没啥意义。后来，我的硕士论文的审稿人恰为刚回国的丁鄂江教授。丁教授还特意批评我：对符号动力学的批评作为个人观点，不要写在论文里为好。

但丁鄂江老师创建的以上混沌模型，却对我影响非常大。这是因为我当年设想的超导蚂蚁模型之能级结构ε(p) = p²/2m - V(p)与丁老师的模型有类似之处。这就激发了我的想象力：蚂蚁的熵值跃迁行为应当理解为某种非线性响应。线性响应体现为系统的响应与扰动成正比之连续的关系，而超导电子的熵值跃迁就属于不连续的跃迁而属于非线性响应，因而具有Lyapunov稳定性的周期解。如此周期解与环境温度并不直接相关。若环境温度有变稳定解会失稳而分岔成为若干子系统。温度达到一定高度，系统最终彻底失稳就会演变成为开放系统下的混沌解。所以，我自认为把Wolfram的细胞自动机的周期解和混沌解赋予了物理意义。周期解为封闭系统下的简并稳态在该模型中体现了超导性，而混沌解就失稳演变为普通热平衡态了。这当然与BCS理论相比是对超导完全不同的物理理解。

进而，如果在加上外加磁场，周期解的超导蚂蚁也同样可能丧失Lyapunov稳定性而进入混沌状态，这就给出强磁场下对超导中间态的描述。为此，这就进一步构成了一幅与BCS理论完全不同的超导物理图像——我理解的超导机制就与BEC完全无关了，而是联系着系统演化之分岔的Lyapunov稳定性。在外磁场等环境参量的调节下，超导系统也会形成不同的稳态结构。熵值跃迁所带来的子系统分岔，实际上体现为不同简并能量的子系统结构。前述能量集合{E₀, E₁, E₂,…, E_k}中跳转形成的稳定的循环即E₀= E_k就体现了，这是k个子系统的熵值跃迁之稳态。所以，温度下降的超导相变始于以上熵值跃迁导致的子系统稳态的形成，而只有温度下降到一定程度所有超导Cooper对电子才会形成只有一个简并能量的单一简并稳态系统。

然而，当年一个很大的困难是计算机还太落后。北师大的计算机房有一台当年还算先进的的大型机M340，但只有一个图形终端打印机，根本轮不上我这个硕士生来使用。好在，我的大学同学陈汉阳当年在中科院声学所，他同办公室的同事出国，而留下了一台PC1500在办公室。非常感谢这位老同学，他居然在我的请求下，同意把这台带有一个小型打印机的、虽然只有一行液晶显示的可编程小电脑借给了我。但我依然自费购买了打印笔和打印纸：整整几个月，我白天就设想构造出一个合理的迭代模型，晚上再用这台PC1500打印出从周期解到混沌的超导稳态描述。我当年可以给出的一个有意义的结果是，并非有电子-晶格作用下的Cooper相互吸引力，就一定会导致超导，超导是否存在还要取决于V(p)对p的2次方展开系数。然而，对超导中间态问题，我却没有给出出我想要的结论。不过最终我认为这个自作主张的研究尚不充分，因而未能写入我的硕士论文。但愿有网友可继续分析以上思路，看是否可行。

在本文的最后，我要多说几句。一是我后来的硕士论文还是受到了以上超导分析的启发，推广了丁教授在其文章中所论证的一个结果。这个结果符合我的系统演化分析对子系统的理解：一个系统的演化或者演化到A系统，或者演化到B系统，而不可能让两个系统叠加。这符合我们对熵值跃迁的理解，它与同一系统下的量子跃迁可能形成量子叠加态并不一样。熵值跃迁导致的后果只可能是，不同子系统都完全等几率化。后来，我的这个论证结果发表在1990年的北京师范大学学报。尽管这是针对对2次方和4次方的单峰映像之分岔的分析，但这个分析结果我认为是有普遍意义的，对我以后的物理学分析框架之创建也很有帮助。实际上，根据我的跷跷板结构，只有作为中间演化态的量子态才具有叠加效应，而跷跷板的其他稳态态都不存在叠加效应。这体现了我所认为的物理学之新的分析框架。

另外，以上对超导现象的分岔和混沌的稳定性理解不仅与BCS超导理论不同，它也体现了对简并稳态的理解：熵能判据并不单纯会驱动系统演化走向完全无序的热平衡态，它还可能驱动系统演化走向活力能等于零，而并无内禀温度的简并稳态。为此，这就打破了以往物理学的认知，系统演化并非一定要走向完全无序的热平衡态，反倒有可能走向更为有序化的简并稳态，但这是要基于Shannon的信息熵，而不是热力学熵。当然，以上演化过程符合以上从混沌态到周期分岔态的数学描述，我当然没有把握。但如此简并稳态属于介乎于量子和经典之间的系统，并且可用Lyapunov稳定性来描述，从而具有一定的抗干扰能力，即温度稳定性。这一物理理解我认为还是有道理的。我的以上硕士期间的物理思考，对我以后建立量子虚时和实时演化系统的思想影响极大，也促使我形成了活力稳态的概念，下一篇博文我再做分析。

最后，我还要再简单谈一下我对高温超导理论机制的一个猜想。有的理论分析认为，与BCS理论所描述的普通超导机制一样，高温超导电子的配对机制也为s波电子。而有的则认为是d波电子。非常遗憾，高温超导理论在最近几十年并无多大实质性的进展。然而，我最近看到新闻又报道了曹原的博士后工作，这是他在在2018年做了两层夹角为1.1°的石墨烯之超导引起轰动之后，又做的加了一层的3层石墨烯之超导研究。而这次3层的材料由于对称性更高，其超导特性也更加稳定。谈到稳定性，就令我突发奇想：如此准二维高温超导材料的超导载流子，可能并非s波也并非d波，是不是可能为两个接近相同方向电子的另类配对？

事实上，若把Cooper对电子从相反方向理解为接近相同方向的简并稳态结构以后，这对Cooper对电子给我们的想象力空间也大为增强。事实上，只要两个电子动量的差值保持了绝对值的相等，这些两个电子就也可以被当做是Cooper对电子。这很类似超流中，任何不同动量方向的He原子但只要能量相同，就都能构成简并稳态。为此，把Cooper对电子看做“勤蚂蚁”，实际上我们的想象力是可以非常丰富的。如两个动量并不接近但只要保持某种恒定差值的电子配对，它们也可以构成简并稳态。进而，简并稳态或许还并非就一定是Cooper对电子，甚至左旋和右旋的自旋电子排成一行，而形成一维的、首尾相连的“勤蚂蚁”系统，是否也构成了超导电子系统呢？我们似乎也可以从这个角度来思考超导电子的机制。