自然比率数据是非常常见的一种数据类型，比如叶片被虫子吃掉的比率，植被盖度等等。

这类数据的特点是值位于0,1之间，但又和由比率数据转换而来的比率数据有所区别（比如你播种了100粒种子，萌发了40个，萌发率为0.4，这就是典型的计数数据转化而来的比率数据，这种比率数据，属于典型的二项分布）。而自然比率数据，天生就是比率，这种数据中，不存在所谓获得比率的样本量问题，所以这种比率数据不属于二项分布的范畴。

针对这种比率数据，首先进行数据转换，再进行线性回归或者anova分析是过去常用的方法。比如对数据进行arcsin()转换，或者log(y/(1-y))转换，以及转换之后，再进行一般线性模型的拟合。但是，对自然比率数据进行数据转换，一直以来都是争议很大的做法。比如，早在遥远的2011年，一篇发表在Ecology的论文就认为：“For non-binomial data, the arcsine-transform is undesirable on the grounds of interpretability, and because it can produce nonsensical predictions (Warton and Hui 2011)”. 这篇文章认为logit转换（log(y/(1-y))），是个不错的选择。但是，如果你的比率有零值，甚至有大量的零值，那么logit转换，又要先对比率加上一个很小的数值才能转换，这似乎也又进入了死胡同。

Beta回归，其实是最适合自然比率数据分析的模型，但似乎是受制于统计工具的限制，beta回归长期没有得到大规模的应用。直到最近这几年，随着R中不同工具包的功能日益强大和完善，beta回归开始日渐受到人们追捧。2022年ESA旗下的ecosphere 杂志发了一篇论文，题目就叫《A case for beta regression in the natural sciences》，明目张胆以一种回归模型的应用案例为题目，足见beta回归应用之少见。这篇文章(Geissinger et al. 2022)，详细分析了此前人们处理比率数据的各种方法，也见证了各种方法的兴衰（下图）。

其实在2019年，Methods Ecology and Evolution上就专门发文介绍了适合比率数据的分析方法，重点介绍的就是beta回归(Douma and Weedon 2019)。感兴趣的朋友可以去看看这篇论文，里面也介绍了一些理论知识和案例分析，包括相关数据和代码。

通常，beta分布的范围是（0,1）。但是当你的数据中，包含零，甚至0很多的时候怎么办呢。这时候，我们就可以更专业一点，安排上所谓零膨胀beta回归模型，这便是当前最为专业做法了。下面，我们就以一个具体的案例为例，分别用贝叶斯和频率统计中的brms包和glmmTMB包这两个当红统计工具给大家演示下，如何去拟合一个广义线性混合模型中的零膨胀beta回归（Generalized mixed effects model with zero inflated beta error structure）。这个案例的数据本身是2019年发表在Global Ecology and Biogeography上的一篇论文，论文附件中包含了数据和贝叶斯分析代码(Muscarella et al. 2020)。考虑到很多人对贝叶斯统计的恐惧感，我这里再用频率统计把他的模型跑一遍，并对比下结果。这里也向原文作者公开其数据和代码表示感谢。

话不多说，上代码（代码做了必要注释，供大家参考）：

结果对比图如下：

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参考文献：

Warton, D. I. & Hui, F. K. C. The arcsine is asinine: the analysis of proportions in ecology. Ecology 92, 3-10 (2011).

Geissinger, E. A., Khoo, C. L. L., Richmond, I. C., Faulkner, S. J. M. & Schneider, D. C. A case for beta regression in the natural sciences. Ecosphere 13, e3940, doi:https://doi.org/10.1002/ecs2.3940(2022).

Douma, J. C. & Weedon, J. T. Analysing continuous proportions in ecology and evolution: A practical introduction to beta and Dirichlet regression. Methods Ecol Evol. 10, 1412-1430, doi:https://doi.org/10.1111/2041-210X.13234(2019).

Muscarella, R. et al. The global abundance of tree palms. Glob. Ecol. Biogeogr. 29, 1495-1514, doi:https://doi.org/10.1111/geb.13123(2020).