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《关于两门新科学的对话》札记3:全书概述.

已有 2766 次阅读 2022-2-2 22:12 |个人分类:近代科学|系统分类:科普集锦

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《关于两门新科学的对话》札记3:全书概述.pdf


 本书的意大利语书名全称是 Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali,相应的英文和中文分别是 Discourses and Mathematical Demonstrations concerning Two New Sciences pertaining to Mechanics and Local Motions 和《关于力学和位置运动之两门新科学的对话和数学证明》,通常分别被简写 Dialogues Concerning Two New Sciences 和《关于两门新科学的对话》。在英语文献中,它有时被简称为 Discorsi

 

与《关于两大世界体系的对话》一样,本书是采用对话体写成的,对话的地点设置在意大利威尼斯。三位对话者仍然是萨尔维亚蒂[Salviati]、萨格雷多 [Sagredo] 和辛普里丘 [Simplicio]。其中,萨尔维亚蒂是伽利略的代言人,萨格雷多是一位头脑聪明、好学的年轻人,辛普里丘则是一位相对愚钝的、亚里士多德学说的信奉者。

 

所谓的两门新科学,一般认为分别是指固体材料的断裂力学和运动学。它们大部分是伽利略在写作本书时的 20 年前的思考和研究。本 1638 年版一共有四 [giornata]对话。其中第一天第二天是关于第一门新科学,全部以意大利语写成;第三天第四天则是关于第二门新科学,其主体是关于运动学的拉丁语论文。


   



第一天内容概述

 

第一天是本书最难读的部分,它涉及的话题相当多,逻辑结构非常复杂,远不像后三那样清晰。

 

整个讨论是从威尼斯兵工厂开始的,萨格雷多从造船的实践中提出一个问题,即尺寸成比例的机械之强度的关系。他本人的观点是力学的基础是几何,而在几何中,图形的尺寸是无关紧要的。萨尔维亚蒂认为机械的尺寸越大,它就越脆弱,并且可以利用几何学加以证明,大机械相比小机械并不是成比例地更加坚固

 

在三位对话者讨论了多个现实中的例子之后,萨格雷多希望萨尔维亚蒂以固体抗断裂强度的问题作为今天的对话主题。后者说我们的院士 [伽利略] 已经把抗断裂阻力的问题发展为一门新的科学。随后,他提出一个基本研究课题:当一块木头或任何其他紧密凝聚的固体发生断裂时,是什么在起作用

 

辛普里丘由此发起了两个问题:

 

(A1) 为什么由短纤维拧成的绳子有那么大的强度?

 

(A2)金属、石头和其他没有纤维结构的材料内部凝聚力的原因?

 

萨尔维亚蒂说,要讨论这些问题必须脱离主题。之后,整天对话都将用于讨论各种各样的话题,直到快结束时才重新又提起前面的材料强度问题。

 

对问题 A2 的讨论是这一的重点内容之一。总体上来说,萨尔维亚蒂 (伽利略) 认为固体的凝聚力都源于虚空的作用力:

 

(1)   首先是[] 虚空的作用(用现代的观点来看,就是大气压强对物体的作用;伽利略晚年的天才学生托利拆利澄清了相关问题) 。与亚里士多德不同,伽利略相信真空的存在,但这一 [] 虚空的作用力只能解释固体凝聚力的很小一部分。


(2)    接着探讨了不可分割的无穷小虚空的作用。萨尔维亚蒂试图说明虽然每一个无穷小虚空的凝聚力量都是无穷小,但由无数微小力量合成的力量可以把物体紧密地结合在一起。

 

这意味着在有限范围内”“可能发现无限数量的虚空。于是,萨尔维亚蒂转而揭示他对无限量(无穷多和无穷小) 与有限量、连续量和不可分量等概念的看法。这一讨论又开始于对亚里士多德之轮悖论的解答。后者对伽利略而言极其重要,关系到其物质观以及对多个物理量的理解 (如时间、速度的连续变化等) ,因而占据了本书相当大的篇幅。

 

在这中间,辛普里丘又提出了他的三个无法解决的困难

 

(B1)  亚里士多德之轮的转动过程中,圆心通过的直线为什么可以等同于圆心自身。

 

(B2)  如何理解由点构成线,由不可分割之物构成可以分割之物,由无限构成有限

 

      (B3) 第三个问题还是关于虚空是否存在。

 

在对无限量与有限量、连续量和不可分量等讨论当中,伽利略实际上给出了他的物质观,即数学化或者说几何化的原子论。此处无法详述相关讨论,这里只给出涉及的几个主要问题:

 

(C1) 对物体的膨胀和收缩的解释。

 

(C2) 如何调节水体密度,鱼类如何在水体中保持平衡。

 

(C3)大颗粒的水珠为什么可以驻留在大白菜叶子上

 

(C4) 光速是否有限,如何测量。

 

(C5) 周长相等的所有正多边形中,[有无穷多条边的] 圆的面积最大。

 

在第一 60% 的地方开始,三位对话者进入了对问题 B3的讨论。它触及了本书第二门新科学(即运动科学) 。辛普里丘阐述了亚里士多德关于物体自然下落运动的两个观点:


(D1) 在相同的介质中,不同重量的物体将以不同的速度运动,而且其下落速度与重量成正比。

 

        (D2) 在不同的介质中,同一物体的下落速度与介质的密实度成反比。

 

通过著名的思想实验 (两块绑着的石头一起自由下落),萨尔维亚蒂论证了观点 D1是错误的。利用在不同介质中实际观察到的物体上浮或下落的速度方向和大小的差异,他又证明了观点 D2也是错误的。在辛普里丘无言以对之时,萨格雷多插话并提出两个问题:

 

(E1) 在同一介质中,比重不同的物质,例如一个软木球和一个铅球的落速度不应该是一样的。

 

  (E2) 在不同的介质中,同一个物体的下落速度之间的比值是多少?

 

在萨尔维亚蒂回答之后,辛普里丘则又提出了问题 F1:如果空气具有轻性,上面的讨论将变得没有意义。

 

萨尔维亚蒂表示,亚里士多德本人也认为空气是有重量的,而且说过充气的皮囊要比放气后的皮囊更重。与之相关的问题是如何测量空气的比重,此番讨论常用到阿基米德的浮力原理。

 

接下来,萨尔维亚蒂自己表示,一旦说出了某个新颖的事实,他就不能忽略任何用于确立它的实验或论证,由此引出了关于单摆的研 (单摆的下落也是一种下落运动,虽然不是自由落体) 。他指出,分别将一个铅球和软木球用等长细绳悬挂,它们的摆动在各种角度下都是在相同时间内完成的

 

在经过一番讨论之后,萨格雷多终于意识到应该回到最初提议讨论的问题上来。萨尔维亚蒂表示,不如明天再来聊,因为今天时间已经不多了。于是,萨格雷多又问了三个题外话问题:

 

(I1) 介质阻力是否足以摧毁任意重量之球形物体的加速?

 

(I2) 所有等长单摆的摆动周期,是否精确地与摆球重量无关?

(I3) 当单摆摆长不等时,它们的摆动周期之比值是多少?

 

在萨尔维亚蒂给出问题 I1的正面回答和解释之后,萨格雷多趁机又提出三个与音乐有关的问题:

 

(J1) 为什么有些音调的组合很好听,另外一些组合则不好听?

 

(J2) 一根琴弦发声时,为什么会引起另一根同调琴弦发声 (共振问题)

 

(J3) 与和声有关的各种比值,以及相关的细节。

 

在讨论完这些问题之后,萨尔维亚蒂感叹整天对话实在是离题太远了,以至于已经忘记最初要讨论的那个假设和原理。于是,萨格雷多提议休会,萨尔维亚蒂表示第二天还会准时到来。第一天结束。

 

第二天内容概述

 

第二天的篇幅较小,结构非常清晰,它的主题是固体的抗断裂能力,其要点是所谓的尺寸放缩效应 (scale effect),对此伽利略要利用几何学加以证明

 

萨尔维亚蒂首先提出有必要讨论固体抵抗弯折或折断的能力,而不仅仅是抵抗拉伸的能力。在具体讨论之前,他先证明了杠杆定律,它是第二天讨论的重要基础。

 

在一番离题之后,整个讨论将主要以命题的陈述和证明为主。

 

命题 1 第二天基本模型,它的结论基于杠杆原理和一个重要假设:柱体 (指圆柱或棱柱) 横截面上的抗断裂作用力均匀分布 (另外还默认了柱体不会发生形变)实际上,命题 1 并不是一个几何命题(没有几何证明过程) ,它更像是伽利略研究材料抗断裂能力的一个原理 (principle)或公理。


  命题 2 是命题 1 的一个简单应用。

 

命题 3 实际上是计算柱体自身重量的力矩随其长度的变化(柱体的粗细不变) 规律。

 

命题 4 给出了长度相同、粗细不同的柱体的折断负荷之比。

 

在插入了辛普里丘与萨尔维亚蒂关于长绳是否相比短绳更加脆弱的一段讨之后,命题 5 给出了在不考虑柱体自重的条件下,任意长度和粗细的柱体的折断负荷之间的比值计算公式。

 

命题 6 至命题 8 都是针对物体在自重下断裂的情形 (外加负荷为 0),即对第一天所谓的尺寸放缩效应问题的回应。

 

命题 6 考察的是相似柱体 (尺寸成比例) momenti composti 与其横截面上的抗断裂力量之间的关系。(命题 6 比较难懂,我花了较长时间去消化它的表述和含义。现在呈现出来的译文和译注仍然未必是正确的。Clifford Truesdell说伽利略关于尺寸放缩效应的文字是mysterious (神秘的,难以理解的)。而我对命题 6 的理解也与 Clifford Truesdell 相差甚远。)

 

由之可得到命题 7,即形状相似的固体只会在唯一的某种尺寸之下因自重而断裂。但比较奇怪的是,命题 7 的证明过程并未用到命题 6,而是用到了命题 4

 

命题 8 是由已知的刚好因自重而断裂的柱体,去求另一种尺寸的刚好断裂的柱体。萨尔维亚蒂给出了两种不同的证明,但是都没有利用到命题 6。命题 9 是命题 8 的推广。

 

三位对话者接着对固体承受自重之能力的尺寸效应进行了一翻讨论,特别是讨论了为什么鱼类的体积可以比陆地上的动物大很多。

 

之后,萨尔维亚蒂给出了命题 10,其实质是如何把柱体一端的载荷等效为自重的作用。

 

接下来,萨尔维亚蒂讨论了柱体被两端支撑或中心支撑时,在自重下不断裂时可以达到的最大长度。命题 11 是计算当单个支点位于柱体上任意一点时,柱体两端断裂负荷 (两端负荷之和) 之间的相互比值。命题 12 是命题 11 的反问题,即已知柱体的两个不同断裂负荷 (两端负荷之) 以及其中一个支点的位置 (中点) ),求另一个支点的位置。

 

之后讨论的问题是,当立体是什么形状时,其所有截面对应的断裂负荷相等。经过一翻讨论之后,他提出此时立体的纵截面是抛物面。此后,萨尔维亚蒂花了较长的篇幅证明,在上述情况下,初始直棱柱的体积可以用抛物线切掉 1/3 而不影响其应用。

 

于是,萨格雷多提问如何在平面上作出一条抛物线的问题。萨尔维亚蒂给出了两种物理方法:一种是利用抛体运动(这是本书第四天的主题) ,另一种则利用悬链线 (我们现在知道这种方法是不准确的)

 

最后,他又回到固体断裂的话题,并证明了对于等体积等长的空心圆管和实心圆柱,前者的折断强度要大于后者,二者之比等于它们的外径之比。在此基础上,萨尔维亚蒂给出了求解任意空心圆管与等长实心圆柱的折断阻力之比的方法,这也是第二天的最后一个命题。该命题求解完毕后,本书第二天即在没有任何结束语的情况下戛然而止。(可能相关手稿未及时到达出版者手中,或是在传递过程中遗失了。)

 

 

第三天内容概述

 

第三天第四天是关于本书的第二门新科学,即运动科学。其主体是拉丁文写成的论文《论位置运动》[ De Motu Locali],它以萨尔维亚蒂向另外两位对话者朗读的形式呈现,并在其中插入三位对话者之间的意大利语讨论。而伽利略本人则隐藏在背后,被称作the Author (作者)our Author (我们的作者)

 

《论位置运动》包括 3 个部分,分别研究匀速运动、匀加速运动 (自由落体运动) 和抛体运动。第三天包括前两部分,第四天包括第三部分。

 

在没有任何前奏的情况下,第三天就开始了《论位置运动》的标题和导语。在导语中,他说明了这篇论文的写作目标、开创性和重要性:通往这一广博而卓越的科学的大门已经打开了,未来的更加敏锐的头脑,将会去探索这门科学中更加深远的角落

 

《论位置运动》正文的第一部分即论匀速运动,它是按照公理化的形式展开的,一共包括 1 个定义、4 个公理和 6 个非常简单的命题。由于伽利略不能给出现代的速度定义 (v = S/t),这 6 个命题都是以比例的形式呈现的。它们都是比较简单的,初中学生完全能够理解它们的代数形式,但要理解其比例化的几何证明则相对要困难。

 

《论位置运动》正文的第二部分是匀加速运动,也是整篇论文最核心的部分。它也是按公理化的形式写成的,包括 1 个定义、一个公(也被称做原理或假设;在本书 1655 年版本中被重述为一个定理) 38 个命题以及若干推论。

 

在给出匀加速运动的定义之后,三位对话者就这个定义进行了详细讨论。三位对话者重点探讨了如下几个问题:

 

(问题 1) 与物体经历了无穷多个速度(特别是无穷多个慢度)  有关。萨尔维亚蒂正面回答这一问题的核心思想,与第一天的问题  B2 有关,即无限多个时间和速度可以产生有限的运动距离。


 (问题 2) 关于重物在自然运动中的加速原因。萨格雷多和辛普里丘列举了彼时的一些观点,而萨尔维亚蒂最终表示我们这位作 [伽利略] 的当前目标,只是要去研究和证明加速运动的一些性质 (不论其原因到底是什么)


 (问题 3) 萨格雷多表示,把匀加速运动定义为速度与通过的距离成正比会更加清晰。萨尔维亚蒂对这一错误的定义进行了反驳。事实上,伽利略本人曾经以为它是正确的。

 

在萨格雷多重述了匀加速运动的定义之后,萨尔维亚蒂给出了我们的作者唯一的假设,即:物体由静止开始从等高的光滑斜面下落时,获得的速度大小相等。从现在的观点看,它相当于机械能守恒定律。

 

在讨论了上述定义公设之后,给出了两个非常重要的命 (物体都是从静止开始进行匀加速运动)

 

(命题 1) 平均速度性质

(命题 2) 时间平方定理

 

(推论 I) 奇数定律。在从 0 开始的依次相等的时间间隔内,物体的运动距离之比等于由 1 开始的奇数之比。

 

(推论 II) 比例中项性质。

 

 

在上述两个推论之间,插入了三位对话者的一段讨论。首先是萨格雷多给出了上述推论 I 的另一个证明。之后,萨尔维亚蒂给出了著名的斜面实验,描述了实验的装置和方法,并强调进行了上百次的重复实验。可惜的是,本书没有给出任何相关实验数据。

 

上述命题和推论的证明都只需要利用匀加速运动的定义,无需用到上述公设。在本书的 1638 年初版中,接下来就是命题 3。但在本书 1655 年版本中,维维安尼 (伽利略晚年的学生和得力助手) 按照作者之前的口述,加入了一段对上述公设力学证明,从而把它变成了一个定理,并且由此给出了命题 3 的另一种证明。从某种意义上来说,这段不太好理解和翻译、但又非常重要的文字预示了牛顿的第二运动定律 (F = ma)

 

命题 3 及其推论也是非常基本和简捷的性质,它表明:当由等高光滑平面的顶点开始降落时,物体到达底端所需时间之比等于平面自身长度之比。它们的证明用到了前述公设

 

由上述三个命题及其推论,可以推导出第三天后文中所有 35 个命题。限于篇幅,这里只讲几个重要的命题。

 

下一个重要性质是命题 6 及其推论。它们表明:对于一个斜边位于竖直方向的直角三角形,当物体从静止开始降落时,通过它的任意一条边所需的时间都相等。

 

命题 21 至命题 26 (中间插入的命题 22 除外) 讨论了当物体先降落一段距离之后,再折向其他斜面或水平面运动时的相关性质。在命题 23 之后,伽利略有一个长长的注释,依次给出了重要的二倍距离规则 (double-distance rule )、惯性原理和速度叠加原理。

 

命题 29 至命题 32 都是关于物体降落时间最小值的问题。而在命题 36 的注释中,伽利略将试图证明圆是最速下降曲线 (现在知道这是一个错误的结论)

 

虽然伽利略采用了公理化的方法,但他对命题的编排并没有明确的规则,显得有点零乱。然而,正如文献 [DOI10.1007/BF00327483] 说,这一不足极可能是源于这项工作本身的原创性,而最整洁的道路并不是由开拓者们修筑的 (It is not the pioneers who construct the tidiest paths)

 

 

第四天内容概述

 

第四天是关于抛体运动的,它是拉丁语论文《论位置运动》的第三部分,其篇幅相对较短。伽利略发现抛体运动的轨迹是抛物线,并证明与之相关的一些命题,是早于 1610 年的事情。但是,直到大约 1636 年,他很少再进行相关研究。

 

第四天不具备公理化的形式 (没有定义公设) ,它在导语中简单介绍了如何产生抛体运动(平抛运动) 之后,立刻就开始了命题的陈述与证明,一共有 14 个命题,它们都只需要简单的抛物线知识即可理解。

 

命题 1 证明了平抛运动的轨迹是半抛物线。

 

在命题 2 之前,三位对话者进行了一翻讨论,主要是关于现实中的抛体运动轨迹是否确实是抛物线。相关内容大部分在第三天已经都讨论过了。

 

命题 2 实质上给出了动量或速度合成的平行四边形法则。

 

命题 3 则给出了自由落体运动过程中动量大小的变化方式,它实质上是第三天匀加速运动命题 2 推论 II 的另一种表述。

 

以上两个命题只是为进一步研究抛体运动作准备。

 

接着,伽利略提出,必须要为水平运动和竖直运动的度量定义一个共同的标准(伽利略并没有类似于今天的/之类的长度单位) 。命题4  具体展示了定义共同标准的方法 (以从静止开始等距离下落的自由落体的动量为标准)

 

命题 5 是在已知抛体运动路径的情况下 (即已知抛物线的形状) ,去求得它的准高(运动端点至准线的高度) 。命题 5 的推论更加重要,它指出:半抛物线宽度的一半,是其高度与准高的比例中项。命题 6 和命题 9 是上述推论的简单应用。

 

命题 7 指出,水平射程相等时,斜抛运动在仰角为 45 时初速度最小。其推论是,同样的初速度之下,斜抛运动在仰角为 45 时水平射程最大。

 

命题 8 告诉我们,在同样的初速度之下,当两个斜抛仰角之和为直角时,水平射程相等。

 

命题 10 是一个有趣的性质:平抛运动在某一端点上的速率,等于物体由抛物线的准线由静止下落到与该点相同高度时的速率。

 

命题 11 是在已知半抛物线的宽度和端点速度 (用长度表示) 时,求得其高度。

 

最后的三个命题分别给出一个与斜抛运动 (如炮弹发射) 有关的表格。命题 12 给出了初速度相同的斜抛运动在不同仰角下的水平射程。据此,已知初速度和水平射程,可以求得不同仰角下的抛射高度 (命题13)。最后,命题 14 计算了当抛物线的宽度恒定时,其在不同仰角下的抛射高度和准高。

 

在对这些表格进行一翻讨论之后,萨格雷多提出一个问题:平抛物体的运动轨迹有没有可能是水平直线?他将之与绳子在两端拉伸时不可能呈水平拉直状态这一可以严格证明的现象作类比(将一个运动学问题与一个静力学问题作类比) ,倾向于认为上述问题的答案是否定的。在

 

得到萨尔维亚蒂的指点之后,萨格雷多应辛普里丘的要求,对此给出了详细证明。

 

本书 1638 年版的主体内容到此结束。虽然萨尔维亚蒂预示还有更多内容,它们并未在伽利略的有生之年得到完成。



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4 史晓雷 尤明庆 杨正瓴 孙冰

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