这一节我们用平面波展开的方法来求衍射系统的传递函数。

通过傅里叶变换，在 $z=0$ 处的场强 $U$ 可以表示为平面波的叠加：

$U(x,y,0) = \iint^\infty_{-\infty} A(f_X,f_Y;0)e^{i2\pi(f_X x+f_Y y)}\,\mathrm{d} f_X\,\mathrm{d} f_Y,$

其中，

$A(f_X,f_Y;0) = \iint^\infty_{-\infty} U(x,y,0)e^{-i2\pi(f_X x+f_Y y)}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y.$

平面波的传播方向可以用波矢 $\vec{k}$ 的方向余弦 $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ 来表示，其各分量满足如下关系：

$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 1.$

因为这里涉及的是空间坐标，所以在频率空间里自变量 $f_X$ 、 $f_Y$ 代表的是空间频率。和平面波函数 $e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}$ 相比较，我们可以得到空间频率 $f_X$ 、 $f_Y$ 和波长、传播方向的关系：

$\alpha = \lambda f_X, \quad \beta = \lambda f_Y, \quad \gamma = \sqrt{1-(\lambda f_X)^2-(\lambda f_Y)^2}.$

所以， $A(f_X,f_Y;0)$ 也可以表示为

$A\left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda};0\right) = \iint^\infty_{-\infty} U(x,y,0)e^{-i2\pi\left(\frac{\alpha}{\lambda} x+\frac{\beta}{\lambda} y\right)}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y,$

$A\left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda};0\right)$ 被称作 $U(x,y,0)$ 的角谱（angular spectrum）。

用类似的方法，在位置 $z$ 我们也可以把 $U$ 按平面波展开：

$U(x,y,z) = \iint^\infty_{-\infty} A(f_X,f_Y;z)e^{i2\pi(f_X x+f_Y y)}\,\mathrm{d} f_X\,\mathrm{d} f_Y,$

其中，

$A(f_X,f_Y;z) = \iint^\infty_{-\infty} U(x,y,z)e^{-i2\pi(f_X x+f_Y y)}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y.$

根据 LSI 系统的性质， $A(f_X,f_Y;z)$ 和 $A(f_X,f_Y;0)$ 可以通过传递函数 $H(f_X, f_Y)$ 联系起来：

$A(f_X,f_Y;z) = H(f_X, f_Y) A(f_X,f_Y;0).$

为了求解 $H(f_X, f_Y)$ ，我们将 $U(x,y,z)$ 表达式代入亥姆霍兹方程，可以得到

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2}A(f_X,f_Y;z) + k^2(1-\alpha^2-\beta^2)A(f_X,f_Y;z) = 0.$

这是一个简单的常微分方程，容易得到它的解为

$A(f_X,f_Y;z) = A(f_X,f_Y;0) e^{ik\sqrt{1-\alpha^2-\beta^2}z} \quad (\alpha^2+\beta^2<1).$

当 $\alpha^2+\beta^2>1$ 时，该方程的解为衰逝波，我们在这里不讨论这种情况。于是，传递函数可以表示为

$H(f_X, f_Y) = \begin{cases} e^{i\frac{2\pi}{\lambda}z\sqrt{1-(\lambda f_X)^2-(\lambda f_Y)^2}}& \left(\sqrt{f_X^2+f_Y^2}<\frac{1}{\lambda}\right),\\ 0& \left(\sqrt{f_X^2+f_Y^2}>\frac{1}{\lambda}\right). \end{cases}$