在拙文《三言两语话学习》发后，有学者志东先生留言：“‘在科研中，更多的是使用非经典逻辑的方法’。可以再写篇新文, 专讲将这个话题。”就我个人的能力而言张先生给我出了一个难题，但也给了一条出路，毕竟不给出路的政策不是好政策。因为，“话题”比“问题”要小，可以在饭后茶余而话，甚至大话。

 

逻辑，是对思维过程的抽象，也是科学研究过程中不可回避的方法。其中形式逻辑属于工具逻辑的范畴，它研究推理中前提和结论之间的关系。这里，有经典逻辑与非经典逻辑的分野。

经典逻辑的基本规律是(1)排中律，(2)排中律，(3)矛盾律；从而也具有如下基本特征，即：(1)蕴涵的单调性和蕴涵的幂等性，(2)合取的交换性，(3)De Morgan对偶性，等。其典型例子是亚里士多德的三段论。

非经典逻辑是对上述特质的拒绝，例如，模态逻辑扩展了非真值泛函(“模态”)算子，研究必然、可能等概念的逻辑性质。非经典逻辑并非产生于现代，亚里士多德就研究过模态三段论，近代的一个模态命题演算系统是美国逻辑学家刘易斯于1914年构造的。在现代的非经典逻辑中，时态逻辑是一种模态逻辑，其研究对象是把含有时态动词的语句形式化；次协调逻辑拒绝无矛盾律，认为“矛盾律”并不普遍有效；线性逻辑拒绝蕴涵的幂等性；构造逻辑、直觉逻辑则拒绝排中律和De Morgan性质；多值逻辑、可计算性逻辑是可计算性的语义构造的形式理论，因而更有数学的味道，如模糊逻辑，也是拒绝排中律和De Morgan性质的。

在拙文《三言两语话学习》中谈到的非单调逻辑则拒绝蕴涵的单调性。该文举了一个“鸟会飞”的例子，是缺省逻辑中的一个例子。缺省逻辑是一种有缺省假定推理的非单调逻辑。“鸟会飞”这个规则在标准逻辑中表达为要么“所有的鸟都会飞”，要么“除了企鹅、鸵鸟 ... 的所有鸟都会飞”，这要求规则指定出所有的例外。在现实中指出所有的例外是很困难的。缺省逻辑致力于这样的推理规则，而不需要明确提及所有的例外。

一个常见的缺省假定是不知道为真的东西都被相信是假的，这叫做封闭世界假定。反过来讲，另一个假定是“不能证明是假的则认为是真的”。推而广之，在“不能证明存在就是不存在”与“不能证明不存在就是存在”的两个假定中要选择一个。选择前者，上帝是不存在的，选择后者上帝是存在的。基于常识，选择前者，也就是“封闭世界假定”；基于信仰，选择后者，也就是文化。科学研究是基于常识的，但常识不能给出所有的例外，因此，寻找“反例”是一个重要的科研方法。

反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。科研，由有限的知识去认识无穷的世界，离不了猜想、假定、假说，因而，要么证明它，要么用反例否定它，反例是一种否证，这时，只要有一个反例即可。举反例可澄清概念，促进新概念、新定理与新理论的形成和发展。它往往给出新的知识、新的研究对象，甚至开启一个新的分支或一门新的学科。对探索中的重大课题与猜想，举反例予以否定，与给出严格证明予以肯定，是同等重要的。

下面，举两个人们常谈及的例子，一个属于物理范畴，一个属于数学学科。

 

第一个：物理中的反例。

五十多年前，物理学界一致相信宇称守恒定律，也就是说一个粒子的镜像与其本身性质完全相同。在1956年，物理学家发现有两种介子，它们的自旋、质量、寿命、电荷等完全相同，多数人认为它们是同一种粒子，但它们的衰变性质又不一样，这种现象是宇称守恒定律的反例。于是，有人认为这是不同的两种粒子。

对此，李政道和杨振宁大胆地断言：这两种介子是完全相同的同一种粒子，但在弱相互作用的环境中，其运动规律却不一定完全相同，通俗地说，它们的衰变方式在“镜子里”和“镜子外”不一样，即在弱相互作用下是宇称不守恒的，后来被吴健雄的实验所验证。从此，“宇称不守恒”替代“宇称守恒”成为一条具有普遍意义的基础科学原理，而这种介子后来被称为K介子。

吴健雄的实验是很有创意的。她用两套实验装置观测钴60的衰变，其中一套装置中钴60的原子核自旋方向为左旋，另一套装置中自旋方向为右旋，两套装置中的钴60互为镜像。实验结果表明，这两套装置中的钴60放射出来的电子不仅数量有很大差异，而且放射的方向也不对称。从而证实了弱相互作用中的宇称不守恒。

 

第二个：数学中的反例。

函数的可微性反映了它的光滑性。在数学中有一个简单的常识：如果函数在某点可微，则在该点一定连续。也存在这样的函数，它在某点连续但在该点不可微，例如，锯齿型函数的齿尖。重复地把一个锯齿连接起来，就得到一个有无穷多个锯齿的函数，其齿尖有“自然数那么多”，通常称为“可列个”，即像自然数那样排列起来。当时，包括高斯在内的不少数学家都认为连续函数的不可导点至多是可列集(与自然数集可以一一对应)。

然而，在1872年，数学家Weierstrass构造了一个函数，它处处连续却处处不可微，也就是说它每一点都是连续的而每点都是不可微的，这样的点有实数那么多，比可列集还要多。这个函数是：

其中0＜a＜1，b＞0是一个奇数，并且

有人称这样的函数为病态函数。Weierstrass病态函数的发现，在数学史上占有很重要的地位，它从根本上改变了人们对于可微性和连续性的传统看法。鉴于曼得布罗特对“病态函数”(英国海岸线)度量的研究导至分形学的诞生，从而有人把Weierstrass函数作为分形学产生的“起点”。Weierstrass函数的性状较难想象，而有分形的概念后，可以想象该函数是一锯齿，而每一点的邻近又是锯齿，大致如下图所示：

(该图源于网络)

反例在逻辑上的性质与命题的结构密切相关，简单而言，有如下几点：

(1) 反例的基本形式

具全称与特称的命题有四种基本的形式，即全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。其中，全称肯定判断(所有S都是P)与特称否定判断(有S不是P)互为反例，全称否定判断(所有S都不是P)与特称肯定判断(有S是P)互为反例。

(2) 假言判断的反例

充分条件的假言判断是断定某事物(前件)是另一事物(后件)的充分条件，可表述为“有前者，必有后者”，但是“没有前者，不一定没有后者”，如果存在“没有前者，却有后者”的例子，即是关于充分条件假言判断的反例。

类似有必要条件的假言判断有的反例，断定某事物(前件)是另一事物(后件)的必要条件，可表述“没有前者，就没有后者”，但是“有了前者，也不一定有后者”，如果存在“有了前者，却没有后者”的例子即是反例。

 

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