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[转载]同构,同胚,同伦,同调和不动点(2018.10.5)

已有 819 次阅读 2021-12-6 12:34 |系统分类:科研笔记|文章来源:转载

同构,同胚,同伦,同调和不动点

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0.7332018.10.05 12:42:22字数 1,550阅读 6,404


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同构,两个空间的元素一一对应并且保证了所有重要关系的一一对应;

同胚,双方连续的一一映射;

同伦,两条曲线可以连续变形得到;

同调,两个流形,本身没有边界,但却是一个更高维流形的边界,则两个流形同调

1.群的定义

群的定义共有四条:“封结幺逆”。子群的判定有两种。

一些常见的特殊群

元素数目(阶数)有限的群称为有限群,否则为无限群

交换群又称Abel群

无非平凡子群的群称为单群

由一个元素生成的群称为循环群

集合S到S的全部一一对应构成一个群,称为变换群A(S)A(S)。任何群都可以看做某集合上的变换群(Cayley定理)。这里的每个一一对应可以看成是每个排列方式。

有限集合(n个元素)上的变换群称为置换群SnSn,亦称为n次对称群,其阶数为n!n!。

n次对称群SnSn中全部的偶置换构成n次交错群AnAn,其阶数为12n!12n!。5次及以上的交错群为单群。

2.群的内部结构

2.1 正规子群和商群

子群一定包含幺元。如果确定了一个群的非平凡子群,一定可以取某个该子群外的元素,构造该子群的一个傍集。傍集与子群“平行”(即元素数目相等,不相交),但是傍集并不是群。再取子群和傍集之外的元素继续构造另一个傍集……这样可以将大群进行“整齐的”划分,这就是Lagrange定理。任何大群中的元素都必然属于某一个傍集(子群也算傍集)。

这些傍集实际上可以用其中的一个元素作为代表(等价类),换句话说,傍集之集可以看成是一个“低分辨率”的大群,元素被一组一组地“捏”成一个点。一个很自然的想法是这个“低分辨率”的集合(傍集之集)是否仍然是群。对于(Ha)(Hb)=H(ab)(Ha)(Hb)=H(ab)这种乘法运算成立的条件显然是任何a要能穿过H:aH=HaaH=Ha。这里并不要求a和H中每个元素交换,只是要求H中的元素在任意“共轭变换”(g−1hgg−1hg)之后仍然能够落在子群H中。此条件即傍集之集为群的充要条件;并且由此定义一个群的正规子群:即能够使其傍集之集为群的子群,若傍集之集为群则称之为商群。因此,将一个群“粗糙化”舍弃掉一些信息使其变成一个小群“商群”的方法是找一个(非平凡)正规子群;这个过程或许可以命名为一种“除法”,正规子群是“除数”。(显然这里一定能“整除”。)

对于由群中的一个任意的子群而言,大群的所有元素可以简单分成两类:满足aH=HaaH=Ha的和不满足的。将所有满足aH=HaaH=Ha的元素归到一个集合中,这个集合就是一个群,称为子群H的正规化子,也就是最大的包含H作为其正规子群的子群,记作N(H)N(H)。这个记号似乎可以看成是一个“函数”。

2.2 中心

一个群的运算不一定是交换的,可能在某些元素上有交换性:某些元素与其他任何元素的运算都可交换,比如幺元。这些对其他任何元素具有交换性的元素之集是一个群,称为大群的中心。中心必定是正规子群,而且条件是在“共轭变换”下保持不动。

类似正规化子,我们也可以定义中心化子。对群的子集(注意是子集即可),取大群中所有能够与此子集中的元素都交换的元素作为一个集合,即子集的中心化子,通常记作C(S)C(S)。仔细思考C(G)C(G)(G是大群)即为G的中心。

3.群的外部关系:群同态

群到群的映射若保持两群的运算规则(可以理解为连同运算一起映射)即为群同态。显然同态必然将幺元映为幺元,逆元映为逆元,子群映为子群,正规子群映为正规子群,商群映为商群。此即对应定理

“对称”的群同态,即一一映射,称为群同构;而同构的两群实际上是完全一样的,只是元素的表示花样不一样罢了(所以可以视同构为“相等”)。而“非对称”的同态,只可能将一个群投影“变小”(即像的阶数变小)。这样的同态只能将一个群投影为一个小群(满射而非单射)或者投影为另一个更大群的一部分(单射而非满射)。显然“不对称”的情况下同态会将多个元素映为一个点,例如映为像中的幺元。这些被映到幺元的元素组成一个子群,称为同态的核(Ker)。同态的核显然是一个正规子群,这是由像中幺元的交换性质反推得出的。对于同态ff,一个群“除以”同态核KerfKerf就等于像ImfImf,此即同态基本定理




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