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剑桥大学的数学物理学家Cohl Furey正在寻找粒子物理标准模型和八元数之间的联系。八元数的乘法规则被编码在被称为法诺面的三角图中。（摄影：Susannah Ireland）

对于一维、二维乃至四维的数字，人们都不陌生：一维的实数一直都存在于经典物理中，复数提供了量子物理的数学基础，四元数则是爱因斯坦狭义相对论的基础。然而，最为复杂的数字形态——八元数，又与现实世界存在着怎样的关系呢？

包括本文的主人公，剑桥大学数学物理学家Cohl Furey在内的一些科学家相信，八元数蕴藏着整个宇宙的秘密——我们可以从中推导出构成现实世界的整套相互作用和粒子。这篇文章，就将带我们走进这类奇异而复杂的数字。

2014年，加拿大滑铁卢大学的研究生Cohl Furey驾车6小时来到了宾夕法尼亚州立大学，希望能和物理学教授Murat Günaydin讨论一个问题。Furey弄明白了如何在Günaydin 40年前研究的基础上建立新理论。这是一项已经被多数人遗忘的研究，它支持一个有关基础物理与纯数学之间联系的猜想。而现在，Furey将它重新带回人们的视线中。

这个猜想虽然存在于很多物理学家和数学家心中，但是很少有人做这一领域的研究。它认为，构成了现实世界的整套相互作用和粒子，都可以从一种名为八元数的八维数字中推出来。

Günaydin现在是宾夕法尼亚州立大学教授，在1973年他还是耶鲁大学的研究生的时候，他和他的导师 Feza Gürsey 发现了八元数和强相互作用之间的令人吃惊的联系。强相互作用是将原子核中的夸克结合在一起的力量。其他研究者最初对这一发现很感兴趣，但兴趣并没有持续多久。那时所有人都在为粒子物理中的标准模型而困扰，它能够通过方程描述已知的基本粒子和它们之间的强、弱和电磁相互作用（引力之外的所有基本作用力）。但是大家没有去寻找标准模型问题的数学解释，更多的物理学家将希望寄托在高能粒子对撞机等实验上，希望会找到预料之外的粒子，从而能够超越标准模型，更深层次地理解现实。他们“想象下一次进展会自动出现，而不是通过更深入地思考我们已知的信息而获得。”加拿大圆周理论物理研究所的 Latham Boyle说。

几十年过去了，物理学家还没有找到超出标准模型的粒子。与此同时，八元数的奇异之美也一直吸引着少数几个有独立想法的研究者，其中就包括Furey，这个在4年前拜访过Günaydin的加拿大研究生。那时Furey在黑板上潦草地写下一串奇异的符号，试图向 Günaydin 解释她将他的工作从强相互作用拓展到了电磁相互作用。

现如今Furey已经39岁了，她还没能将标准模型中的粒子和相互作用都用八元数来表达出来，也还没能触及到引力这个话题。她强调数学上的可能有很多种，很多专家都认为，找到能成功合并八元数和其他可除代数的方法还太早。

最复杂的数

要说明什么是八元数，要从我们熟悉的实数开始——就是那些可以在数轴上找到的数，例如1、π、-83.777。实数可以通过特定的方式凑成一对，组成复数。关于复数的研究开始于16世纪的意大利，复数和二维坐标平面类似，加法、减法、乘法和除法就像是位置在平面上平移和旋转。将复数以一定的方式配对，可以形成四维的四元数，它是在1843年由爱尔兰数学家哈密顿发现的。哈密顿的律师朋友John Graves随之证明了成对组合的四元数也组成八元数：这种数可以定义八维抽象空间的坐标。

证明了八元数的John Graves（来源：MacTutor History of Mathematics）

之后就不可能构建更复杂的数了。1898年完成的证明说明，实数、复数、四元数和八元数是仅有的几种可被加减乘除的数字形式。这些“可除代数”中的前三个是20世纪物理学的数学基础，实数一直都存在于经典物理中，复数提供了量子物理的数学基础，四元数则是爱因斯坦狭义相对论的基础。这样的联系让很多研究人员去思考如何理解最后一个可除代数。八元数中可能蕴含着宇宙的秘密吗？

当你从实数到复数，再到四元数、八元数把维度逐步翻倍时，Furey解释道，“每一次翻倍，你都会失去一些性质。”比如，实数可以从小到大排列，“而复数分布的平面上，根本没有这样的概念。”接着，四元数没有交换律；对于四元数来说，a × b不等于b × a。这其实也很常见，因为将更高维度的数相乘会包含旋转，当你在高于两维的空间交换旋转的次序时，你最终得到的位置是不同的。到了八元数，结合律也将失效，也就是说(a × b) × c不等于a × (b × c)。“数学家们不喜欢不满足结合律的东西，”加利福尼亚大学河滨分校的八元数专家John Baez说，“因为我们很容易想象不满足交换律的情形，比如先穿袜子再穿鞋和先穿鞋再穿袜子，但是我们很难想象不满足结合律的情形。”比如，除了先穿袜子之后穿鞋，你还可以先将你的袜子放进你的鞋中，再同时穿上袜子和鞋，技术上说，这两种不同的穿法可以让得到相同的结果：穿着袜子和鞋。“括号是一种人为引入的东西。”

八元数不满足结合律的性质阻碍了很多物理学家在这方面的努力，但是Baez解释说，八元数奇怪的数学性质同时也是最吸引他们的地方。自然用它的四种力操纵着几十种粒子和反粒子，它本身也很奇怪。标准模型是“奇怪且独特的”，他说。

在标准模型中，基本粒子体现了三个对称群。所谓的群，指的就是可以让运动方程保持不变的交换粒子子集的方式。这三个群，SU(3), SU(2) 和U(1)分别对应着强、弱和电磁相互作用，它们作用于6种夸克，两种轻子加上它们的反粒子，每种轻子又分别有三代，每代的粒子除了质量不一样以外其他性质都相同。（第四种基本力——引力与这三种不相容，在爱因斯坦的广义相对论中，引力是时空几何的弯曲。）

粒子集合体现的是标准模型中的对称性，就像是正方形为了满足90度的旋转对称性必须存在四个顶角一样。问题在于，为什么是SU(3) × SU(2) × U(1)这个对称群？还有，为什么就是这样的一套粒子，具有各种力荷、奇妙的手征和冗余的三代粒子？对待这类问题的传统态度是将标准模型看成是更为完整理论结构的一部分。但另外一种办法，是试图通过八元数来“从逻辑上解决这些奇怪的性质，”Baez说。

当Furey在研究生时期了解到四元数可以描述粒子在四维时空中的平移和旋转时，她就开始严肃地探究这种可能性。她考虑了粒子的内禀性质，比如它们的电荷。“我发现拥有8个自由度的八元数可以和粒子中的一代相对应：一个中微子，一个电子，三个上夸克和三个下夸克。” 她说，这有点像之前令人鄙视的数字占卜。但是这样巧合也在之后的研究中激增。“如果研究项目是一个谋杀谜案，”她说，“我会认为我们仍在收集线索阶段。”

在剑桥大学三一学院前的Cohl Furey。（摄影：Susannah Ireland）

Dixon代数

为了构造出粒子物理，Furey使用的是四种可除代数的直积R⊗C⊗H⊗O（R是实数,C是复数,H是四元数，O是八元数），有时候也被称为Dixon代数，因物理学家Geoffrey Dixon得名。在20世纪七八十年代是他最先开始探索这个领域，但是之后他没能得到教职，离开了这个领域。（Dixon从他的回忆录中截取了一段发给我：“我当时有的是一种不受控制的直觉，我觉得这些代数是理解粒子物理的关键，如果跟着这个直觉走跌下悬崖我也愿意，有人也许会说我确实这么干了。”）

Dixon和其他人继续将可除代数和其他数学工具结合时，而Furey限制了自己的活动范围；在她的体系中，代数“只作用于自己”。根据R⊗C⊗H⊗O结合，4个数的体系可以形成一个64维的抽象空间。在这个空间中，根据Furey的模型，粒子是数学上的“理想”（ideal，集合论的一个术语），也就是这样的一种子集，其中的元素，和整个集合中的其他元素相乘后得到的元素还在这个子集中，这使得粒子运动、旋转、相互作用和转化后仍是粒子。她认为理想是粒子的本质，它们能够满足R⊗C⊗H⊗O的对称性。

Dixon也知道，这个代数结构会分成两个部分：C⊗H和C⊗O，即复数与四元数、复数与八元数的直积（和实数的直积是平凡的）。在Furey的模型中，与粒子在时空中移动和旋转相联系的对称性，也就是洛伦兹群，会出现在代数结构中的四元数C⊗H部分。对称群SU(3) × SU(2) × U(1)，描述粒子的内禀性质以及强、弱和电磁力相互作用，会从八元数部分C⊗O出现。

Günaydin和Gürsey在他们的早期工作中，已经发现SU(3)是八元数的一部分。考虑八元数的一组单元，1、 e1、 e2、 e3、 e4、 e5、 e6和 e7，是八个相互正交的方向上的单位距离：它们表示一种名为G2的群对称性，也就是一种“exceptional群”，它在数学上不能被归到任意一个现在已知的对称群中。八元数和exceptional群以及其他特殊数学对象的关系，足够让我们相信它具有重要意义，比如，菲尔兹奖和阿贝尔奖获得者，著名数学家 Michael Atiyah就相信最后的关于自然的理论一定是有关八元数的。他在2010年说到：“我们想找到的终极理论，需要把引力纳入到其他理论中，其方式应该是把引力看作八元数和exceptional群的结果。”他补充道：“这会是很难的工作，因为我们已经知道八元数就是很难的理论，但是当你找到了它之后，它应该是一个美丽的理论，而且独特。”

将e7固定，改变其他单元会将它对称性降为SU(3)群。Günaydin和Gürsey利用这一性质建立了第一代夸克上的强相互作用的八元数模型。

Furey走得更远。在今年5月于《欧洲物理期刊C》（The European Physical Journal C）发表的文章中，她整合了几项研究，为单独一代粒子构造出了完整的标准模型对称群，SU(3) × SU(2) × U(1)，通过数学可以得出电子、中微子、三个上夸克、三个下夸克和它们的反粒子的正确电荷数和其他的属性。数学计算也解释了为什么电荷是量子化的，因为数在本质上就是这样的。

然而，按照这种解释粒子的方式，研究者还不知道怎样才能自然地把模型扩展到包括自然界的全部三代粒子。但是在一篇正在专家之间流通，由《物理快报B》（Physical Letters B）评审的新论文中，Furey用C⊗O来构造标准模型中的两个非破缺的对称性，SU(3)和U(1)。（在自然界中，SU(2) × U(1)通过希格斯机制破缺为U(1)，这一机制可以使粒子获得质量。）在这样的情况下，作用于所有三代粒子的对称性也允许惰性中微子存在，这种粒子是物理学家现在积极搜寻的暗物质的候选者。“三代粒子的模型只有SU(3) × U(1)，所以它是更为基本的，” Furey告诉我，“问题在于，有没有很明显的办法来从一代模型的图像过渡到三代模型？我认为存在这样的方法。”

这是她现在所思考的主要问题。一些其他的数学物理学家也同样在尝试用一种包含八元数的结构——exceptional Jordan代数来构造三代粒子的模型。经过多年来独自的工作，Furey现在开始和用不同方法的研究者合作，但是她更喜欢仍然在这四个可除代数R⊗C⊗H⊗O范围内考虑问题。它已经足够复杂，可以来通过多种方式提供灵活性。Furey的目标是找到这样的模型，它看上去是理所应当的，而且可以解释质量、希格斯机制、引力和时空。

现在，数学上已经有了关于时空的概念。她发现R⊗C⊗H⊗O元素的所有乘法链都可以由10个被称为“生成元”的矩阵生成。其中的9个生成元代表空间部分，第10个生成元，其符号和前9个相反，代表时间。弦论中也预言了十维时空，八元数中也有类似的结论。Furey的工作是否能和弦论联系在一起还有待去发现。

最后的理论

Furey拒绝回答我提的那些更偏哲学的、有关物理和数学之间关系的问题，比如，它们在根本层次上是否是一体的、相同的？她对为什么可除代数的性质是解决问题的关键这一谜题更感兴趣。她同时也有一种预感，反映了研究者常有的对无限的反感，她猜测R⊗C⊗H⊗O实际上是一种近似，在最终理论中它会被取代，而取代它应该是一个不涉及无限连续实数的相关数学系统。

这些都只是直觉上的想法。但是随着标准模型完美地通过了检验，大型强子对撞机上也一直没有新粒子出现的迹象。既物理学界弥漫着一种既不安又兴奋的气氛，鼓动研究者重新回到黑板和白板上。现在有一种一切都待完成的感觉，“也许我们还没有完成将现有发现整合起来的工作，”圆周研究所的Boyle说。他认为能够将这项工作完成的可能性“比很多人预期的都要高，”他还说这“应该受到比现在更多的关注，所以我很开心会有一些像Cohl的人正在努力推进这项研究。”

Boyle自己没有研究标准模型和八元数之间的关系。但是和很多人一样，他承认听说过关于这个领域的一些诱人传言。“我也同样怀有希望，”他说，“即使怀疑的人，也认为八元数最后可能在基础物理中扮演重要角色，因为这个理论实在是很漂亮。”

撰文 | Natalie Wolchover

翻译 | 张克文

审校 | 韩晶晶

https://www.quantamagazine.org/the-octonion-math-that-could-underpin-physics-20180720/ 

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