幂律分布

幂律分布实际上很早就被发现了，但是直到Barabasi在Nature上发了那篇开山之作后这种默默无闻的分布律一下子就火了起来，在随后的两三年中，现实生活中大量的幂律分布集中涌现，仿佛不说幂律就没人重视，文章就发不出来。幂律分布在双对数坐标下表现为直线形式，暗示事件发生的概率极不均匀，小观测值的事件大量发生而大观测值的事件虽然数量众多但是发生的概率却都非常的小，表现在时间间隔的分布上即长时间的静默和短时间的爆发交织共存。下图即引自Barabasi的那篇文献，幂律分布与指数分布下事件发生模式的区别可见一斑。

指数截断的幂律分布

实际上很多现实的分布规律都难以用单一的分布函数来拟合或者预测，而是者混合的，一种常见的混合分布即带有指数截断的幂律分布。这种分布我们在博客发布和商业订单中均有发现。如下图所示，两个分布分别可由包含一个幂律和两个幂律部分的函数式表示。

1.         Chang Hui, Su Beibei, Zhou Yueping, et al. Assortativity and act degree distribution of some collaboration networks[J]. Physica A, 2007, 383: 687-702.

2.         Wang Yongli, Zhou Tao, Shi Jianjun, et al. Empirical analysis of dependence between stations in Chinese railway network[J]. Physica A, 2009, 388:2949-2955.

3.         Wang Peng, Zhou Tao, Han Xiao-Pu, Wang Bing-Hong. Modeling correlated human dynamics. arXiv:1007.4440v3.

除了混合形式的分布还有分段形式的分布被观测到，如：

单峰分布

如图所示，作者在考察物流运输的各个环节后发现，时间间隔分布表现为一种特殊的单峰形态特征：左半部分具有较小波峰且含有极大值，右半部分具有明显的重尾特征并可用幂律函数近似拟合。

Wang Qing, Guo Jin-Li. Human dynamics scaling characteristics for aerial inbound logistics operation. Physica A, 2010, 389:2127-2133.

双峰分布

如上图，作者统计了手机用户互发短消息的时间间隔后发现该分布表现为以上形式，幂律分布后跟着一个指数分布，作者称之为为双峰分布，因为该指数分布位于幂律拟合直线的上方，而不是指数截断那样在拟合直线的下方。个人认为这种说法并不准确，因为指数部分并没有峰值，所以谈不上“双峰”——除非把坐标系逆时针旋转让拟合直线成为横坐标才会出现两个峰值点。

Ye Wu, Changsong Zhoud, Jinghua Xiao, et al. Evidence for a bimodal distribution in human communication. PNAS, 1013140107.

 

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