经过这些天的努力，终于写完一长篇英语论文“Generalized FloquetExponent, Attractiveness Portrait and Structure Hidden in an Attractor” （广义Floguet指数，吸引性相图及潜伏在吸引子中的结构）。

该文总结了近期的研究结果：

（1）介绍了广义Floquet 指数（GFE），通过大量实例比较了该指数与以前介绍的几种Lyapunov指数（包括按杨正瓴的思路建立的指数 LE_Y），说明了GFE更能反映吸引子的特性。也指出这些指数的不足，特别，它们都不能用于描述闭轨的倍周期分叉现象。

（2）为解释闭轨的倍周期分叉等复杂现象，介绍了一种反映轨线上各点的吸引性（也包括排斥性-负吸引性）细节的相图--吸引性相图（英文定名为 attractiveness portrait, 简称为A-portrait)，通过它可看到空间闭轨在做分裂或倍周期分叉时各处吸引性、排斥性的微妙分布与相互关系。

（3）吸引性相图还可以显示出潜藏在结构复杂吸引子中的简单结构，这种结构在画普通相图时被所用的曲线颜色与必须的粗度而掩盖。这种结构说明了为什么在分叉现象中一个结构负杂的吸引子（或奇异吸引子）可能一下就分叉成简单的极限闭轨。

论文中有多达40多张的图形，实例。

论文已投arXiv.org, 预计一两天内即可被公布。 本博文也附上该文的pdf原稿， 供网友提前一阅。

顺便指出，在写此文过程中，William Graham Hoover 教授主动联系我，讨论了关于Lyapunov指数及GFE的许多相关问题，他特别介绍了他与Julien Clinton Sprott 近期关于 Nosé-Hoover oscillator的研究结果。Hoover 是上世纪80年代 Nosé-Hoover oscillator 的提出人之一，Julien Clinton Sprott 则是世界上著名的关于吸引子及Lyapunov指数计算权威（网上流传的MatLab程序是他编制的）。Hoover正是通过我在arXiv.org上的前一篇论文 “Important Notes on Lyapunov Exponents,  arXiv:1401.3315” 与我联系上的。与他的交流使我获益匪浅。我的新论文中也介绍了他们的最新成果，并画出了他们新发现的三个互锁不变集（其中有两个不变环面，一个极限环）的A-portrait。希望 A-portrait 对他们的研究有所帮助。

将另文通俗介绍这些研究结果。

Generalized Floquet Exponent, Attractiveness Portrait and Structure Hidden in an.pdf