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小波变换求逆的故事 精选

已有 3586 次阅读 2022-9-24 14:10 |个人分类:科研随笔|系统分类:科研笔记

一个人离乡后,一般都有返乡的过程,正如有出世就有入世。一个信号经过数学变换后,相当于离乡,这个信号可以选择不返乡,就这样在外漂泊。不过,有的时候,我们还是期待这个信号能够被恢复,这相当于期待数学变换能够求逆,或者说能够具有逆变换。

很多数学变换都可被求逆,如傅里叶变换,其逆变换不仅存在,而且与正变换保持相当好的形式一致性。但Wigner分布是不可求逆的,也就说不存在逆Wigner分布。

那么小波变换可不可求逆,该如何求逆呢?

这个问题似乎已经被回答了,因为在小波教科书中,小波变换的求逆理论公式已经赫然在列。这个求逆理论公式是正确的,但不能用来直接解决小波变换的求逆。不信的话,你用教科书上的求逆理论公式进行一下实算,你会发现无从下手。也就是说,教科书上的小波变换逆变换公式缺乏直接可操作性。

让你可以直接实现小波变换求逆的数学公式已经诞生(参见我的前期博客)。这是一个具有可操作性的数学公式,不妨称这一公式为求逆具体公式。这一公式的出现使得小波变换与其逆变换之间不存在障碍,相当于一个人离乡返乡来去自如,出世入世悉听尊便。

以往,人们执着要用小波来完成小波变换的求逆,这是人们很正常的想法。正如一个人坐飞机离乡,自然也会想到坐飞机返乡。然而,这一正常的想法,实现起来却出奇的难!尽管公式早就有了,但操作起来就是困难。早年我计算小波变换的时候,一度认为可操作的小波变换求逆公式是不存在的。

于是我就开始考虑:既然用小波完成求逆这样难,那么能不能不用小波来完成求逆?这是一个有点离经叛道的想法。然而,事实是:这一想法是成立的。我用一个和谐函数(a harmonic)可以轻松实现小波变换求逆!于是,求逆具体公式诞生了!这是2015年的事情。这一事实告诉人们:可以坐火车返乡,如果你是坐飞机离乡的话。

这一公式再次印证我先前工作:小波容许条件可被打破,小波概念应被重新定义!

当我兴奋地将这一成果投稿到权威杂志的时候,杂志主编轻描淡写地说:这在小波文化里是众所周知的!天呀,众所周知?我做小波研究十几年了怎么不知道?我一时有些激动,就反问道:既然是已知的,这个公式在哪里曾经出现过?那位主编没有回答。当时,我强烈地感觉那位主编在说谎。

带着希望与彷徨,我将论文又投寄到Open Journal of Statistics,论文几乎未经修改得以全文刊出。

寒来暑往,日月如梭。转眼,六年过去了,我几乎将论文的事忘记了。最近,通过ResearchGate,我才了解到几乎每天都有人在阅读我的这篇论文,而且中外的学者都在应用(而不是引用)我的公式做科研工作了。

其实,自己做的工作既普通又出奇。它的普通在于:在围绕着古老卷积讲故事,而很多人认为卷积的故事已经没什么可讲了。它的出奇在于:卷积的故事没有讲完!而且是在卷积本质上可以讲出新故事。

在上述论文里我提出了所谓反卷积定理。这不是我第一次提出这一定理,在我的2009作品里也提出过这一定理,只是未给命名。我之所以反复强调反卷积定理,原因在于它对于认识卷积的本质实在是太重要了。掌握了这一定理的人,对于卷积就不再陌生,他会感觉到所有卷积的故事都在围绕着这一定理打转。如果说卷积的故事是孙悟空的话,反卷积定理就是如来佛的手掌。

由反卷积定理,就会得到教科书上的小波变换求逆理论公式,再由求逆理论公式,就可以得到我的小波变换求逆具体公式。由此可见,求逆具体公式也只不过是反卷积定理大树上的一朵花而已。反卷积定理的厉害大家见识了吧?

其实,反卷积定理打造的是一套线性卷积的理论体系(我的野心大吧)。而标准时频变换正是这一理论体系中最为耀眼的明珠,据我所知,标准时频变换已经被中外学者广泛应用于数理化天地生各个领域了。小波变换求逆具体公式只是这一理论体系中的一朵小花。

反卷积定理在当代及未来信号分析中的基础地位将会越来越稳健而清晰。

反卷积定理一开始就受到强烈的抨击,我始终坚守着。如今,十多年过去了,那些抨击的声音哪里去了?

未来既不确定又是确定的。既然不确定,就不要去谈不要去想。人们对于未来只能抓住其中确定性的那一部分。而要抓住那一部分,人们需要对于事物的本质有所认识有所了解,因为未来的确定性取决于事物的本质。

年青的人呀,努力去认识事物的本质吧!你的人生会写下传奇。




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