简说一道概率题的问题

【本来准备写一篇长篇完整的东西来解释诸君的争论，但是由于最近非常忙，而文克玲老师又多次相邀，所以我只好急就章。】

（1）原题及原题给出的答案（见张天蓉http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-1042909.html）

   王宏去医院作验血实验，检查他患上了X疾病的可能性，其结果居然为阳性，把他吓了一大跳，赶忙到网上查询。网上的资料说，实验总是有误差的，这种实验有“百分之一的假阳性率和百分之一的假阴性率”。这句话的意思是说，在得病的人中做实验，有1%的人是假阳性，99％的人是真阳性。而在未得病的人中做实验，有1%的人是假阴性，99％的人是真阴性。于是，王宏根据这种解释，估计他自己得了X疾病的可能性（即概率）为99%。王宏想，既然只有百分之一的假阳性率，那么，百分之九十九都是真阳性，那我已被感染X病的概率便应该是99%。

可是，医生却告诉他，他被感染的概率只有0.09左右。这是怎么回事呢？王宏的思路误区在哪里？

医生说：“百分之九十九？哪有那么大的感染几率啊。99％是测试的准确性，不是你得病的概率。你忘了一件事：这种X疾病的正常比例是不大的，1000个人中只有一个人有X病。”

医生的计算方法是这样的：因为测试的误报率是1%，1000个人将有10个被报为“假阳性”，而根据X病在人口中的比例（1/1000=0.1%），真阳性只有1个。所以，大约11个测试为阳性的人中只有一个是真阳性（有病）的，因此，王宏被感染的几率是大约1/11，即0.09(9%)。

【本题陈述错误的部分，我已经用下划线标出，而用错的概念我用蓝色标出。而医生的陈述，显然不合情理，我用红底标出。】

（2）用错的概念

   

在假设检验理论中，概言之，我们是针对某个假设而制定检测实验的，如果这个实验结果支持假设，我们就说这个这个实验结果是阳性的；不支持，就说检测结果是阴性的。我们用一种仪器去检测某人是否有某种病，那么我们用的假设就是“某人有某种病”，如果仪器检出来的各项指标综合起来支持某人患有某种病的假设，我们就说检测结果呈阳性，否则就说检测结果呈阴性。

因此上面题目首先就把“阳性”和“阴性”的概念搞错了。对于有病的人，如果检测结果呈阳性，那么这个检测结果就是真阳性；如果检测结果呈阴性，那么这个检测结果就是假阴性。对于没病的人，如果检测结果呈阳性，那么这个结果就是假阳性；如果检测结果呈阴性，那么这个结果就是真阴性。

为了使这些概念清楚，我用一个表来展示（即高山说的“模糊矩阵”（confusion matrix），实际上应该翻译为混淆矩阵。模糊矩阵（fuzzy matrix）是模糊数学用的，不是这个矩阵）：

	人有病	人无病
检测结果呈阳性	真阳性	假阳性
检测结果呈阴性	假阴性	真阴性

所以对于有病的人，我们谈的是真阳性和假阴性，而不是真阳性和假阳性；对于无病的人，我们谈的是假阳性和真阴性，而不是假阴性和真阴性。所以，这一点，题目完全说错了。

而综合这个题目的上下文，其正确的对应数据如下表：

	人有病	人无病
检测结果呈阳性	真阳性99%	假阳性1%
检测结果呈阴性	假阴性1%	真阴性99%

（3）不合情理的医生讲话

如果一个检测仪器是完美和理想的，那么有病的人就应该检为阳性，所有无病的人应该检为阴性。但是，仪器不完美，有误判，这种误判就是假阴性和假阳性两类。我们通常所谓准确率，是指仪器在大规模的检测活动中检测结果都正确的概率，即仪器针对大规模人群去检测，而后得到真阳性的概率加上得到真阴性的概率。那么在这道题中，仪器的准确率是多少呢？

考虑到此疾病的患病概率是千分之1，那么此仪器通常意义上的准确率，应该是（0.999*0.99+0.001*0.99）=0.99。

而对于一个千分之1患病概率的病，我们的仪器的准确性居然只有0.99，如果医生如此告诉病人，最后再告诉病人，其患病的概率是0.09，这确实是找抽。

那么，我们会使用这一个仪器么？或者说，卫生部门会批准这个仪器的使用么？我们说，那不一定，因为这涉及代价函数。也就是说，一个人比别的正常人明明更可能有病，而病人一旦患病不治疗或者不进一步检测的话，其付出的代价非常大，那么即使被试者的患病概率不高，我们也会对病人进行复检或者进行预防性的治疗。

所以，一个正常的医生，肯定劝病人复检，不可能说那番话。

（4）跟贝叶斯有关吗？

   这个题目，是个典型的条件概率题，计算条件概率，哪个学派的公式都一样，根本不涉及贝叶斯法则，所以不能因为用了一个条件概率公式，就说用了贝叶斯。所以跟贝叶斯有关的争论，在这道题目中，没有太大意义。

   至于用后验概率更新先验概率的问题，比较复杂，学派不同，要求也不同。此处不谈。

（5）在假设检验使用的实际场合中，这道题目有问题吗？

    对于罕见病，我们很难统计。比如本题中说这种病有0.1%的患病率。那么这个0.1%是如何统计出来的呢？如果要达到一定的统计准确性，那么至少要统计10000个人。而且统计样本还要有足够的多样性。而且，千分之1的患病率算不算罕见病，这也是存疑的。我不懂医，不敢乱讲，只好相信高山，并且抄一段百度百科如下（http://baike.baidu.com/item/%E7%BD%95%E8%A7%81%E7%97%85?sefr=cr）：

顾名思义，罕见病是指那些发病率极低的疾病。罕见疾病又称“孤儿病”，在中国没有明确的定义。根据世界卫生组织（WHO）的定义，罕见病为患病人数占总人口的0.65‰～1‰的疾病。世界各国根据自己国家的具体情况，对罕见病的认定标准存在一定的差异。例如，美国将罕见病定义为每年患病人数少于20万人（或发病人口比例小于1/1500）的疾病；日本规定，罕见病为患病人数少于5万（或发病人口比例为1/2500）的疾病，中国台湾则以万分之一以下的发病率作为罕见病的标准。

 

相关专题：概率问题与贝叶斯定理
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