Zmn-0941 薛问天: 学会数学定义和公理的其本方法，评李鸿仪先生【相容集合论初探】的根本错误。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的【相容集合论初探】一文的初步评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

学会数学定义和公理的其本方法，

评李鸿仪先生【相容集合论初探】的根本错误。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

我在一次华罗庚的报告中听到他强调学习数学要追问到底的方法，对我影响很大。他认为要养成习惯，对数学的是什么和为什么一定要追问到底。也就是说，对数学概念一定要搞清它的确切含义到底是什么。要严格地靠它的定义，但定义往往是一个有穷链或有穷树，概念A由慨念B定义，概念B由概念C定义，......等等一直归宿到由无定义的原始概念来定义。原始概念的含义由公理所约定。数学中讨论的命题也一样，一定要搞清它为什么是真，即要靠它的证明。而证明也往往由有穷链或有穷树构成，定理A的证明要依赖定理B，定理B的证明要依赖定理C，......等等一直归宿到由不加证明的公理来证明。华罗庚强调一定要追问到底，就是指出数学在逻辑上是相当严格地，不容在推理的任何一步出现错误。

也就是说，学习和研究数学必须要学会和遵守这一套严格的逻辑方法。我们来看李鸿仪先生的文章【相容集合论初探】，一看就知道，他根本没学懂，不知道什么是数学的定义，什么是公理，什么是要用的逻辑，因而这样的【初探】距离数学还差的甚远，从根本上就是错的，毫无意义。我们仅就他开始的几个定义来作如下评论。

一，不要把对概念的解释和说明看成是概念的数学定义。

我们大家都知道集合论中，【集合】这个概念是没有定义的，是原始概念。康托尔对集合之刻划【吾人直覌或思维之对象，如为相异而确定之物，其总括之全体即谓之集合，其组成此集合之物，谓之此集合之元素。 】这段话，并不是集合的严格数学定义，而只是一个描述性的说明。

而李鸿仪先生却大言不惭地公开给出集合的定义。【定义 1 对已经存在的事物，用｛｝将其中所感兴趣的事物与其他事物区别开来，称定义了一个集合，并把这些感兴趣的事物称为集合的元素，其余事物的总和则称为集合的环境。】

李先生，你认为你这是数学定义吗？显然不是。这只是一种描述性的说明，不是数学定义。要知道数学定义有一定的最其本的要求 。数学定义要求所用到了的只能是己经有定义的数学概念或原始概念和一些逻辑用语。你的这个语句符合数学定义的基本要求吗？你认为【己经存在的事物】，【感兴趣的事物】是己经有定义的数学概念吗？显然不是，所以你给的定义1不是定义，而只是一种描述性的解释和说明。

二，定义中可无条件地用所有逻辑用语。

我们知道，数学定义要求用到的数学概念必须是已有定义的概念或原始概念外，可以无条件地使用所有的逻辑用语。逻辑用语包括命题逻辑和谓词逻辑。即与、或、非等逻辑连接词(∧.V.乛....)和个体词，谓词和量词(x.y....,P(x),Q(x),彐.∀)。

当然其中的存在量词(⺕)和全称量词(∀)必不可少。但是李先生却不使用全称量词。李说【本文定义的集合概念与康托定义的不同之处在于：...... 2）没有引入康托定义中的“全体”这一概念[1]p62。这样，不但可以使得集合的定义更为简洁，而且可以更自然地得到了单元素集合和空集的概念。由于人们有时只对某一被视作整体中的部分事物感兴趣，或者只能研究其中的部分事物，因此， 去除了整体概念的集合定义，其应用可以更为广泛和可靠。 】

要知道在逻辑上【全体】就是【所有】【任意】就是全称量词(∀)，在集合的定义中不用这个量词，是不可能定义很多实际的集合的。例如全体自然数集合，全体实数集合，你不用【全体】就不可能定义这些集合。要知道人们对部分事物感兴趣只是【有时】，并不是对事物的整体从来不感兴趣。另外部分事物相对这一部分而言，也是这部分的【全体】，所以是离不开这个全称量词的。在定义中不应对逻辑词语作出这种强制性的不应有的排斥和限制。

三，【元素的数目】不是原始概念。对于无穷集合沒有意义。所以元数没有真正的数学定义。

我们来看李先生给出的定义2和3。

【定义 2 元素的数目称为元数。

定义 3 将元数有限的集合称为有限集合，元数无限的集合称为无限集合。 】

李先生定义【元数】概念，却用的是【元素的数目】，要知道对于有限集来说【元素的数目】很清楚，是用自然数这个数域来衡量的，即每个有限集都有一个唯一的自然数是这个集合的【元素的数目】。我们知道这一切都不是原始概念，都是需要严格的定义。但是对于无限集来说，在基数定义前，数学中并沒有一个数域来衡量无限集的【元素的数目】，是一个沒有定义的概念，更不能像李先生那样，把它看作是不加定义的原始概念。用来对其它概念进行定义。

也就是说，定义2并不是对所有集合都有定义的，只对有限集合有定义，对无限集合无定义。李先生在元数並不是对所有集合都有定义的条件下在定义3中使用元数这个概念，当然是错上加错了，定义3的错误在于其使用的【元数】这个概念并不是对所有集合都有定义。而且对【元数有限】和【元数无限】并未具体定义，就在定义3中使用，当然是错误和逻辑混乱的。

四，按李先生对元数的要求，元数这个概念在数学中是无法定义的。

李先生对元数提出了它必须满足三个命题的要求。李先生提出的三个命题是:

【命题 1 如果集合A等于集合B，则它们的元数相等。

命题 2 任何集合的元素比其真子集多。该命题可以根据真子集的定义而直接得到。

命题 3 对集合的元素做任何不增减其元数的操作后，其元数不会因此增减。 】

命题1沒有问题，相同的集合应该元数相同。我们称其为P1 。

命题2如果说的是集合所含的元素，当然有多出于真子集的元素存在，但这不是李先生所要说的。李先生所要说的实际是元素数目多，是元数多而不是元素本身多出。即李先生实际要说的是【命题2 任何集合的元数比其真子集多。】。我们称此为P2。

问题比较多的是李先生的命题3，他根本沒说清楚，什么是【不增减其元数的操作】。他没有严格定义，只是举了几个例子，但从举的例子就产生了矛盾。例如他说【如果将集合N的每一个元素都乘以2，这个操作也不会增减元素的数目，所以由此得到的偶数集与N 的元素是一样多的。】但是他又说【如果通过集合内元素相互位置的交换，将N改写成｛1,3,5,…,2,4,6,…｝，则这个操作也不会增减元素的数目， 但这时偶数的元数就只有N 的一半了。】这个推论显然不对，因为集合一般并不涉及相互位置，而元数的一半更无此定义，应该说偶数集是N的真子集，根据P2【N的元数多于偶数集】。也就是说所推出的【偶数集与N 的元素是一样多的】和【N的元数多于偶数集】，这是严重的矛盾。

实际上如果严格地把双射(一一对应)的操作看作是【不增减其元数的操作】（每一个元素都乘以2就是双射），则命题3应是【命题 3 对集合的元素做任何双射操作后，其元数不会因此增减。】称此为P3。

要知道我们己严格证明P1，P2，p3是相互矛盾的，不可能同时成立。因此不能用它作为【元数】的定义的要求。另一方面如果命题3不用双射，李先生并未想出其它方法来。其它方法或者同p2发生矛盾，或者使元数不是对任何集合都有定义。也就是说坚持使用p2这个命题2，在数学上是不可能定义【元数】这个数学概念的，有些人所做的所有这方面的努力都宣告失败！虽然定义不需要证明，但产生矛盾的定义，不是对所有集合都有定义的定义，当然是错误的定义。

五，基数有严格的数学定义。

李先生引用了康托尔的一段话，说基数是【抽取元素性质和次序以后留下来的东西】。这只是对基数这个概念的一个描述性的解释和说明，并不是定义。康托尔用两个集合间存在双射定义基数相等(p3)。用集合A的子集同集合B问存在双射定义A的基数≥B的基数。另外关于基数这个数域也有非常严格的定义。可以证明任何集合都有唯一确定的基数。基数是有序的，任何两个基数都可比较它们的大小。也就是说基数是完全可靠的严格定义的数学概念。其中没有任何矛盾和悖论。对基数命题2(P2)不成立，即【任何无穷集合都同其某真子集基数相等(乛P2)】。这是无穷集合不同于有限集合的特性，并不产生矛盾，很正常，不是悖论。

因而李先生说【至少对于无限集，实际上并没有人能够确切地说出基数这一概念的数学意义。】是不符合实际的。

另一方面要认识到，用坚持命题2(p2)来定义【元数】，是不可能存在正确的数学定义的。前己说明，要么存在矛盾(选择P3)，要么对某些无穷集不能定义元数(命题3中选择其它操作)。

因而李先生说的【用精确可靠的元数这一概念，可以根据不同情况得到符合实际的 不同结论，而用过于粗略的基数概念不一定能得到这种精细结果。】完全不是事实，是错误的。

六，对一一对应要有正确认识，对其按元数分类是错误的。

数学上的"一一对应"，有严格的数学定义。那就是两个集合称为是一一对应的，如果在其间存在双射。映射是双射也有严格的定义，那就是如果映射是单射而且是满射，则称此映射为双射。我们对数学概念确切含义的理解，不能靠个人的主观臆想，必须依赖它的数学定义。

李先生说【定义 4  元数相同的无限集之间的一一对应，称之为严格一一对应，否则称之为泛化一一对应。】

这个定义的错误就在于，【元数相同】没有正确的数学定义。前面说了，由于"元数"坚持P2，则要么产生矛盾，要么不能对所有集合给出定义。在【元数相同】没有正确的数学定义的条件下给出的定义4，显然是不能成立的。

七，无限集之间不可能有【单射任意性】。

李先生是这样定义【单射任意性】的，他说【定义 5 若两个集合之间的任意单射都是满射，称映射具有单射任意性。】

对有限集合，单射任意性显然成立。对无限集合A和B，我们来分析一下。如果A的基数大于B，则不存在A到B的单射。如果A的基数等于或小于B的基数。则可证明一定存在A到B的某真子集的双射，显然此双射是A到B的单射，由于此单射是A到B的真子集的满射，因而不是A到B的满射。从而按定义此无限集A和B没有单射的任意性。因而对任何无限集之问没有单射的任意性。

李先生说他证明了如下的

【命题 4 若无限集合之间能建立严格一一对应，则映射具有单射任意性。】

查看他的证明，可以发现其严重错误。那就是一一对应，只是存在双射，对存在的这个双射，当然是单射又是满射。但对其它单射就保证不了单射一定就是满射。就是对于相同的集合A=B，A和B的元数相等，但如果A.B是无限集，则A到B的某真子集有双射，对于这个双射，它就是A到B的单射而不是A到B的满射，说明单射任意性并不成立。所以说命题4不成立，证明是错误的。

对于所举实例，也很明显，N同N是相同集合，元数相同，N同N可严格一一对应。但映射

1→2，2→3，3→4，......，

是单射但不是满射，单射任意性并不成立。

八，省略号只是个省略的符号，不能用它来定义无限集。

李先生说【无限集合通常只能列出部分元素，其余元素用省略号表示，为了讨论方便，

定义 6 把无限集合中列出的元素称为显元素;没有列出的、用省略号表示的元素 称为隐元素。 

定义 7 用显元素组成的集合称为显集合;用隐元素组成的集合称为隐集合。 无限集合可以看作是由显集合和的隐集合的并。】

李先生认为省略号可以用来定义无限集是错误的。省略号只是个用于省略的符号，它表示的是什么必须给出明确的定义，或由上下文精确认定。

例如N ={1,2,3,...}= {1,2,3}∪{...}     (4)

中的{...}表示的是由4开始的所有自然数。

N’={0}∪N ={0,1,2,3,...}= {0,1,2}∪{...}      (5)

中的{...}是3开始的所有自然数。

这些{...}的含义由上下文可知是非常明确的， 一点隐含的意思都没有。4开始的自然数集显然是3开始的自然数集的真子集，按p2的约定，显然元数不相等。根本不存在李先生所说的【显然我们不易直接判断，也不应该想当然地去判断。】的问题。N是N‘的真子集，按P2早已知道，按李先生的约定N和N‘的元数不等，根本不需要讨论省略号的含意。

另外需要指出的是，李先生所说的【显然，若两个无限集合要建立严格的一一对应关系，且其中的两个显集合（或隐集合）已经建立了严格的一一对应关系，则另外两个隐集合（或显集合）也要严 格一一对应。】需要用到元数的一个性质，那就是如果集合A=B1∪C1=B2∪C2，则B1.B2元数相等当且仅当C1.C2元数相等。

要知道，坚持P2的元数根本无法定义，哪里能有这样的性质成立。包括后面的元数加法的定义(命题5)都是没有意义的。

坚持p2是定义元数失败的根本。早已证明无穷集存在这一特性，那就是无穷集可以同它的某真子集一一对应。这是明显的大家都知道的事实。而李先生定义的元数却要坚持p2，说任何集合的元数都大于它的真子集。李先生却说【元数不同却能形成的泛化一一对应，实际上都是在人们未必仔细推敲的无限隐集含里面发生的，因此，这是泛化一一对应无法严格地研究无限集合的元数的原因，产生各种悖论毫不奇怪。】

无限集合的含义是明确的明显的，根本不存在什么【无限隐集合】，无限集合同它的真子集的一一对应，这是无穷集合不同于有限集合的特性，不存在矛盾，不是悖论。

先生这里谈到了无限旅馆。刚好我写了篇文章，见《Zmn-0937 薛问天: 无限旅馆不是悖论。评李鸿仪【数学分析对于无限旅馆悖论的解决】一文。2023-2-10 09:23。》就不在此评论了。

在数学中∞不是数，没有∞+1=1的说法。但是在基数理论中，对任何无穷基数α，有α+1=α。这是基数的合理的运算规律，不要少見多怪，这里并无任何矛盾。

九，存在的所有自然数集合就是已经包含全部自然数的自然数集。

李鸿仪先生说他证明了如下定理。

【定理 1 不存在已经包含全部自然数的自然数集。】

可以明显指出他证明中的错误。证明中所描述的矛盾正好就是他坚持元数要使p1，P2和P3同时都成立产生的矛盾，不仅对所有自然数集合不成立，对所有无穷集都不成立。难道由此矛盾可以证明所有无穷集都不存在吗？显然不能，只能证明你要使元数同时满足你提出的三个命题，就只能产生矛盾，说明你要求的的这种元数是定义不出来的。

证明开始假定推出的说N【则其元数不能再增加】指的就是命题1(P1)。

由命题3(P3)推出的N同{2.3,4,...}的元数相等，就已经同命题2(P2)产生了矛盾。因为{2.3,4,...}就是N的真子集，元数不能相等。你说同命题5产生矛盾是一样的。这个矛盾并不能说明所有自然数集不存在，而是说元数的定义，不能要求P1，P2和P3同时成立。

要知道所有自然数集的存在，是集合论中的重要内容，是由无穷公理和其它公理所共同保证的。要否定它的存在，但你提不出任何证明来！

李先生提出的定理1是错误的，当然其的推论【推论 不存在一个已经完成了的自然数集或与其一一对应的可数集。】也是错误的。说明李先生不仅否定自然数集的存在。他是在否定所有的无穷集。他甚至说他【不采纳这种无限可完成的观点。】他不承认无限集的存在。不承认【无限可完成】。那他只好在把他自己限制和束缚在有限之内了。

总括上述，李鸿仪先生的文章【相容集合论初探】，根本没有按照数学的基本原理和严格的逻辑方法来写作，错误很多。这样的【初探】距离真正的数学还差距甚远，从根本上就是错的，毫无意义。

附。李鸿仪先生的文章【相容集合论初探】（部分）

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

1  相容集合论的基本概念

1.1 集合的定义

当我们以某种视角观察世界时，世界上已经存在着各种各样互不相同的事物。这些事物可以是客观存在的事物如宇宙、地球、高山、动植物等，也可以是主观存在的事物如各种感知觉、概念、各门学科等。但对研究者来说，某一次观察可能只对其中的一部分事物感兴趣。为了方便：

定义 1 对已经存在的事物，用｛｝将其中所感兴趣的事物与其他事物区别开来，称定义了一个集合，并把这些感兴趣的事物称为集合的元素，其余事物的总和则称为集合的环境。

特殊地，如果观察不到感兴趣的事物，则｛｝定义了一个空集。

根据上述定义，可以将集合看作对已经存在的事物的一种分类：将所有已经存在的事物分成集合中的事物和环境中的事物两类。

本文定义的集合概念与康托定义的不同之处在于：

1）只对已经存在的事物进行分类，或者说先有元素，后有集合。以下将集合定义的该性质称为元素先存性质。

2）没有引入康托定义中的“全体”这一概念^[1]p62。这样，不但可以使得集合的定义更为简洁，而且可以更自然地得到了单元素集合和空集的概念。由于人们有时只对某一被视作整体中的部分事物感兴趣，或者只能研究其中的部分事物，因此，去除了整体概念的集合定义，其应用可以更为广泛和可靠。

1.2 集合的元素

根据本文定义的集合概念，世界上任何因感兴趣而欲研究的事物即研究对象都可以成为集合的元素。在数学中，最简单的研究对象是自然数。若将自然数1，2，3，....作为元素，则

N =｛1,2,3,...}                                                             (1)

定义了一个自然数集合。

当然，实数、已经定义了的集合，甚至函数等任何数学对象都可以成为集合的元素，只是传统集合论的元素概念还比较狭隘，尚未将函数等可以变化的数学对象包括进去而已。

若将集合本身也看作研究对象，那么集合也可以成为元素。但这并不能成为可以将集合和元素这两个不同的概念相互混淆的理由。例如，根据元素先存性质，当我们在定义集A时，集合A本身还没有被定义，当然也不存在，所以不能成为集合A的元素。

这样，所有所谓包含自身的集合例如A={A},A={A,B},A={A,B,....}等就都是非法的，罗素悖论和康托悖论自然就都不存在了。

从集合的定义可以看出，从时间顺序上来说，是先由称为元素的那些事物，然后才可以定义集合。从这个角度来说，元素是比集合更原始的概念。因此，研究元素是一个很关键的步骤。这方面应该还有很多工作可做。

1.3 元素的数目和基数

1.3.1元素的数目

定义 2 元素的数目称为元数。

定义 3 将元数有限的集合称为有限集合，元数无限的集合称为无限集合。

显然，对于有限集合来说，元数等于基数，但由于无限集的元数似乎不太容易研究，所以在传统集合论中，使用一一对应即“对等”概念来对元数加以粗略的估算^[5]p9并据此建立了基数理论。既然是估算，必然会有误差，产生悖论并不奇怪。

其实，虽然无法知道无限集元数的确切数值，但是它们的相互关系还是可以精确地知道的，例如，以下命题对包括无限集合在内的任何集合显然都成立：

命题 1 如果集合A等于集合B，则它们的元数相等。

命题 2 任何集合的元素比其真子集多。

该命题可以根据真子集的定义而直接得到。

命题 3 对集合的元素做任何不增减其元数的操作后，其元数不会因此增减。

例如，

(N {1})∪{1}={2,3,...,1}                                                 （2）

一般不考虑元素的排列秩序，故{2,3,...,1}的每一个元素都与N 相同，因此是同一个集合，根据命题1，元数相同。若根据命题3，减掉一个元素后再增加一个元素的操作也没有增减元数，故{2,3,...,1}与N 的元数也相同。

如果将集合N的每一个元素都乘以2，这个操作也不会增减元素的数目，所以由此得到的偶数集与N 的元素是一样多的。

虽然以上结果与传统集合论用基数这一概念得到的结果相同，但元数与基数并不完全是同一个概念，有时会得到不同的结果。例如，如果通过集合内元素相互位置的交换，将N改写成｛1,3,5,…,2,4,6,…｝，则这个操作也不会增减元素的数目，但这时偶数的元数就只有N 的一半了。

由该例可见，用精确可靠的元数这一概念，可以根据不同情况得到符合实际的不同结论，而用过于粗略的基数概念不一定能得到这种精细结果。

1.3.2基数概念的数学意义探究

在康托的原著^[1]p63中，把基数定义为抽取元素性质和次序以后留下来的东西，至于留下来什么东西，他并没有讲清楚。在基数大小的比较上，康托则把原本用在有限集合的一一对应推广到无限集合^[1]p64，但对这种推广的可靠性也没有深入的研究。

尽管大多数数学家都把基数理解为元数^[5]，但如上例所述，对于无限集合，两者并不一定相同。另一个典型例子是，根据命题2，任何集合的元素比其真子集多，无限集合当然也不会例外。但在传统集合论里面，无限集合与其无限真子集却具有相同的基数。

如果把基数理解为元数，还会导致无限集与其真子集的元数相同这一违反命题2的悖论，可称为部分等于全体悖论。

因此，至少对于无限集，实际上并没有人能够确切地说出基数这一概念的数学意义。

1.3.3基数和元数不同的原因

在传统集合论里面，判断两个集合是否具有相同的基数，是根据两者之间是否能够建立一一对应关系来决定的。

对有限集合来说，如果两个集合能建立一一对应关系，则两个集合的元数必然相等，以下把这个特点称为一一对应的元数不变性，简称元数不变性。

对无限集合之间的一一对应，上述元数不变性不一定成立。例如，设N’={0}∪N ={0,1,2,3,...}，根据命题2，集合N’的元素比其真子集N多，但康托却建立了以下N→N’的所谓的一一对应：

1→0，2→1，3→2，....                                                 （3）

显然元数不变性不再成立，这是基数概念和元数之所以不相同的原因所在。

1.3.4对传统集合论中一一对应的分类和无限旅馆悖论的消除

我们可以把传统集合论中用于无限集合的一一对应分成两种：

定义 4 元数相同的无限集之间的一一对应，称之为严格一一对应，否则称之为泛化一一对应。

例如，命题1所示的两个具有相同元素的无限集合之间的一一对应，或（1）与（2）两个集合之间的一一对应都是严格一一对应；（3）所示的一一对应则为泛化一一对应。

定义 5 若两个集合之间的任意单射都是满射，称映射具有单射任意性。

对有限集合，单射任意性显然成立。对无限集合，不难证明，

命题 4 若无限集合之间能建立严格一一对应，则映射具有单射任意性。。

证明 对于f:A→B的任意单射，每一个a∈A都存在唯一的b＝f(a)∈B。若无限集合之间能建立严格一一对应，即A，B元数相同，则B的元数等于f(a)的数目，即像充满B，是滿射。证毕

例如，集合N与自身的单射

1→1，2→2，3→3，......

是满射，同样单射

1→2，2→1，3→4，4→3......

也是满射。

    若元数不同，单射未必是滿射，例如以下N→N’的单射显然不是滿射：

1→1，2→2，3→3，....

根据命题4可以知道，要判断两个集合之间的一一对应是严格的一一对应还是泛化的一一对应，除了根据两个集合的元数是否相同以外，还可以根据是否具有单射任意性来判断。

无限集合通常只能列出部分元素，其余元素用省略号表示，为了讨论方便，

定义 6 把无限集合中列出的元素称为显元素;没有列出的、用省略号表示的元素称为隐元素。

定义 7 用显元素组成的集合称为显集合;用隐元素组成的集合称为隐集合。

无限集合可以看作是由显集合和的隐集合的并，例如

N ={1,2,3,...}= {1,2,3}∪{...}                                                 (4)

N’={0}∪N ={0,1,2,3,...}= {0,1,2}∪{...}                                (5)

显然，若两个无限集合要建立严格的一一对应关系，且其中的两个显集合（或隐集合）已经建立了严格的一一对应关系，则另外两个隐集合（或显集合）也要严格一一对应。

例如，在泛化一一对应(3)下，(4)和(5)中的显集合{1,2,3}和{0,1,2}已经严格一一对应，那么两个隐集合能否严格一一对应？显然我们不易直接判断，也不应该想当然地去判断。事实上，N’与N 之间不能建立严格一一对应，所以这两个隐集合的元素也不能严格一一对应。

但若把N’写成

N’={0}∪N ={0,1,2,3,...}= {0,1,2,3}∪{...}                             (6)

则(4)和(6)中的两个隐集合都满足

｛…｝＝N ｛1，2，3｝，                                            （7）

为同一个集合，根据命题1，可以建立严格的一一对应。但这时(4)和(6)中的两个显集合显然不能严格一一对应，这样，即使我们不用命题2，也证明了N’与N 之间不能建立严格一一对应。

由于(4), (5)只保证了有限的显集合具有相同的元数，并没有保证相应的隐集合也一定具有相同的元数，从而使得两个元数不同的无限集之间也能形成泛化一一对应。也就是说，元数不同却能形成的泛化一一对应，实际上都是在人们未必仔细推敲的无限隐集含里面发生的，因此，这是泛化一一对应无法严格地研究无限集合的元数的原因，产生各种悖论毫不奇怪。

例如，无限旅馆既然已经客满，房间数和旅客数就必定是严格一一对应的，可以用两个N分别表示房间数和游客数的编号。这时候如果再来了一个旅客，相当于表示旅客数的N变成N＇，房间和旅客之间不可能再建立严格的一一对应，旅客无法入住。因此，无限旅馆悖论源于不严格的泛化一一对应，从严格一一对应的角度来看，无限旅馆悖论是不存在的,所谓在学术界有重大影响的形象表示

∞+1=∞

自然也不成立了。

纠正了上式导致的各种错误认识，以下命题显然也对包括无限集在内的任何集合成立：

命题 5 若A∩B＝｛｝，则A∪B的元数是A，B元数之和。

将A或B看作是A∪B的真子集，用命题5也可以推出命题2。

1.3.5自然数集不完全定理

定理 1 不存在已经包含全部自然数的自然数集。

证明 假定N=｛1,2,3,...｝已经包含了全部自然数，即不存在其他自然数了，则其元数不能再增加。将其中每个元素加1得到集合{2,3,4.... }，根据命题3该操作不会增加元数，然后令N*=｛1｝∪{2,3,4.... }={1,2,3... }，由命题5可知,，自然数集合N*中自然数的数目比N增加了1个元素,与“N已包含了全部自然数，元数不能再增加”这一假定矛盾，证毕

定理1也可表述成集合｛x|x是自然数｝不可能包含全部自然数。

如果一个无限集合可以完成，当然应该包含了其所有的元素。所以

推论 不存在一个已经完成了的自然数集或与其一一对应的可数集。

为了可以把无限集看成一个整体以简化问题，传统集合论相信无限是可以完成的^[1]。但显然与推论1矛盾：至少自然数集合或可数集是不能完成的。所有建立在存在一个完成了的自然数集或可数集这一假定基础上的东西都可能会导致悖论。

在数学中,除了合理的定义和公认的公理外，引入任何并不显然又没有证明的东西都是不严谨的。

因此，在相容集合论中，不采纳这种无限可完成的观点。

另外，如果设“被包含在自然数集”为一个性质，那么虽然任一个自然数都具有该性质，但根据定理1，并不能认为所有自然数都具有这个性质，即“任意”并不一定等于“所有”，形式符号与数理逻辑应该把任意与所有区分开来。

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• Zmn-0939 沈卫国: 回复数森先生对我哥德巴赫猜想文章的评论（针对zmn-0938一文的回答）   2023-2-16 22:09

• Zmn-0938数   森: 简评 沈卫国《有关哥德巴赫猜想的几篇文章汇总及兼论孪生素数猜想的一并解决（Zmn-0892）》   2023-2-12 21:28

• Zmn-0937 薛问天: 无限旅馆不是悖论。评李鸿仪【数学分析对于无限旅馆悖论的解决】一文   2023-2-10 09:23

• Zmn-0936黄汝广: 有关辛普森悖论   2023-2-9 22:10

• Zmn-0935 薛问天: 不要把无穷集合的【个数】，同集合无穷序列个数的【极限】混为一谈，评李鸿仪先生的《0933》   2023-1-31 20:26

• Zmn-0934黄汝广: 关于悖论与反证法中隐性假设的探讨   2023-1-31 12:04

• Zmn-0933 李鸿仪:  错的就是错的，向我认错并不丢脸。评薛问天Zmn-0931   2023-1-26 16:03

• Zmn-0932 沈卫国: 彻底驳斥：Zmn-0928 薛问天: 逻辑荒谬思维混乱，评沈卫国先生的错误文章《0927》   2023-1-25 18:58

• Zmn-0931 薛问天: 坚持而不改正错误，就会犯更严重的【反智化】错误。评李鸿仪先生的《0929》   2023-1-20 13:38

• Zmn-0930 一阳生:  正确的认识【关系】概念兼评论薛老师的《Zmn-0926》   2023-1-18 11:53

• Zmn-0929 李鸿仪:  对角线证明中的逻辑循环   2023-1-16 17:53

• Zmn-0928 薛问天: 逻辑荒谬思维混乱，评沈卫国先生的错误文章《0927》。   2023-1-7 17:22

• Zmn-0927沈卫国: 康托对角线法进而实数不可数问题的分析   2023-1-6 12:11

• Zmn-0926 薛问天: 正确认识用集合定义关系，评一阳生先生的《0924》  2022-12-30 22:35

• Zmn-0925 薛问天: 先打好基础，再作进一步的研究。评李振华先生的《0923》   2022-12-22 11:03

• Zmn-0924 一阳生:  四点原因使薛老师不能正确的认识关系。评论薛老师的Zmn-0922。   2022-12-16 15:46

• Zmn-0923 李振华：把求导推广到集合   2022-12-14 11:36

• Zmn-0922 薛问天: 数学就是要研究这些不同的概念有何共同之处。评一阳生先生的《0921》   2022-12-10 20:35

• Zmn-0921 一阳生:  关于关系不可定义为集合的理由续-兼评论薛老师的《Zmn-0920》   2022-12-1 19:58

• Zmn-0920 薛问天: 用笛卡尔乘积的子集定义关系。评一阳生先生的《0919》   2022-11-26 18:09

• Zmn-0919 一阳生:  关于关系不可定义为集合的四点理由。   2022-11-24 11:27

• Zmn-0918 薛问天:  质疑戴德金分割的错在哪里？评李鸿仪先生的《0917》   2022-11-19 15:23

• Zmn-0917 李鸿仪:  戴得金分割无法定义唯一的实数   2022-11-13 16:4

• Zmn-0916 薛问天: 谁说没看懂，我早已看透，这是百年前的老调。评李鸿仪先生《0915》  2022-11-12 19:30

• Zmn-0915 李鸿仪:  哪天薛先生水平提高到能看懂我的文章了，再来讨论吧-----评薛问天的《zmn0914》   2022-11-8 09:21Zmn-0918 薛问天:  质疑戴德金分割的错在哪里？评李鸿仪先生的《0917》

• Zmn-0914 薛问天:  全体自然数的集合N，不是弹性集合N(n)，评李鸿仪先生的《0913》。   2022-11-3 17:58

• Zmn-0913 李鸿仪:  外延可变集合   2022-10-25 09:03

• Zmn-0911 薛问天:  数学叙述要严密有根有据，评李振华先生的《0903》   2022-10-22 11:33

• Zmn-0910 薛问天:  关于皮亚诺公理的讨论。回复一阳生先生的《0909》   2022-10-16 22:07

• Zmn-0909 一阳生:  关于皮诺亚公理和归纳集的来源, 向薛老师请教归纳集的问题   2022-10-15 13:35

• Zmn-0908  thebeater:  √2是无理数的若干证明   2022-10-14 16:24

• Zmn-0907 薛问天:  既然是回复，就讲出你的道理来，评杨六省先生的《0906》。   2022-10-9 22:32

• Zmn-0906 杨六省：回复薛问天先生的Zmn-0904   2022-10-7 16:2

• Zmn-0905 许寿椿:  许寿椿先生的来信，对薛问天先生的《Zmn-00901》的回复。   2022-10-6 20:15

• Zmn-0904 薛问天:  关键是缺乏对存在量词的重要作用的认识，评杨六省先生的《0897》。   2022-10-4 20:03

• Zmn-0903 李振华：破解高数谬论——无穷个无穷小的积不是无穷小   2022-10-2 11:27

• Zmn-0902 薛问天:  这是一个三着色图。评徐寿椿先生的《0901》   2022-10-1 09:57

• Zmn-0901 许寿椿:  回复沈先生  2022-9-29 09:14

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