Zmn-1052 薛问天 : 正确理解函数和隐函数及其导数和微分的确切概念，评师教民先生的《1049》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1049》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确理解函数和隐函数及其导数和微分

的确切概念，评师教民先生的《1049》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，关于函数。

师先生说【中国绝大多数的书中的一元单值函数的定义都是用的【一一对应】．只是近几年来才有的书启用【映射】．】

还说【同济大学数学教研室主编、高等教育出版社连续几十年出版的中国名著《高等数学》，除了第8版以外，前7版对一元单值函数y=f (x) 的定义，都是用的【一一对应】，都不是用的【映射关系】，】

师教民先生说得完全不对，有些不顾事实了。我还去看了第7版。函数讲得很清楚是映射，怎么能把函数的映射说成是【一一对应】呢，差得太远了。

另外师先生说【你只是一味地、大篇幅地抄袭极限理论关于函数的概念，只能说明我的观点与极限理论不同而不能证明我的观点错误.因此，你抄袭极限理论的概念的做法，就等于说了一句“因为极限理论正确、所以你的观点错误”，你薛问天先生不觉得这样的逻辑十分可笑吗？】

耍知道函数概念这是最基本的数学概念。对这些最基本的数学概念的理解和认识的错误怎么能扯得上是你师教授【与极限理论不同】的观点呢？你首先要把书本上讲的最基本的数学概念搞清楚，才能谈上【观点】！

希望你再查看一下，概念要搞清楚，一元单值函数中的映射不是【一一对应】。映射也不是单射，只是单值。映射满足单射和满射这两个条件后才是双射，才是一一对应。

师先生，我看的教材，函数都是映射不是【一一对应】，你举出哪本书把函数定义为一一对应，咱们也对此教材作些评论。

二，关于隐函数。

1)关于隐函数的定义。

在数学上必须概念清楚，二元方程A(x.y)=0，它就是方程，是等式，就不能说它是函数。说是隐函数必须明确说明和严格定义。什么是隐函数，有严格的定义。

定义。一个函数y=f(x)称为是方程A(x.y)=0的隐函数。当且仅当对任何x,y，如果y=f(x)，则A(x.y)=0。

例如函数y=x^2(x∈R)，就是方程y-x^2=0，的隐函数。

此外，隐函数的子函数也是该方程的隐函数。例如y=x^2(x>0)和y=x^2(x<0)也是上述方程的隐函数。

2)，另外，我们尚需知晓，隐函数有两种，一种是刚才讲的以y为因变量，以x为自变量的函数y=f(x)。如果有以y为自变量，以x为因变量的函数x=g(y)，对任何x,y，如果x=g(y)，则A(x.y)=0。那么也称x=g(y)是方程A(x.y)=0，的隐函数。如函数x=√y (y>0)和x= -√y (y>0)也是方程y-x^2=0 的隐函数。

3)，通过上述分析可知，方程的隐函数不是唯一的，有多个。而且不一定是双射(一一对应)，如函数y=x^2(x∈R)就不是双射。

如果有双射的隐函数，则同其相应的反函数就形成一组正反函数隐函数。如y=x^2 (x>0)和x=√y (y>0)，以及y=x^2(x<0)和x=-√y (y>0)。

三，关于隐函数的求导。

由于隐函数就是满足方程的函数。所以可以完全跟据复合函数的求导方法来进行隐函数的求导。

方程A(x.y)=0，也可写成A(x.y)=B(x.y)。如果你想求其隐数数y=f(x)的导数dy1/dx1=f´(x)。完全可以把方程A(x.y)=B(x.y)，看成是这样的两个复合函数的形式，左右两端都是以y为中间变量，以x为自变量的复合函数。然后用复合函数的方法来求左右两端的两个复合函数的导数。

例如方程是y^2+y=x^2+1，把y=f(x)的y看成中间变量，x看成自变量。两边两个复合函数求导，即得(2y+1)dy1/dx1=2x。即

dy1/dx1=2x/(2y+1)。

如果你想求隐数数x=g(y)的导数dx2/dy2=g´(y)。完全可以把方程A(x.y)=B(x.y)，看成这样的两个复合函数的形式，左右两端都是以x为中间变量，以y为自变量的复合函数。然后用复合函数的方法来求左右两端的两个复合函数的导数。

例如方程是y^2+y=x^2+1，把x=g(y)的x看成中间变量，y看成自变量，两边两个复合函数求导。即得

(2y+1)=2xdx2/dy2。即

dx2/dy2=(2y+1)/2x。

最后得出dy1/dx1=1/(dx2/dy2)，即

dy1/dx1=dy2/dx2。

但在一般情况下，绝推不出dx1=dx2和dy1=dy2。说推出了 dx1=dx2和dy1=dy2 则是完全错误的。

《高等数学》第130～131页中的“求y=x^sinx(x>0)的导数．”正是这样求的。把y =x^sinx (x>0)看作是方程lny=sinx lnx的隐函数y=f(x)。为求此隐函数的导数dy/dx，把方程lny=sinx lnx两端看成是以y为中间变量，x为自变量的复合函数来求导，得

(1/y)dy/dx=cosxlnx+(sinx)/x。即dy/dx=(x^sinx)(cosxlnx+(sinx)/x)。书上的作法和我讲的一个样，一点不差。

四，現在来具体评论师先生的文章的2-4。

2,1)，师先生说【请问薛问天先生，y^2+y=x^2+1不是隐函数吗？隐函数就不是函数了吗？】

方程当然不是函数，你把方程说成是函数当然是错的。应当明确地说清楚你求的是满足此方程的隐函数的导数。说清楚是隐函数，才是函数，没说清楚当然是错误。

2,2)①，满足方程的隐菡数有多个。其中完全可能有不是一一对应的映射，也可能有成对的正反函数(正反函数都满足双射条件)，我们说隐函数是映射不是一一对应，是说可能存在着不是一一对应的隐函数，并不是说隐函数都不是一一对应，双射是一种特殊的映射，也是一种映射。师先生理解错了。

2,2)②，正反函数一个以x为自变量，另一个以y为自变量，这是客观存在的必须存在的两个函数，认为这是【人为地、主观地假设出来的假理】，是错误的。

2,2)③，师说【薛问天先生的解方程是在教导我怎样化隐函数为显函数】没有，我说的满足方程的函数就是指的所谓的隐函数，根本没有涉及【显函数】的概念。另外我前面说了，方程的隐函数，可能不是一一对应，不一定有其反函数的存在。让我来求隐函数的反函数真是莫明其妙。

2,3)，师先生举出《高等数学》第130～131页中的“求y=x^sinx (x>0)的导数的例子。然后问【你薛问天先生敢说上述中国名著错误吗？】

我在前面己经讲了。书上的作法和我讲的一个样，一点不差。我并没有讲此书的方法有错。

师先生倒要好好想想，师先生说他认为函数必须是一一对应，x和y是对等的等等。那就请师先生想想这个函数y=x^sinx，能是一一对应吗？不是的，它不是一一对应，因而只能是x作自变量，y作因变量，不能反其道而行之。它的反函数根本不存在。

2,4)，我说得很清楚，微分是对函数y=f(x)定义的两个微分。一个微分dy是函数的因变量微分，一个微分dx是函数的自变量微分。微分不是变量的微分。都是函数的微分。我不愿在这些名词上同你争执，关键看实际争论的具体数学内容。

3，师先生说【根据极限理论的导数的定义知：dy/dx中的微分dx是自变量x的微分，dx/dy中的微分dx是因变量x的微分.】说的不对，根据复合函数求导数的方法，如果是以y为中间变量x为自变量来求导，dy/dx中的dx是函数y=f(x)的自变量的微分。这没有问题，关键是你怎么得到的dx/dy=(2y+1)/2x。如果你是由前面的dy/dx=2x/(2y+1)，用取倒数的方法直接得来的。那么dx/dy中的dx没有变，就还应该仍然是函数y=f(x)的自变量的微分。说它是函数x=g(y)的因变量的微分就是错误的。正如师先生自已所说【推导出的过程中，dx的值始终未变化，】所以这个dx只能是函数y=f(x)的自变量微分，而不能是它的反函数x=g(y)的因变量微分。

那么如何求x=g(y)的因变微分呢？只能如我前面所述，将方程y^2+y=x^2+1，把x=g(y)的x看成中间变量，y看成自变量对两边两个复合函数求导，即得(2y+1)=2xdx2/dy2。即

dx2/dy2=(2y+1)/2x。这时其中的dx2才是函数x=g(y)的因变量微分。

最后求出dy1/dx1=1(dx2/dy2) 。但推不出dx1=dx2和dy1=dy2。

所以，师先生得出的结论【dx=dx1=dx2】就是错误的。故极限理论的微分定义dx1=Δx同dx2≠Δx并不产生任何矛盾。

师先生说【你薛问天先生只有逐条、逐句、逐行、逐步地找出我的推导错误并说明错误的理由，才能保住极限理论的上述内容正确．】

这该清楚了吧，看清楚我指出你的错误在哪里了吗！

4，师先生说【至少存在着名称和内容不相符合的矛盾！】不要这么空洞地批评。说具体，你说的【名称和内容不相符合】指的是什么？我估计多半又是你理解的错误！

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】