Zmn-1136 薛问天: 每个有穷次运算都是有穷次的。但所有的有穷次演算却有无穷多个。评一阳生《1134》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1134》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

每个有穷次运算都是有穷次的。但所有的有穷次演算

却有无穷多个。评一阳生《1134》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，在数学上只有【有穷集合】和【无穷集合】，没有什么【潜无穷集合】。不是有穷集合的集合。就定义为无穷集合。

一阳生先生说【集合的存在以给出其确定的内涵为前提。内涵一经给定，集合即存在。何来生成过程！】

在把集合看作是思维中的一个概念时，当然【集合的存在以给出其确定的内涵为前提】，要知道此时【给出其确定的内涵】的过程就是【该集合的生成过程】。我们所说的【该集合的生成过程】的完成就指的是【给出其确定的内涵】。所以一阳生先所说的【集合的存在以给出其确定的内涵为前提】，同我讲的【所有存在的集合都是以它的生成过程完成为前提的】，是一个意思，并无矛盾。不存在什么【这种说法相当不专业】的问题。只是一阳生先年没有认清【给出其确定的内涵】，就是【集合的生成过程】。

我们把【有穷集合】的生成过程称为【有穷过程】，把【无穷集合】的生成过程称为【无穷过程】，这里并无【潜无穷过程】。

所以我不承认存在这种〖【以自然数计数，不断延伸，有始无终，不能完成，不能结束】的所谓【潜无穷过程】。这样的不能完成的生成过程，生成不了集合论中存在的无穷集合。〗

二，一阳生先生承认〖后继函数同后继运算是一回事，完全等价，没有区别。〗认为【是没有问题的】。

但是要知道，一阳生所说的【对运算、推理及其他一些操作等这些有逻辑顺序的行为动作，用自然数计数操作次数，结果只能是】有限次，而没有什么【潜无穷次】。

一阳生先生说【结果只能是极其有限的自然数次或潜无穷次】，是不对的。说是有限次是对的。〖任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到〗。没有自然数是由0经无穷次的后继运算得到。但自然数有无穷多个。所以自然数这个无穷集合的生成过程必须是无穷过程。不是有穷过程，次数有无穷次。

也就是说只有有穷次和无穷次之说，没有什么【潜无穷次】这个概念。

所以说我並不【承认[潜无穷过程]及其导致的其中一个动态结果[潜无穷]的存在】。

在我的认识和集合论中，所有的数。要么是有穷数，要么是超穷数，没有什么【潜无穷、…、无法被具体定义和无法被具体认知的更大的有穷】。不存在一阳生所说的什么【自然数n取值无法被具体定义和无法被具体认知的自然数，这些数已超越潜无穷，这些数有无穷个。由0开始经不断的后继运算(有先后逻辑顺序)已经无法运算得到这些数，】在集合论中，所有的自然数都是有穷数。无论多大。都可以由0经有穷次后继运算而得到，不存在什么【已超越潜无穷】的自然数。

三，一阳生先生对自然数无穷集合的如下重要事实缺乏一个正确的认识，认为这是矛盾。

A; 〖任何自然数都是由0经有穷次运算而得到的〗。也就是说，自然数全是有穷数。在自然数中没有由0经无穷次运算而得到的数。

B: 〖所有的自然数有无穷多个〗。也就是说无穷的自然数集合的生成过程不是有穷过程，而是无穷过程。

一阳生认为这是矛盾 。他说【薛老师为什么对于命题中的后继运算到底能进行多少次，和能得到多少自然数，会有如此矛盾的回答。】

是的，任何自然数的形成中，【后继运算只能进行有穷多次】，但是，所有这样有穷生成的自然数【有无穷多个】。

亦即，任何有穷次后继运算只能成生有穷个自然数的集合。但是，所有这样生成的有穷集合有无穷多个。这里并无矛盾。原因很简单。每个有穷次运算都是有穷的。但因为有穷是无界的，所以所有的有穷次演算却有无穷多个。

这个事实在数学上是非常清楚的。

A: 任何有穷的自然数集都是由有穷个自然数构成的的，但因为有穷数是无界的，所以

B: 所有的有穷自然数集合，有无穷多个。如任何{0}，{0,1}，{0,1,2}，...都是有穷集。但因为有穷自然数无上界，所以，所有这些有穷集共有无穷多个。这是客观存在的事实，并无任何矛盾。当然如果把这认为有矛盾，就是错误的认识。

要知道我对此事实是坚信不疑的。一阳生猜测我肯定他的质疑说【又不得不肯定我的质疑】，是不对的，我坚信不疑。

一阳生先生说【在应用数学归纳法之前就要对性质P(k)是否具有普适性，做事先的了解。否则贸然的应用归纳法就会得出任何性质都具有普适性的错误结论。】这是完全没有必要的。应用数学归纳法，就是对性质P(k)是否具有普适性的证明。具有普适性就可证明，不具有普适性就证明不了。

这里一阳生的问题是他对数学归纳法的证明尚未充分了解。 在数学归纳法证明中。必须要先证明P(0)成立和∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）成立。如果确实有存在一个k，使得∃k（P(k) ⇒ P(k’)）不成立，那你就证明不了∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）成立。你就不可能用数学归纳法得到证明。

一阳生说【如果没有事先的更多了解，贸然的应用归纳法就会得出任何性质都具有普适性的错误结论。】

要知道你所作的了解，【观察∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）是否成立】这就是在作证明的重要一步。如果∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）不成立，你就不可能【贸然的应用归纳法】得出证明。

也就是说，一阳生所说的在用数学归纳法事先要做什么【思想实验】，完仝没有必要，这就是进行数学归纳法证明的一部分。如果∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）成立，就可证明。如果∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）不成立，就用数学归纳法证明不了。关键是对数学归纳法的证明要有正确的了解。数学归纳法中所要求的的∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)），当然是要求证明对所有的自然数k，有P(k)→P(k´)都成立。不会去考虑什么【潜无穷条件下会发生什么】，允许在【潜无穷】下有【这样的k存在】使P(k)→P(k´)不成立。这在数学旧纳法的证明中是绝对不允许的。既然承认是证明了对所有的k都成立，我当然【不原意】也不【会承认有这样的k】存在，因为一阳生知道薛老师【不承认潜无穷】。

四，希望一阳生先生在概念上要明确。我们所说的动态过程指的是【小球经过这无穷个点的过程】，因为【0.9,0.99,0.999,...的这无穷个点中不包含1这个点。】所以【小球到达和经过1这个点】不属于【小球经过这无穷个点的过程】。

尽管我们大家都承认【小球到达和经过1这个点】标志着【小球经过这无穷个点的过程】的最后完成。但是由于这无穷个点没有最后一个点，因而【小球经过这无穷个点的过程】没有经过最后一个点的最后一步。所以【小球到达和经过1这个点】並不是【小球经过这无穷个点的过程】经过最后一个点的最后一步。从概念上还是要分清楚的。【小球到达和经过1这个点】标志着【小球经过这无穷个点的过程】的最后完成。但并不属于此无穷过程，不是此无穷过程缝过的最后一个点，不是它的最后一步。

另外，一阳生先生说【当我们数完了全体有穷自然数这个无穷过程，实际上就是我们数到了ω。ω不是全体自然数的一员，但却是无穷过程的最后一步。】

这个说法是有问题的，要知道自然数是没有最大数的，数自然数，并不是自然数的最后一个数是第ω个数。而是把整个这个无穷集合称为ω，所以【数自然数】的无穷过程可以完成，但没有最后一步。ω不是全体自然数的一员，也不是此【数自然数】的无穷过程的最后一步。ω不是自然数。

这就如同开区间(0,1)内的点同右端点1的关系是一样的。开区间(0,1)内的点都小于1，沒有最大点，1不是它的最大点。因为1不是开区间内的点。是什么，不是什么，在概念上要讲清楚。

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