定理：Γ⊢_SA⇔Γ⊨_sA。

说明：S是系统K、D、T、B、S4、S5中的一个。Γ⊨sA，即在框架条件符合φ(S)的模型中（φ(S)表示S的模态公理对应的框架条件的合取），如果Γ在可能世界w中真，则A也在w中真。

也就是说，除了系统K，必须对框架进行限制，模态系统才具有可靠性和完全性。

Γ⊢_SA ⇒Γ⊨_SA是可靠性定理，前面已经证明了。

Γ⊨_SA⇒Γ⊢_SA是完全性定理，这里要证明的是这个。

即要证：如果并非Γ⊢_SA，那么并非Γ⊨_SA。

即要证：如果并非Γ⊢_SA，那么存在一个框架F，Γ∪{﹁A}在这个框架上可满足，且这个框架满足条件φ(S)。

分三步证明。

1、并非Γ⊢_SA，那么Γ∪{﹁A}是S一致集，即在S中无矛盾。

2、一致集是可满足的。即存在一个模型，使得这个一致集在这模型的某个可能世界上真。

这里的证明又分两步：

A、构造典范模型

B、一致集在典范模型上可满足

3、S的典范框架满足φ(S)。这里典范框架指典范模型所在的框架。

第一步，并非Γ⊢_SA，那么Γ∪{﹁A}是S一致集。和经典命题逻辑的证明相同。

第二步，证明一致集是可满足的。

首先构造典范模型。

典范模型包括三要素：可能世界集，可能世界上的关系，赋值函数

S的典范模型的可能世界集就是所有S-极大一致集。构造极大一致集的方法和经典命题逻辑相同。

Rs wu，当且仅当，对任意的命题A，如果□A∈w则A∈u。

Vs(w,p)=1，当且仅当，p∈w。这里w是任意可能世界，p是任意原子命题。

我们有典范模型基本定理：Vs(w,A)=1，当且仅当，A∈w。这里A是任意命题。通过对命题的结构进行归纳，可证明这个定理。证明略。

现在要证明一致集在典范模型上可满足。

任何一致集都可扩充成极大一致集。任何极大一致集都是典范模型的某个可能世界。所以包含Γ∪{﹁A}的极大一致集是典范模型上的可能世界。根据典范模型基本定理，Γ∪{﹁A}在这个可能世界上的值为真。

所以Γ∪{﹁A}也是可满足的，所有的一致集也是可满足的。

第三步，S的典范框架满足φ(S)。

由于每个系统的模态公理不同，所对应框架条件也不同，所以这第三步需要对不同的系统分别证明。

由于公理K在任何框架下都成立。所以前面两步已经证明了系统K的完全性。

这里只对系统T进行证明。

即要证明系统T的典范框架符合条件φ(T)。系统T只有一条模态公理T，它对应自返性。

所以要证对任意的w，R_Tww。

T公理是□A→A，所以任何T极大一致集都包含□A→A。

对任意的极大一致集w，□A→A∈w⇔如果□A∈w则A∈w。证明略。

所以对任意的w，如果□A∈w则A∈w。

根据典范模型的定义，R_Tww。即T的典范框架符合条件φ(T)。

说明：这里的逻辑系统S，典范框架Fs都符合框架条件φ(S)。但有的逻辑系统不满足这一点，所以证明方法也会和这里不同。