闭区间套定理真的证明了套内存在唯一的共同点吗？

        张平教授关于数学分析^【1】的视频在网上广为流传。

        张平在视频(第四讲33分始)中不用极限理论来讲闭区间套法:设闭间区Ⅰ_n的长度|Ⅰ_n|<ε，则ε足够小时，闭区间Ⅰ_n内有唯一的实数c。

        其证明用的是反证法:设Ⅰ_n内有两个实数c₁<c₂，则(c₂-c₁)/2=ε即c₂-c₁=2ε时形成矛盾。

        这个证明是错的:所谓矛盾，是设c₂-c₁=2ε时人为制造出来的，实际上并不存在:只要设c₂-c₁<ε, 例如，设c₂-c₁=ε/2，则对任意小的ε，矛盾都不存在。

        注意张教授在讲这节课的时候，还没有讲到极限理论和无穷的概念，所以这是在有限范围讲的。

        在有限范围内，不可能证明c是唯一的。

        而且，即使采用极限定义，也是无法证明存在唯一的c的:n→∞时，c₂→c₁，并不等于c₂=c_1: 因为c₂=c₁+ε/2时_，而再小的ε也不等于0。

        除非能证明 |Ⅰ_n|=0，这时定理当然成立。

        但这其实就至少要假定n是能达到无穷的: 由于找不到n≠∞使得 |Ⅰ_n|=0成立，因此，只有n=∞，才可能有 |Ⅰ_n|=0成立，这时，c₁=c₂，定理自然成立。

        然而，作为一个有限的自然数n，即使在趋于无限的过程中，也始终是有限的，因此，设n=∞，在逻辑上是有问题的，最多只能作为一种未必可靠的想象或假定。

        所以，严格来说，这个定理并没有被真正证明。

        数学家们的严格思维能力尚有很大的上升空间。

         笔者在撰写上述内容时，曾咨询过数学专业出身的田茂老师，在此谨表谢意。

       另外，区间端点为有理数时，该定理通常被用来定义任一无理数，这其实是做不到的: 笔者已经多次用不同方法证明，任意两个有理数之间都有无数个无理数。例如，在笔者的上一篇博文中， 研究了任意两个数之间的最小距离：

    设两个小数a和b可在0~9内任意取值的不循环小数位数分别为m₁和m₂，且m₁﹥m₂，两个小数的循环部分(如果有的话)则已分别给定，我们可以用以下方法得到a与b之间的最短距离:设a的1~m₁-1位小数与b完全相同，而a的第m₁比b的第m₁位大或小1，这时两数之间的距离为10^-m1，易证为给定条件下的最小距离。

       也就是说，任意两个数之间的最小距离取决于两个数的y:=max(m₁，m₂):  y越大，距离越短。

       这样，由于无理数的m有无限位，而有理数的m最多只有有限位，所以无理数之间或无理数与有理数之间的y=max(m₁，m₂)是无限的，而任意两个有理数的y=max(m₁，m₂)是有限的， 所以有理数之间的最短距离无限倍于无理数之间、或无理数与有理数之间的最短距离。

      既然只有有理数之间有较大的空隙，那么这些相对“巨大的”空隙当然只能被无空隙的无理数填满，这就再次证明了任何两个有理数中间必然有无数个无理数。所以，包括戴德金第三类有理分割和闭区间套定理在内的任何试图用有理数区间来定义唯一的无理数的企图都注定是要失败的，而且所谓有理数为1，无理数为0的函数，也并不是处处不连续的：由于任何两个有理数之间都有无限个无理数，这无限个无理数是连续的，只是在偶尔被有理数隔断处，才不连续。

      这些道理其实并不复杂，但至少到目前为止，似乎还没有其他人讲清楚过。

【1】https://m.bilibili.com/video/BV19v4y1v7V5?buvid=XYC249CCE54556BB32CF83990704F47F2AFE7&is_story_h5=false&mid=%2FBLsqiXxARZ%2Fq%2FIOqWRZvg%3D%3D&p=4&plat_id=122&share_from=ugc&share_medium=android&share_plat=android&share_session_id=dd7f2243-c6e0-4775-90c8-09cec231db8d&share_source=WEIXIN&share_tag=s_i&timestamp=1678158740&unique_k=3jIxxr2&up_id=589071917