Zmn-0959  薛问天: 北京大学高等数学教材微分定义中的一点不妥之处。

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北京大学高等数学教材微分定义中的一点不妥之处。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

数学是逻辑缜密的科学。有人说读小说可以一页一页地读，但读数学书必须一个字一个字地读。也就是说，数学中的每个符号，每个字和句子都有严格的含义，不能乱用，要求非常严格。

最近偶然看到北京大学高等数学教材，发现在微分的定义中，有一点用语不妥，特提出供大家商榷和讨论。

北大教材中微分定义中，在等式

f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)后加上(Δx→0)这个括号注释是不妥的。

我们知道Δx→0，是指变量Δx趋近于0，说的是变量Δx所处的一个状态。在什么情况下说这种状态呢？一般是在求极限时这么说，是在有一个随Δx变的变量，即函数φ(x)取极限时这么说。例如说当Δx趋近于0时，φ(x)的极限是a，记作φ(Δx)→a (Δx→0)。所以说Δx→0通常是极限用语，用在φ(Δx)→a (Δx→0)这样的极限式中。含义很清楚，说的是当变量Δx趋近于0时，函数φ(Δx)的极限是a。注意不能写成φ(Δx)=a (Δx→0)。也就是说，当Δx趋近于0时，是φ(x)趋近于0而不是φ(x)等于0。

所以一般情况下，不能把(Δx→0)用在等式后面，例如写这样的式子φ(Δx)=ψ(Δx) (Δx→0)，这就说不清，当变量Δx趋近于0时，函数φ(Δx)的值等于ψ(Δx)是什么意思，因为写出φ(Δx)=ψ(Δx)就表示在Δx的某个区域中等式成立，再在括号中写Δx→0，说等式当变量Δx趋近于0时成立，又是什么意思呢？显然不是仅指两端的极限相等。如果是指等式在0的某个ε邻域中成立，则应写明为(Δx∈(-ε.0)∪(0,ε) )，要知道【Δx属于0的ε邻域】同【Δx趋近于0】在含义上还是有一定区别的。

因而在等式f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)后，不能加上(Δx→0)这个括号注释，如果要加也只能是这样的注释【其中的o(Δx)是Δx的高级无穷小，即(o(Δx)/Δx) →0 (Δx→0)。】

如同济的统编教材就是如此。等式(5-1)后并未加(Δx→0)，但在后面的例子中解释o(Δx)高级无穷小的含义。

当然把这个(Δx→0)说成是对高级无穷小o(Δx)的注释也不对。高级无穷小也只能写成o(Δx)而不能写成o(Δx)(Δx→0)。

附注:

高等数学(第二版)上册。李忠，周建莹 编著  zpup@pup.cn  北京大学出版社。

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