Zmn-0998 薛问天 : 这个方法不等同于第一代微积分。评师教民先生的《0997》

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这个方法不等同于第一代微积分。评师教民先生的《0997》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

师教民先生对我的《一种先暂不学极限来学习微积分的好方法》提了三条意見。本文对他所提的三条意見分别回答和评论如下。

1，关于我所说的【微积分是不可能不用极限的】，这个论点当然不是一个口号。我的整篇文章就是在论述它的理由。关键是对【不用极限】要正确的理解。我所说的意思是在形式上和逻辑上可以不用极限这个概念来定义和构造微积分这个理论。例如可以用连续函数而不用极限来定义导数。但是这只是表面现象，在本质上，在实际内容和含义上仍然是用到了极限概念和理论。连续函数的含义就是极限等于函数值。在形式上不用极限建立的微积分同用极限定义的微积分在理论上是完全等价的。另一方面极限理论已经是微积分理论的重要组成部分，不用极限只是起到一种缓用极限的作用，最终微积分离不开极限理论，【微积分是不可能不用极限的】。。

至于师教民先生说我【说的这句话，与实际情况不相符合．】【是说假话】，因为他说他【早就创立了不用极限的微积分】。这当然不对，我说的当然是符合实际情况的真话。因为真实情况是你说的【创立】的理论并未得到业界任何专家的认可。如果我说你真的【早就创立了不用极限的微积分】，创立的理论设有错，那才是货真价实的【假话】！

关于林群先生和张景中先生提出的【不用极限的微积分】，我在《0996》中己说清楚，是你歪曲理解了他们的意見，他们的意見沒有完全讲清楚。〖所谓的【不用极限】指的是形式上和逻辑上而不是指实际的含义上【不用极限】。【不用极限】只是表面上或先暂时不用极限，微积分理论最终是离不开极限的。不可能存在完全真正脱高开极限理论的微积分。〗

2，师教民先生对我提出的【暂不学极限来学习微积分的好方法】，和二代微积分中用连续函数给出的导数的等价定义提出了4条意見，现在分别答复如下。

1)，师先生说【薛问天先生的好方法就与薛问天先生在他的文章中说的【微积分是不可能不用极限的】产生了矛盾】。

我已说清楚，这不产生矛盾。

〖关键是对【不用极限】要正确的理解。我所说的意思是在形式上和逻辑上可以不用极限这个概念来定义和构造微积分这个理论。例如可以用连续函数而不用极限来定义导数。但是这只是表面现象，在本质上，在实际内容和含义上仍然是用到了极限概念和理论。连续函数的含义就是极限等于函数值。在形式上不用极限建立的微积分同用极限定义的微积分在理论上是完全等价的。另一方面极限理论已经是微积分理论的重要组成部分，不用极限只是起到一种缓用极限的作用，最终微积分高不开极限理论。〗

我所说的《一种先暂不学极限来学习微积分的好方法》．是缓学的意思不是最终【不学极限】。最终还要搞懂连续函数用极限的定义。

连续函数是极限值等于函数值的函数。

2)，师先生说我提的方法等同于第一代微积分。他说【薛问天先生把这因为有矛盾而被历史淘汰的理论当成自己的好方法当然就错了】，当然不同。我提出的方法要用到连续函数这个概念。这是一代微积分中所设有的，一代微积分用含糊的无穷小增量比dy/dx来定义导数，一方面用dx≠0推导，一方面令dx=0，这是矛盾。而二代微积分认为导数是增量比Δy/Δx的极限，这个极限等于连续函数g(dx)的极限。而连续函数g(dx)的极限等于函数值g(0)，这一点矛盾都沒有，完全符合二代微积分的极限的定义。没有任何错误。

3)，师先生认为【薛问天先生的好方法只适用于部分函数，对于另一些、甚至是多数函数就不适用了．】师先生错了。这个用连续函数定义的导数定义是严格证明的等价定义。适用于所有函数。也就是说对任意函数y=f(x)，只要当Δx→0时Δy/Δx的极限存在，就存在连续函数g(Δx)使在Δx≠0时使Δy/Δx=g(Δx)。这个连续函数g(Δx)肯定是存在的。例如就令g(Δx)这样定义，在Δx≠0时令g(Δx)=Δy/Δx，在Δx=0时令g(0)等于这个极限就可以了。显然这个g(x)就是连续函数。

所以说师先生所举的例子也不成问题。例如：对于函数y=sin(x)有：

Δy/Δx=( sin(x+Δx)-sin(x) )/Δx=

((sin(x)cos(Δx) + cos(x)sin(Δx) - sin(x)) /Δx=

((sin(x)(cos(Δx)-1) + cos(x)sin(Δx) )/Δx=

由于当Δx→0时，

(cos(Δx)-1)/Δx→0，sin(Δx) /Δx→1，所以当Δx→0时，Δy/Δx→cos(x)。于是令当Δx≠0时g(Δx)=((sin(x)(cos(Δx)-1) + cos(x)sin(Δx) )/Δx，g(0)=cos(x)，此g(Δx)就是连续函数。

所以说这个方法，适用于所有函数。也就是说对任意函数y=f(x)，只要当Δx→0时Δy/Δx的极限存在，就存在连续函数g(Δx)使在Δx≠0时使Δy/Δx=g(Δx)。这个连续函数g(Δx)肯定是存在的。

4)，师先生说【薛问天先生的好方法中没说到y却有Δy，说到了f (x)却没有Δf (x)，】

我查了一下，确实我文中只写了〖设有一函数f(x)......〗。少写了变量y，現应补全写为〖设有一函数y=f(x)......〗才合适。不过我认为有了Δy，它就是Δf(x)，所以不写Δf(x)，也没有什么不可，大家都能理解。

3，我的意見是: 可以【先暂不学极限，等学到一定程度（师先生说的对，应为度）需要更严格深入理解时再来学习极限】．

师教民先生说【薛问天先生的这句话反映出：除了要学习薛问天先生的好方法以外，还必须要学习极限理论！这就比单单学习极限理论又多了一层学习薛问天先生的好方法的麻烦及繁琐！】

这里是因为不少人认为学习极限概念比较困难。微积分一上来就讲极限覚得难予接受。ε-δ就把学生搞糊塗了。于是就提出问是否可以在学微积分这些基本概念如导数以前，先不学极限，在不学极限的情况下能否把导数这个慨念和理论讲清楚。我提出的《一种先暂不学极限来学习微积分的好方法》，就是

【先暂不学极限，等学到一定程度需要更严格深入理解时再来学习极限】，这就比单单学习极限理论又多了一层。了解了对导数的双重等价定义。肯定不仅容易学，而且要学习得更加深入。

当然現在这只是提出的一种可能的学习方法作为採讨，是否可行还需有对此有兴趣的人去进行实践。

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