Zmn-1140 薛问天: 无穷过程没有最后一步仍可完成，关键是它完成时的稠密分布。评林益《1130》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生的《Zmn-1130》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

无穷过程没有最后一步仍可完成，关键是

它完成时的稠密分布。评林益《1130》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

我用一些词句和寓言是想用直观的方式而不是用形式逻辑推理的方法来揭示一个哲学原理。那就是要认识一个事物，不能只站在事物之中，而是还要站在事物之外，之上，站在更高的层次，对事物有全面的整体的了解。

具体说要真正认清无穷，必须要走出无穷，站在无穷之外，之上，在更高的一个层次处看无穷。这样才能认清无穷。

如果站在无穷之中来认识无穷，你看到每个项后都有后继之项，永远不能完成。从而你得出结论【不断延伸，有始无终，不能完成，不能结束】，以为这是无穷的特征。这是错误的看法。

1，林益先生说【小球经过 0.9,0.99,0.999,⋯ 这些坐标小于 1 的无穷个点，按照数列的构造规律当然不能达到1点，否则1不就在这个数列之中吗？那是不可能的，因为1不符合数列项的构成的发展变化规律。实际小球不仅可以达到1，还可以达到 2呢！这表明小球的运动与人为构造的数列 0.9,0.99,0.999,⋯ 无关，风马牛不相及，如果放到一起去讨论，不是神经有问题吗？】

关于这点，我在《1137》中已做过评论。〖我们所说的是坐标是0.9,0.99, 0.999 ,... 序列的无穷个点的序列。这个序列中不包括1这个点，这些坐标点位于区间(0,1)中。小球匀速运动，到达1时，经过了这无穷个点。对这么简单的事还要否定，说什么【小球的运行与无穷数列无关】，怎么无关，明明是【小球经过了这序列表示的无穷个点】。怎么能是无关呢？这不是在无事找事吗？〗

这个例子非常说明问题。当你把你限制在小球经过这无穷个点之中时，经过一个点后还要经过下一个点，似乎会使你觉得小球经过这无穷个点的过程永远不能完成。但是当出走出这个无穷，随着小球到达1点之后，你确实经过了这无穷个点，己经站在这无穷之外，你就必然认识到这经过无穷个点的无穷过程可以完成。

说小球的运动同这无穷个点无关，就是在明打明地否认现实。否认无穷可以完成的真相。

2，林益先生说【不过也说不定，如果小球运行不需要任何能量，不受任何条件的影响，按照牛顿运动第一定律，还可以永远运行下去，不能结束完成、不会停止运行呢，不仅经过无穷多个点，而且经过的路程也是趋向无穷，不能完成、不能结束的呢。 】

这也非常明确。当你把你限制在这个无穷的路程之中，把你所处的时间限利在这个无穷的时间之中。您会认为过程不能完成不能结束。但是如果你的思维开阔一些，站在这无穷的空间和时间之外来思考和观察，你会认识到你所说的这个过程是完成在所说的时空之内。并没有超出所说的时空之外。人的认识就有这样的高度和深度。对它不能过分地低估。

3，林益先生说【如整数集合𝑮={⋯,-2,-1,0,1,2,⋯}，数轴表示实数的无穷集合(−∞,+∞)，不都是无始无终吗？遗憾的是，这两个无穷集合的存在，并不能证明无穷可以结束完成呀！ 】

这就是林益先生的错误认识问题了。整数集合同自然数集合同样，都是确定的，外延己经固定不变的集合。它的元素不会再增加再延伸了，说集合的生成过程尚未完成甚至永远不会完成，说它的外延现在还处在不断延伸的过程之中的看法显然是错误的。不存在这样的对象，现在不是整数而将来会成为整数。所有存在的集合，它们集合的生成过程都已完成。

4，林益先生说【无穷公理给出无穷集合的存在性，逻辑表达式给出无穷集合的构造过程不能完成性，这是数学无穷判断对错的依据和标准，是可以进行严格数学证明的。】

关于这点，我己在《1137》中做过评论。在无穷公理中给出{𝒏}∪𝒏只是说【当n∈N时，{𝒏}∪𝒏∈N】这是归纳集合N的定义的一部分，只是说这是归纳集合的重要性质。林益先生你凭什么借此说【逻辑表达式给出无穷集合的构造过程不能完成性】，这是毫无道理的。

因为【任何元素都有后继】是集合元素的属性，元素和它的后继元素都是属于集合的元素。它们之间有后继的关系 。不能把后继理解为是在产生新的元素，集合在延伸。甚至抱怨说【为什么不明确表示你可以结束完成，不再有后继数和后继运算呢？！认人费尽口舌也说不清楚完成性，唉！】从而认为【无穷集合的构造过程不能完成】，集合具有【不断延伸变化的属性】。这些论断都是错误的。

在无穷公理中只论及无穷集合的存在，并无具体涉及集合的生成过程。无穷公理断定了无穷集合的存在，是根据哲学原理，保证了它的生成过程已经全部完成。说【无穷集合的构造过程不能完成性】完全违反了无穷公理的基本论断。

更不能把己经断定存在的无穷集合，说成是【这个集合有始无终，不能完成，不能结束，一直处于动态延伸过程中。】成为一个生成过程没有和不能完成的，外延不固定还在不断延伸的集合。

5，林益先生说【讨厌的后继数和后继运算逻辑表达式{𝒏}∪𝒏，为什么不明确表示你可以结束完成，不再有后继数和后继运算呢？！认人费尽口舌也说不清楚完成性，唉！

这样谁还能证明“每个自然数都有后继数，可借此证明全体自然数都存在。由 0开始的后继运算则无法穷尽全体自然数，永远达不到链条的尽头。”呀！！也就没有“全体”自然数和“所有”可言啦，否则，不与后继数和后继运算矛盾吗？！ 】

这些说法充分暴露了林益先生认识上的错误。他把自然数集合的生成过程简单地看作是由0开始一个个地进行后继运算，认为生成过程的完成，就是在一个很远的时刻，这个后继运算完成它最后的一步，完成了，结束了，【不再有后继数和后继运算】。当然如果是这样地【完成】，当然矛盾重重。最后一步得到的自然数没有后继数，当然【不再有后继数和后继运算】同【任何元素都有后继】是矛盾的。【这样谁还能证明“每个自然数都有后继数，】

当然【全体自然数都存在】也不是这样【证明】的。【全体自然数都存在】是由无穷公理和分离公理根据自然数的定义，它是最小归纳集合来证明的。

林益先生想用不存在古典实无穷观的那个最大自然数这个事实，来否定无穷集合生成过程的完成。说【由0开始的后继运算则无法穷尽全体自然数，永远达不到链条的尽头。】这当然是枉费心机，自然数集合并不是林益先生主观臆想的链条。它根本就没有尽头。

既然无穷过程的完成不是半途中止，又没有最后一步，不是最后达到一个最终的尽头，那它是怎样完成的呢？

我举的小球运动就是一个很好的例子，通过小球经过无穷个点的例子就可以非常直观地看清这无穷过程是如何顺利完成的。

首先，我已说过多次。小球的匀速运动，如果是用一秒钟到达1这个点，那就是在0.9秒时，到达0.9这个点，在0.99秒时，到达0.99这个点，在0.999秒时,到达0.999这个点,...。当然在1秒钟时到达1这个点。同时我们知道到达1秒时，肯定小球经过了所有这无穷个点，一个也不会漏掉，经过无穷个点的无穷过程全部完成。这无穷个点的坐标就是这无穷序列。当然这无穷序列也全部完成，包括它所有的项一个不漏。也就是说，是在这1秒钟这个有限的时间内，经过了无穷个点。关于这点一定要认识清楚。为什么会在有限的时间内经过无穷个点。这是由于在经过相邻两点的时间差距不是固定不变，而是越来越小。如果经过相邻两点的时间差距固定不变，则经过无穷个点的时间就会无限，不可能在有限时间内完成。而小球运动的例子 ，经过相邻两点第n点同第n+1点的时间差距是0.000...9(n+1位)秒，而且越来越小。由于经过无穷个点的总时间是这些差距的无穷级数的总和，准确计算刚好1秒。所以在1秒钟这个有限时间内经过了无穷个点。

其次，我们认识到整个无穷过程的完成，并不是半途中止。如果半途中止，显然是只经过有穷个点，而小球确实是完完全全地经过了无穷个点，而不是只经过有穷个点。

同时，我们认识到这无穷个点中並不存在最后一点点。过程的完成并不是遇到后继运祘的最后一个点，此点没有后继，而是经过了所有的这无穷个点，而且每个点都有后继。这就是无穷过程完成的特点。

为什么过程的最后完成，没有最后一个点呢？这是因为无穷过程的完成，最后是相当稠密的，不是离散地一个个地分开进行的。而是相当无限地稠密 。具体说，在离过程完成时刻的任意小的时间段(1-ε，1)，都要经过无穷个点。在这个开区间中没有比1小的最大点。所以在经过的无穷个点中没有最大点。

当你从直观上了解了无穷过程完成特点，你就会了解自然数的生成过程的完成。任何自然数都是由0经有穷次地后继运算而得到。但所有这样生成的自然数却有无穷多个。在自然数中没有0经无穷次地后继运算而得到数。也不存在最大的自然数，它没有后继数。而是所有的自然数都有后继。全体”自然数和“所有”自然数的集合当然存在，它们的外延是确定不变的，包括了全体”自然数和“所有”自然数。这个无穷的自然数集合的生成过程可以完全完成，这里不存在任何矛盾 。

6，林益先生【说无穷可以两个子过程，还真是有的意思，可惜我从无穷公理和其逻辑表达式{𝒏}∪𝒏中不仅看不出来，而且分析不出来，不知谁眼光独特，分析能力超强能找出两个子过程，拭目以待。 】

刚才己经说清，小球由0运动到1，这个经过无穷个点的过程，实际上是非常稠密地分布在到达1之点之前的区间中。也就是说小球由0运动到1，这个经过无穷个点的无穷过程，对任意小的ε>0。都以分成经过(0，1-ε)和经过(1-ε，1)的两个子过程。其中第一子过程是有穷过程 ，第二子过程是经过无穷个点的无穷过程。不知林益先生对此有何质疑。

7，林益先生说【薛问天先生提供的几首诗还真不错，增加了数学讨论的乐趣，提醒人们不要像“井底之蛙”那样“坐井观天”，因为有限集合能够完成就推想无穷集合能够完成，那是完全错误的，有限条件下得出的正确结论绝对不能推广到无穷情况中去，否则得到的结论都是错误的。 】

有趣的是【提醒人们不要像“井底之蛙”那样“坐井观天”】，【有限条件下得出的正确结论绝对不能推广到无穷情况中去，】这个原理说得非常正确，但是例子用错了。无限集合同有限集合确实有很多不同。如有序的有限集合肯定有最大数存在。但有序的无限集合就不一定有最大数。有限集合绝不可以同它的真子集一一对应。但无限集合就有可能。

不过无限集合同有限集合确实也有很多相同的属性。例如无限集合同有限集合都是外延确定不变的集合。无限集合同有限集合的存在就决定了它们的生成过程都是可以完成的。林益先生认为无限过程的生成过程不能完成则是错误的。

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