Zmn-1139 薛问天: 这全是认识的错误，微分的定义不存在貝克莱悖论，评新华《1138》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新华先生的《Zmn-1138》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

这全是认识的错误，微分的定义

不存在貝克莱悖论，评新华《1138》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，新华先生错误在于没有弄懂，什么是矛盾，什么是悖论。Δx是增量，当然允许Δx=0和Δx≠0。允许Δx=0和Δx≠0，并不是矛盾也不是悖论。

贝克莱悖论指的早期微积分在定义和求导数时，第一步要求Δx≠0，第二步又要求Δx=0。即是同时要求Δx=0和Δx≠0。这才产生了矛盾，产生了悖论。而第二代微积分严格要求求导数时，Δx≠0。所以彻底解脱了貝克莱悖论。

在微分的定义中，𝒅𝒚=AΔ𝒙，𝒅𝒙=Δ𝒙。是允许 Δ𝒙=0，也允许Δx≠0，并不存在有同时要求 Δ𝒙=0和Δx≠0的情况。所以不存在任何矛盾。另外严格证明是在当Δx≠0时，𝒅𝒚/𝒅𝒙=𝒇′(𝒙)。如果“Δ𝒙=0”，当然允许有𝒅𝒚=0，𝒅𝒙=0，此时微商没有意义，这很正常同导数无关。因为分母为0，𝒅𝒚/𝒅𝒙=0/0。

二，新华先生认为涉及无穷的数，如无穷级数，无穷小数就是【动态的】，就是【其值在不断增加延伸过程中，不是一个确定的定值，】这是一个严重的错误。

在数学中，是把无穷小数定义为有穷小数的无穷序列的极限，是把无穷小数0.999...，定义为有穷小数的无穷序列0.9,0.99,0.999,..，的极限，是把无穷级数的和定义为有穷的部分和的无穷序列的极限，

【其值在不断增加延伸过程中，不是一个确定的定值，】指的是无穷序列的值，不是指的极限的值。指的是无穷序列0.9,0.99,0.999,..，的值，不是指的无穷小数0.999...=1这个极限值。指的是部分和的无穷序列的的值，不是指的无穷级数的和这个极限值。要知道这个极限值，无穷小数0.999...=1这个极限值，无穷级数的和这个极限值，则是静态的，唯一确定的数值，不是不断增加延伸的不确定的值。

听清楚了吗，这是新华先生的错误认识。无穷小数0.999...同极限1是同一个对象，同无穷序列0.9,0.99,0.999,..，不是同一个对象。无穷级数的和同这个极限值是同一个对象，同部分和序列不是同一个对象。

三，我发现新华先生的脑子真不够用。

竟然说【求∆𝒚的目的就是为了求导数，而此时导数还没有求出来，也就是说，在表达∆𝒚时，𝒇′(𝒙)=𝐜𝐨𝐬 𝒙还不存在，而用其导数表达∆𝒚，显然是错误的。】

要知道导数cosx，就是当Δx→0时，Δy/Δx的极限。在导数没求出前，你不说它是导数，说它是Δy/Δx的极限总是可以的吧。你既然会求出它的导数，我当然假设你也会求出这个极限来。怎么能是错误的呢？你会求sin x的导数是cos x。你当然会求出当Δx→0时，Δy/Δx=(sin(x+Δx)-sinx)/Δx=(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx→cosx，因为其中cosΔx→1，(sinΔx)/Δx→1。

你不说cosx是f´(x)，直接写Δy=cosxΔx+φ(Δx)Δx。

φ(∆𝒙)=(sin(𝒙+Δ𝒙)-sin𝒙)/Δ𝒙-cos𝒙=(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx -cosx. 即可。此时显然可证当Δx→0时φ(∆𝒙)→0。即φ(Δx)Δx是高级无穷小。

对于函数y=e^x，既然你会求它的导数等于e^x，当然你知道也会求如下极限，当Δx→0时 Δy/Δx=(e^(x+Δx)-e^x)/Δx=(e^x)(e^Δx-1)/Δx=(e^x)(t)/ln(1+t)

=(e^x) (1/(ln(1+t)^(1/t)))→e^x。因其中令e^Δx-1=t，Δx=ln(1+t)，而且

(t)/ln(1+t)=1/(ln(1+t)^(1/t))，当Δx→0时t→0，(1+t)^(1/t)→e。

所以你直接写 Δy=(e^x)Δx+φ(Δx)Δx，即可。

φ(∆𝒙)=((e^(x+Δx)-e^x)/Δx)-e^x=(e^x) (1/(ln(1+t)^(1/t)))-e^x。显然可证当Δx→0时，φ(∆𝒙)→0。即φ(Δx)Δx是高级无穷小。

对于函数y=lnx，既然你会求它的导数等于1/x，当然你知道也会求如下极限，当Δx→0时，Δy/Δx=(ln(x+Δx)-lnx)/Δ=(1/Δx)ln(1+(Δx/x))=(1/x)(x/Δx)ln(1+(Δx/x))

=(1/x)ln(1+(Δx/x))^(x/Δx)→1/x，因为其中，当Δx→0时，Δx/x→0，

(1+(Δx/x))^(x/Δx)→e。lne=1。

所以你直接写 Δy=(1/x)Δx+φ(Δx)Δx，即可。

φ(∆𝒙)=((ln(x+Δx)-lnx)/Δx)-1/x=(1/x)ln(1+(Δx/x))^(x/Δx)-(1/x)。显然可证当Δx→0时，φ(∆𝒙)→0。即φ(Δx)Δx是高级无穷小。

所以说是新华先生说错了。说什么【实际上只有整式函数可以表达成∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)形式，其它函数都不具备这样的条件，】实际上是任何函数，只要可导，只要能用极限求出当Δx→0时Δy/Δx→A，就可以表示为∆𝒚=A∆𝒙+φ(Δx)Δx的形式，其中φ(Δx)=Δy/Δx-A。可用极限证明当Δx→0时φ(Δx)→0。即φ(Δx)Δx是高级无穷小。

当然我们是在理论上讨论可能性的问题。不是为了【在求导数时就简单方便得多】。这种表示的难度同求导数的难度几乎是相同的。在理论上证明Δy/Δx→A，同在理论上证明φ(Δx)=(Δy/Δx-A)→0，实际上是一回事。

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