大数定律严格的数学表述需要一些测度论的语言。根据其收敛性的不同，我们一般区分强大数律（SLLN）和弱大数律（WLLN）。

我不打算从这个角度来谈大数定律。理由一方面觉得要用数学的方式讲清楚得费一番工夫；另一方面，个人觉得对于大数定律更重要的在于理解，特别对于非概率专业的朋友，挖掘“大数定律揭示了何种的自然规律”才是更有意义的事情。

大致上讲，大数定律表达了这样一件事：将大量在微观上的随机运动作宏观的平均，这个宏观平均量会表现出某种确定性。之所以会这样，直观上可以理解成当观测的微观粒子足够多，“随机扰动”就会被“average out”。这是不难理解的，在生活中我们会遇到许许多多这样的经验。比如扔硬币，如果扔的次数很少，比如三、五次，这样统计一下出现“正面”的频率，会发现波动很大；但是当多次之后，比如100次，就会发现出现“正面”的频率大约在1/2上下徘徊。所以我们都能接受扔硬币出现正面的概率是“1/2”的说法。但大家必须明白，“概率”是无法测量的，只有“频率”是可以被测量的。所以正是大数定律告诉我们，用“频率”去推测“概率”是合理的。

几乎每本初等概率论的书都会在大数定律的部分讲解上面的内容。在教科书里，对于大数定律总会强调两件事：“独立性”和“大量”。个人不愿意把这两个词严格化，我更希望朋友们能“模糊”的去体味。独立性就是指系统中的个体运动尽量保持独立，不要太受其它个体的影响。如果不是这样，“average out”就不一定会起作用。

基于大数定律的启示，我们在处理实际问题的时候，可以有这样的倾向：如果我们面对的系统存在大量的粒子或个体，在处理系统动力学方面问题的时候，可以尝试忽略个体随机噪声的影响，而这种忽略不会对系统的整理行为分析带来太多误差。当然这只是一种方法倾向，严格起来还是得具体问题具体分析。

个人体会概率论最为诡异的地方在于“真实的概率”是“不可观测”。虽然在理论上，概率论有非常严格的公理体系和丰富的研究成果。但是在现实中，人们仍然会质疑概率论在哲学层面的意义。我的一些朋友，学法律，学中文，学生物等等，跟我交谈最多的就是“概率”本身的涵义。很遗憾，给出一个满意答复的难度不小。

但是我想一定程度上大数定律可以扮演这样的角色。

 

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