本期主题是：现代概率论是现代数学的重要分支。

这是我首先要强调的，概率论，特别是现代概率论，它的第一属性应该是现代数学分支。

为什么要加“现代”二字？长期以来，数学界形成了一个共识：数学是要建立在公理化体系之上的。唯有建立了公理体系，这门数学才有了根基，才有了进一步逻辑推演的可靠性（当然这里有个逻辑中的相容性问题）。所以，虽然数学有哲学层面的关系，但是只要建立了合理的公理体系，数学更多的依靠逻辑运算，而不是空谈思辨。

公理体系不难理解，高中学习欧几里得几何学，不就是从几个公理出发而建立的整个欧式几何的大厦；大学数学中，高等代数和实变函数等等都有明显的公理体系方面的训练。

好了，现代概率论，也就是自从苏联数学大师Kolmogorov建立了概率论的公理体系，概率论在数学层面上就没有问题了，进而也得到了数学界的广泛承认。在此之前，概率论也得到很好的发展，但那时的一流数学家没有谁承认概率论是数学的分支，原因就是概率论无法像代数分析几何那样建立合理的公理化体系。

讲了这么多，我意在回答大家的一个普遍问题：概率到底有没有意义？这是被问到最多的问题。如果这个意义指的是有没有“实际意义”或者“应用价值”，那不是纯粹数学首先应该回答的问题，因为数学这门学科本身就具备一部分特性是不必服务于科学的。但至少我能回答大家，概率在数学上的定义是“硬”的。至于概率论的应用价值，那是个见仁见智的问题。

那作为本文的结束，我简单介绍一下，概率论的公理体系到底规定了怎样的事情？

简单讲，就是要建立合理的概率空间。概率空间大致上要规定：

1、概率事件取自于怎样的空间，

2、怎样分配不同概率事件的发生概率。也就是定义概率测度。

第1条好理解，比如探讨赌博问题，概率事件无非就是赌博可能的一些结果；而天气问题，概率事件就是可能出现的天气状况。所以面对不同的问题，“空间”是不一样的。

那第2条，就是要预先给定一个概率测度来刻画所面对的问题，就是预先给定事件发生的可能性。

打个比方，比如赌博问题，庄家只有两种结果：输和赢。也许在澳门的赌局中，输赢的概率分别是1/2和1/2；在拉斯维加斯的赌局中，输赢的概率则是2/3和1/3。于是，我们可以说，澳门和拉斯维加斯所指定的概率测度是不一样的。

好的，本来一切都相当顺利，但是如果您较真儿一点，你会问：你怎么知道输赢的概率到底是不是1/2呢？

对，这是个极妙的问题。我们的确不可能确切知道一个事件发生的概率到底是多少，我们能观察的只有“频率”是多少。我们之所以说“澳门赌局输赢概率分别都是1/2 ”，是因为我们经过大量经验的判断，频率大致上就是一半一半。

我想，这也是大家的普遍困惑，大家质疑的部分集中在这个先验给定的概率是否合理。但是我想告诉大家，公理本身就是无法验证，它的提出本身就是有直觉成分的。数学当然应该对公理体系的合理性负责，数学家理应尽量提出合理的公理体系。但他们不可能负全责，因为那是人类的局限。

所以，我希望，大家明白，做现代概率论研究的数学家面对的概率空间大都是从物理直观提出来的，历史证明，这些概率空间对于理解物理现象都是意义重大的。而且，一旦概率空间确定下来，概率论就不再会纠缠于哲学或者实用的双重思辨，她会眺望远方，等待着数学家发现一个又一个精妙的数学结构，而这些工作都是经得起逻辑考验的。

 

 

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