禹乃遂与益、后稷奉帝命，命诸侯百姓兴人徒以傅土，行山表木，定高山大川。……左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山。

中国历来重视农业生产、重视天文观测，帝尧时代就“乃命羲、和，钦若昊天，历象日月星辰，敬授人时。”距离测量，乃至各种可望而不可及的目标的高深广远，也早就做过尝试，并得到了一些非常不错的方法和结果：山高井深固然不在话下，天高地远也都试过。

我们这里并不探讨古人到底是怎么测量的，而是简单谈谈三角测距法（或者说视差法）。这种方法古人也能理解，比如说三国时代的刘徽就在《海岛算经》里解决过很多类似的问题，只是现在可以应用的范围更加广阔而已。

定义一个标准长度（比如说1米），用几何方法很容易把这个长度扩大或缩减10倍，而且只要看得见、摸得着，就可以继续进行下去。在光学显微镜的帮助下，这种方法很容易拓展到1微米的尺度，也即是缩减100万倍。利用电子显微镜等手段，还可以达到原子的尺度——这也就基本上到头了，不过一百亿倍而已。扩张的情况有些麻烦，因为扩大一百万倍才是1000公里，还没有出国，一百亿倍也才一千万公里，虽然比月球远得多，但是离太阳还远着呢。更重要的是，别说1000公里，就是10公里甚至1公里，都有些太远了——也许你出门两百米就会被一条高速公路截断你的去向。这时候，三角测量法就可以派上用场了。

每个人都有两个眼睛，间距$L$大约是5厘米。每个眼睛看到的图像其实略有不同，经过大脑处理以后就会得到立体的感觉。对于单个的物体（比如说，距离合适的一个点），我们也可以不用脑子，而是用笔和纸算出来。只用左眼看这个物体，和只用右眼看它，你会发现这个物体的位置动了，这个变化其实就是你的两个眼睛相对于整个物体的张角。从这个角度$\theta$，你就可以估计物体和你的距离$d\sim L/\theta$。一度的差别（大约0.02弧度）是很容易看出来的，稍微训练一下，看到0.1度也不是太大的问题，所以，我们可以很容易估计几米乃至几十米的距离。其实我们的大脑很善于做这件事，你都不用分别地闭眼睛，就可以做到。

立体电影就是这样来的。两台放映机用不同的偏振光给出略有不同的两个画面，立体眼镜的每个镜片只能让某一种偏振的光通过，所以每个眼睛看到的画面就略有不同，再经过大脑处理就得到立体效果了。以前还有过双色的立体电影，两个画面采用的是不同颜色的光（比如说红光和黄光），戴上镜片一红一黄的眼镜，也能给出立体效果，只是感觉有些怪怪的。还有其他很多种方法能实现立体效果，比如说同时利用人眼的视觉暂留和液晶型的高速光开关，就不一一介绍了。

最简单的三角测距法是，你在A点和B点分别测量远方C点与直线AB的夹角，在根据AB的距离，就可以得到C点的位置了。这是在一个平面上，如果跳出平面，你就需要知道ABC三点的相互距离，以及这三点与远方D点的连线和ABC平面的夹角。最终的结果依赖于三个长度和三个角度的测量精度。这种方法及其变形（例如《海岛算经》）很容易测量几百米乃至几公里远的目标。（全球定位系统如GPS、北斗、GLONASS、伽利略等都是采用的这种方法，只是精度高得多。）

再远些就会有麻烦（几十公里乃至上百公里），因为地球是圆的，必须考虑地面的弯曲。生活在海边的人，最早认识到地球是圆的：远航归来的船只，先是在海平面上露出桅杆的顶端，然后才逐渐现出整个身形。利用这一点，根据桅杆相对于水平面的高度$h$，船只刚露头时到观测点的距离$d$，就可以测量地球的半径$r$，因为$d^2=2rh$（利用勾股定理来近似）。汉代楼船就有十几丈高，就算30米吧，地球半径6400公里，由此可以得到$d$大约是14公里。十几公里的距离是能够用三角测距法比较准确地测量。

认识到地球是圆的、半径为几千公里，（这很难，尤其是在古代），再认识到太阳离我们很远（这也很难），就可以测量地面两个不同位置的距离，比如说几千公里（经度差由时间确定，纬度差由日影确定）。这两个位置与月亮又构成了一个三角形，就可以测量月地距离了。再根据月亮对我们的张角，就可以得到月亮的大小了。

有了月地距离，让太阳、月亮和地球构成一个新的三角形，就可以得到太阳的距离。所需要的角度可以根据月相和日月相对于地面的夹角得到。一个特殊的情况是，当月亮正好有一半被照亮的时候，日地月正好构成一个直角三角形，而月亮位于直角顶点上。

利用月全食，也可以得到日地距离。太阳比地球大得多，地球背向太阳的一侧有本影区（根本看不到太阳）和半影区（能看到一部分太阳），月亮进入本影区，就会发生月食（进入半影区，也可以说有月食，但是人眼对此不是很敏感）。根据月全食开始和结束的时间（月亮进出本影区的时刻），就可以得到月球轨道在本影区内的长度，再根据月地距离，就可以知道日地距离和太阳大小（因为太阳的张角是知道的）。

利用开普勒第三定律，观测行星的公转周期和它到地球的距离，也可以得到日地距离。可惜地球太小了，这些行星的距离也有些远，所以测不了很准确。哈雷提出在发生金星凌日的时候，在不同的地点观测，可以得到太阳的大小。当金星位于太阳和地球连线的时候，从地球上不同地点看去，金星在太阳表面的位置是不一样的，仍然是利用相似三角形。同样的方法也可以用于水星，但是水星离地球更远，效果也就差多了。

知道了日地距离，就可以把应用更大的三角形，把视线投向宇宙的更深处。地球公转轨道的直径就是两个日地距离，大约是1000光秒的样子，也就是3亿公里，这就是地球相隔半年后的距离。由此可以得到“秒差距”：如果远处天体的半年视差为2"，它到地球（太阳）的距离就是1秒差距，也就是地球公转轨道半径对应视角为1"时的距离。秒差距是视角的倒数，1秒差距大约是3.26光年，或20万个天文单位。

对于宇宙学来说，秒差距这个单位还是有些小了，常用千秒差距（kpc）和百万秒差距为单位。我们以前说过，肉眼能够看到的最远恒星大约是50光年，也就是20个秒差距的样子。超过这个距离，三角测距法就不太好使了——但幸运的是，我们还有其他方法，适合于测量更远距离的方法，细节以后再说。

需要说明的是，本文提到的这些方法都有比较大的误差，而我们根本就没有讨论误差。这里只是给了一个起点，开始讨论的起点而已。数量级肯定是没有问题的，肯定不超过一个系数2，努努力甚至可以达到50%乃至10%以内。另外可以看到，这些测量都是一环套一环的，如果其中的某个数值能够用某种方式更精确地得到，其他数值的精度也同样可以提高。比如说，现在能够用雷达反射的方法更精确地测量金星的距离，也就可以更精确地得到日地距离。在比如说，利用美国登月时留在月球表面的角锥反射镜，再利用脉冲激光、天文望远镜以及现代化的电子信号处理系统，可以让月地距离的测量精度从千米提高到厘米。然而这绝不容易，1969年阿波罗11号登月后不久，美国就实现了这种测量，而我国只是这几年才有中科院云南天文台实现了类似的测量。因为世界就是这样：

大道至简，知易行难！

附录：古代的天文地理测量方法

《周髀算经》：

夏至南万六千里， 冬至南十三万五千里，日中立竿测影， 此一者， 天道之数。周髀长八尺， 夏至之日晷一尺六寸。髀者， 股也。正晷者， 句也。正南千里。句一尺五寸， 正北千里。句一尺七寸。

《淮南子天文训》

正朝夕，先树一表东方，操一表却去前表十步，以参望日始出北廉。日直入， 又树一表于东方，因西方之表以参望日，方入北廉则定东方。两表之中，与西方 之表，则东西之正也。日冬至，日出东南维，入西南维。至春、秋分，日出东中， 入西中。夏至，出东北维，入西北维，至则正南。

欲知东西、南北广袤之数者， 立四表以为方一里距，先春分若秋分十余日，从距北表参望日始出及旦， 以候相应，相应则此与日直也。辄以南表参望之，以入前表数为法，除举广，除 立表袤，以知从此东西之数也。假使视日出，入前表中一寸，是寸得一里也，一 里积八千寸，得从此东万八千里。视日方入，入前表半寸，则半寸得一里，半寸 而除一里积寸，得三万六千里，除则从此西里数也。并之东西里数也，则极径也。 未春分而直，已秋分而不直，此处南也。未秋分而直，已春分而不直，此处北也。 分、至而直，此处南北中也。从中处欲知中南也，未秋分而不直，此处南北中也。 从中处欲知南北极远近，从西南表参望日，日夏至始出与北表参，则是东与东北 表等也。正东万八千里，则从中北亦万八千里也。倍之，南北之里数也。其不从 中之数也，以出入前表之数益损之，表入一寸，寸减日近一里，表出一寸，寸益 远一里。

欲知天之高，树表高一丈，正南北相去千里，同日度其阴，北表一(二？)尺，南表尺九寸，是南千里阴短寸，南二万里则无景，是直日下也。 阴二尺而 得高一丈者，南一而高五也，则置从此南至日下里数，因而五之，为十万里，则天高也。若使景与表等，则高与远等也。

附录：刘徽《海岛算经》第一题及解答

今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。

术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。

——刘徽（约225年—约295年）《海岛算经》第一题

用现代语言来描述，《海岛算经》的第一题是这样的：

位于O的海岛高度OA为$x$，到标尺BC的距离为$y$，BC和EF的高度$h$都是3丈，二者的间隔$d$为1000步。OBDEG是一条直线，ACD和EFG都是直线。BD长度$b$为123步，EG长度$e$为127步，求$x$和$y$。

这是个简单的几何问题，随便哪个中学生都应该会用相似三角形来求解。三角形BCD与OAD相似，三角形EFG与OAG相似，所以，

$\frac{b}{b+y}=\frac{3}{x}=\frac{e}{e+y+L}$

两个方程两个未知数，做一些简单的代数运算，就可以得到：

海岛的高度为$x=\frac{hL}{e-b}+h$，这就是解答里说的（“术曰”）：以表高乘表间为实（$hL$）；相多为法（$e-b$），除之（$\frac{hL}{e-b}$）。所得加表高（再加上$h$），即得岛高。

海岛到第一个标尺的距离$y=\frac{bL}{e-b}$，这就是解答里说的（“求前表去岛远近者”）：以前表却行乘表间为实（$bL$）；相多为法（$e-b$）。除之（$\frac{bL}{e-b}$），得岛去表数。

把数字带入，可以得到，$x=$30750步，$y=753$丈。与答案对照（答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。），可以知道，1里=300步=180丈，也就是3丈等于5步。

非常了不起。可惜的是，中国的古书都写得太简略，而且只有答案，没有解答的过程。如果你没有相似形的概念，光看这个解答，恐怕很难猜出来为什么这样做。所以，中国古代的数学成就虽然很高，但是传着传着就丢失了。比如说，祖冲之写过《缀术》五卷，收录在《算经十书》中，但是，“学官莫能究其深奥，故废而不理”（《隋书》）。

百度百科：海岛算经

https://baike.baidu.com/item/%E6%B5%B7%E5%B2%9B%E7%AE%97%E7%BB%8F/7691173?fr=aladdin

《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆。刘徽也曾对九章算数重编并加以注释。全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。