如何判断水文现象的线性与非线性

葛维亚

       在水文的数学解析中，对水文水资源现象的观察与分析，不难发现有些属于线性，有些属于非线性。对这一问题，探讨的领域至少有四个： 

       1. 线性与非线性的判断。

       2. 线性计算方法。

       3. 非线性计算方法。

       4. 如何把非线性转换为线性，再按线性计算。

       线性（linear），系指量与量之间按比例，成直线的关系。在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。非线性（non-linear）系则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

      线性的可以认为是1次方直线，比如y= ax+b ，即成一条直线。非线性的可以认为是2次方以上的曲线，比如2次方，即不为直线。

       两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线，这样的两个变量之间的关系就是“线性关系”。如果不是一次函数关系的——图象不是直线，就是“非线性关系。

   “线性”与“非线性”，常用于区别函数y = f （x）对自变量x的依赖关系，其中x 为自变量，y为依变量，通常称为函数。线性函数即一次函数，其图像为一条直线。其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。

       丛物理的角度而言，线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。

又比如，普通的电阻是线性元件，电阻R两端的电压U，与流过的电流I，呈线性关系，即R=U/I，R是一个定数。二极管的正向特性，就是一个典型的非线性关系，二极管两端的电压u，与流过的电流i不是一个固定的比值，即二极管的正向电阻值，是随不同的工作点（u、i）而不同的。

       再重复一下上述的重点，即在数学上，线性关系是指自变量x与依变量y之间可以表示成y=ax+b ，（a，b为常数），即说明变量x与依变量y之间成线性关系。不能表示成y=ax+b ，即非线性关系，非线性关系可以是二次，三次等函数关系，也可能是没有关系。例如二次函数关系为    

       对模型而言，线性模型和非线性模型的区别误区在于线性和非线性的区别要看是否可以用直线将样本划分开。区分一下回归和分类问题，线性模型是可以用来曲线拟合（回归），但是线性模型的分类一定是一条直线。

       一般而言，可以线性化的模型有： 一元多项式回归模型;双曲线回归模型;对数曲线模型一元线性回归模型：它是根据两个变量的成对数据，配合直线方程式，再根据自变量的

变动值，来推算因变量的估计值。

       非线性问题完全可以转换为线性进行计算， 即用线性近似去逼近，在一定的误差范围内可以线性化，比如y=f(x)，可以采用一节泰勒级数在某一点x0逼近，即f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)，这样就在x0的邻域线性化了。

       如此计算就简便多了。