邓晓明谈张学文的个体概念等等

说明：下面是邓晓明的文章，转贴于此，文中“张老”二字修改为“张学文”三字。张学文

原贴于： http://blog.tech110.net/?uid-11182-action-viewspace-itemid-61508   2011年10月19日

近日看到了张学文在系列文章中对“个”的概念进行了深入的讨论。下面谈谈我个人的看法。受本人知识面及理解力的限制，如果有错误，或不当的地方，望张学文海涵。

1、同意张学文的说法，“个”是原始的概念和量化的起点

康托（G.Cantor）的老师，也是他的劲敌L. Kronecker有句名言：“上帝创造了自然数，其余都是人的工作。”他还进一步明确地说过：“一切最根本的数学结果最终可以用整数性质的简单形式来表达。”

狩猎、农耕，最原始的计数恐怕就涉及“个”了。给某一类对象“个”一一对应地数数和编号。数数是为了知道多少；编号是为了排序。从另一个方面理解，这个世界在人的眼里，或许就是“离散化”的。虽然时空本身是否具有量子性还没有定论，但一般的情形是，结构与层次是物质存在的普遍方式。从基本粒子到宏观物体，直至星系或星系团都在某一个（如尺度）层次上有其相对稳定的“独立结构”。作为观察者的我们，面对某些类型或同质的“独立结构”，自然就产生了“个”的概念，可见自然数的概念是自然在人脑中的直接反映。这似乎是“上帝创造了自然数”的由来。到了近代才有了关于自然数的相关理论。1889年，皮亚诺（G. Peano）追寻欧几里德的足迹，建立了自然数的公理系统。从而奏响了20世纪初所演绎的公理化热潮的序曲。

对“其余都是人的工作”，我的理解是：在实分析中，通过自然数集N，人为地构造有理数（比例数）集Q，无理数（非比例数）集RQ，进而完成了实数集R的构建。我们知道R是微积分学的基础。这一构建工作的确是神奇的，它使我们经验中，当然也包括超验部分，出现的每一种可能的量“值”，不管是原始、基本的“个”还是有理数的全体，及一时曾令人费解的，结构性计算的信息值，如几何学上的单位边长正方形的对角线长度√2=√1^2+1^2，圆周率π=L/D以及实际问题的方程解等无理数的全体，都统一在了R中，并揭示了数与形的本质联系。正是这种似乎带有很强的主观性的“人的工作”，从N到R，再到微积分，不但彰显了人的智慧，也使人对数量关系的认识，实现了本质上的飞跃。我们知道，通过微积分知识的积累和发展，才有了我们今天技术进步所带来的一切令上帝都会刮目相看的成就。

回顾历史，我们不能忽略这样的事实。关于数的基础理论的构建其实都是后来所做的“补救”工作。如果从出身于路桥工程师的法国数学家柯西（A. Cauchy）的工作算起，距今也只不过200多年。而此前，数学大厦的主体工程早已完工。最初的“连续统”概念则是出于某种直觉。欧几里德在总结前人工作时，把杂乱无章，各种零散的知识统一在了几条“公理”和“公设”之下，从而开创了“公理化”道路的先河。《原本》中的“公理”和“公设”都是有自然直观对象的。“点、线、面”概念的提取，符合我们人脑结构所决定的对自然的反映方式。演绎推理也符合我们的思维方式。虽然“连续统”不是客观实在，是一种虚构的“模型”，但我们的大脑正是通过抽象“模型”与客观世界建立联系的。

2、自然数1就是“个”的形式化符号，而且是不定义概念

张学文提议，在更高的层面上提炼“个”的概念，并枚举了大量事实来说明其普遍性。的确，“个”几乎囊括了我们经验的一切领域。这正是其外延宽泛的体现。这种一般化程度高的对象是高度抽象及可形式化的基础。

东、西方文化是有差异的，汉语在表达数量关系的词句中离不开量词。其中“个”是最通用的一种，其变体也不胜枚举，如只、头、件、次 … 等等。究其原因，或许汉语的文学基因较重，强调形象生动，如“一叶扁舟”的“叶”字也是一个量词。而在大多数西语中，通常都没有“个”这样的量词（罕见）。例如，英语中的量词不能作为单数可数名词的“单位”。一般情况下，直接在可数名词前加上某个自然数来表达多少。其实，在古汉语中也不乏抽掉“个”的词句，如“三人行…”，“一山一寺十僧人”。即使现代汉语中也有不少类似的例子，如“两点定一直线”、“二十五人分成五组”，如说成“两个点定一条直线”、“二十五个人分成五个组”似乎略显啰嗦。可见去掉“个”，在语义和逻辑上丝毫也没有折损及混乱之处。作为高度抽象的形式语言似乎更有必要动用奥卡姆剃刀，去掉修辞上的“累赘”，使语言简练和精准。

事实上，自然数本身就是对“个体”对象的高度抽象，自然数1就是“个”的形式化符号。如果不考虑修辞习惯，仅从逻辑的角度来分析，1可以替代所有类型的“个”。这一点并不难理解，实际上“个”（包括其变体）在我们的任何陈述中都隐含了1的概念，“个”就是“一个”。如果抽掉其中的个字，则有，“个”=“一”。还有一种理解，如代数字母前的系数为1时，约定省略不写。我们知道，1在皮亚诺系统中是不定义概念，为了中文的习惯，我们还是借用“个”这个概念来继续下面的讨论。

为了说明“个”是不定义概念，不妨先说一下集合。曾经有人对集合下过一个“严格”而具体的定义：“集合是具有某种共同属性事物的全体”。这对部分集合是对的，如男人集（全世界）、偶数集、素数集 … 等。显然，这种定义收窄了外延。所遗漏的集合比比皆是，例如学校的集合：{学生、教师 … 教学楼、大巴 …}。很明显，这种集合里各个元素的属性是不同的（虽然属性不同，但子集之间及与母集可以进行相应的，并、交、差、余，逻辑运算）。因为集合概念，类似于时间和空间，其本身就是一种无所不包的基础概念，所以找不到更原始的概念对它进行定义。然而，不能定义不等于不能诠释。康托就这样描述过集合，“一个集合是：把我们直观感觉或智力思维中，一些确定的、可分辨的对象放在一起，看作一个（统一）整体。”不妨给出其英文原句作为参考，“A set is a collection of definite, distinct objects of our intuition or of our intellect, to be conceived as a whole (unity).”

“个”的概念是否也存在类似的情形呢？为了定义“个”，张学文给出了“个”的“边界”与“内容”的概念，这种做法虽然增大了“个”的内涵，但却收窄了其外延。不过张学文也意识到某类“个”，如“点”的“边界”和“内容”很难界定。即使是张学文所划分的“实物个体”和“事件个体”，有的“边界”也是比较模糊的。如境内有两座山，通常我们是以高于一定海拔的峰的多少来计数的；历史上共发生了三次数学危机，则是以引起数学界很大震动（需要确切的判别标准）的事件次数来统计的。

有趣的是，在康托的陈述中似乎隐含了“个”的概念。我们能否借用其“原话”来诠释（不是定义）“个”的概念呢？“个”是：我们直观感觉或智力思维中，某一确定的、可分辨的对象。这样一来，似乎解决了张学文的困惑。我们没有必要关心，诸如山、事件及“点”的“边界”与“内容”等问题，就能确定“个”的概念。这里的山及事件是我们的直观感觉，而“点”可作为我们智力思维中确定的、可分辨的对象。

3、“个”与“集合”概念之间的关系

除了前面提及的皮亚诺（G. Peano）自然数的“序数理论”外，还有冯.诺依曼(V. Neumann)所创建的自然数的“基数理论”。两种理论对自然数的两种功能似乎各有偏重，澳籍华裔青年才俊数学家陶哲轩解释为，皮亚诺系统更像似把自然数看成序数（第1、第2、第3 … 用来确定对象的次序），而冯.诺依曼系统则偏重于把自然数看成是基数（1、2、3 … 用来清点对象个数的多少）。当然，两者之间的区别是很微妙的。

“基数理论”的雏形可追溯到原始人曾使用过的“一一对应”（双射）计数的古老法则。如果将狩猎结果{兔子、鹿、野猪}看成一个集合，再把耕种的收获{玉米、白菜、红薯}也看成一个集合，从中可以提炼出某种“公共”的东西，那就是数字3。据此，原始人胸中有数，分别得到了3种动物和农作物。所以有限集的基数本身就是自然数。空集{}的基数为0，其后继集{}+={}U{{}}={{}}的基数为1，由空集{}及其基数0开始，可构造集合序列及与其对应的自然数如下：

自然数                                                        基数（元素的个数）

0：={} ------------------------------------------------------- 0

1：={0}={}U{{}}={{}} ----------------------------------------- 1（个）

2：={0，1}={{}}U{{{}}}={{}，{{}}} ---------------------------- 1+1（个+个）

3：={0，1，2}={{}，{{}}}U{{{}，{{}}}}={{}，{{}}，{{}，{{}}}} -- 1+1+1（个+个+个）

……

虚线右边所添加的内容仅仅是为了便于理解，如自然数3所对应的基数是：1+1+1（个+个+个）。这种构造似乎给出了“个”与集合概念的本质关系。我们知道某一集合内的元素也是集合，如上例，当我们的思考焦点落在基数为3的集合时，其内的元素有{}、{{}}及{{}，{{}}}。显然，这3个元素本身又都分别是下一个层次的集合。显然，“整体性”是集合或元素概念的共同特征。当我们只关心某一集合的“整体性”时，或称其为另外某个集合的元素时，在我们的智力思维中自然就产生了“个”的概念。可见集合的概念蕴涵了“个”的概念。

有趣的是，在生活语言中，汉语的量词，当仅强调“整体性”时，则具有“个”的概念；当即强调“整体性”同时也兼顾“构成内容”时，则具有集合的概念，如所、组、瓶、套等。虽然西语中少见量词“个”，但具有集合概念的量词则比比皆是，如英语中的set（套、总成）、flock（群、伙）、pack（包）、glass（瓶）等。可见，集合的概念与“个”的概念一样，并不是我们的刻意发明，而是我们与生俱来的，看和思考问题的一种（罗辑）方式。类似于语法和语句的关系，有了集合论这种形式系统以后，更加明确和规范了我们的思维。由于集合不但是一种原始古老的基础概念，而且蕴涵了“个”的概念，因此人们把集合论作为数学的基础是一种自然的选择。如，严格的皮亚诺自然数公理的叙述可以由集合公理给出。

张学文关于“个”的系列文章的链接

[1]张学文：《横贯多领域的一个概念和一个单位》，科学网

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2024&do=blog&id=6298

[2]张学文：《个体通论》（1-4章）

http://zxw.idm.cn/