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梅利尼科夫方法(中条)

已有 1834 次阅读 2023-8-7 22:54 |个人分类:科研科普|系统分类:科普集锦

梅利尼科夫方法是判断受小周期扰动的平面可积系统出现横截同宿点的解析方法,其适用条件是未受扰动的平面可积系统存在双曲鞍点和联接鞍点的同宿轨道或异宿环。对于受扰动系统,先通过庞加莱映射将非自治平面连续系统转化为平面离散系统。在小扰动的情形,原系统的双曲鞍点小邻域内有相应平面映射的双曲鞍点,其稳定流形与不稳定流形之间的距离经过一阶近似简化后,可写作一种便于计算的形式,即梅利尼科夫函数。如果该函数有简单零点,稳定流形和不稳定流形必横截相交而形成同宿点。用稳定流形和不稳定流形之间的“分裂距离”判断相交的思想出自1890H. 庞加莱的工作,但他仅讨论了受扰动哈密顿系统的情形。1963年,V.K. 梅利尼科夫 (Melnikov) 得到了一般平面系统的结果。从1979年起, P.J.霍姆斯 (Holmes) 等重新发现该方法并应用于混沌的解析预测,使得该方法受到较为广泛的重视,并有了各种改进和推广。

 

上述结果可以用数学公式具体表达。研究平面非自治系统

 梅利尼科夫方法(中条)1.jpg

 其中e为小参数,扰动部分g为时间t的周期函数。设e=0时的未扰系统梅利尼科夫方法(中条)2.jpg有一个双曲鞍点p,并可积分出p的稳定流形和不稳定流形重合构成的同宿轨道xh(t-t),使得

 梅利尼科夫方法(中条)3.jpg

 起始时刻t可为任意实数。当e10但充分小时,系统存在唯一的双曲周期轨道。此时,系统的庞加莱映射存在唯一双曲鞍点,而该鞍点的稳定流形和不稳定流形不再重合。下面对于矢量a=(a1,a2)Tb=(b1,b2)T,算子ù的定义为 aùb= a1 b2- a2 b1可以证明,不计e2及更高阶的项,当且仅当梅利尼科夫函数

 梅利尼科夫方法(中条)4.jpg

有简单零点时,稳定流形与不稳定流形不相切相交形成横截同宿点;当M(t)没有零点时,稳定流形与不稳定流形不相交;当M(t)仅有非简单零点时,即M(t)的零点与dM(t)/dt的零点相同,稳定流形与不稳定流形相切。

 

梅利尼科夫方法给出了存在横截同宿点的条件,也可以说是数学意义上混沌的判据。在上世纪80年代混沌研究热潮兴起之后,人们认为该方法也可以给出物理意义上混沌的条件,或者至少是必要条件,但往往理论结果与利用实验或数值仿真得到的结果差别较大。其原因在于梅利尼科夫方法预测的仅是具有混沌性态的不变集,不一定具有吸引性;而从实验或数值计算中观测到的混沌必须是具有吸引性的不变集,即混沌吸引子,并且要求有足够大的吸引盆。因此,对于实际系统,即使可以判定具有拓扑意义上的混沌不变集,仍没有充分理由断定该不变集就是实际观测到的混沌。这是梅利尼科夫方法进行混沌解析预测的局限所在。尽管存在局限性,横截同宿点的出现仍为预测混沌提供了重要的线索。双曲鞍点的稳定流形是不同吸引子的吸引盆边界,它与不稳定流形横截相交后,这种盆边界变得极为复杂而成为分形盆边界。因此,横截同宿点出现意味着周期运动安全盆的侵蚀,是混沌出现的一种先兆。

 

梅利尼科夫方法已有多方面的推广和深化。梅利尼科夫方法最初是对受周期扰动的平面可积系统提出的。后来相继推广到受准周期扰动的有限维哈密顿可积系统,也推广到几类受周期扰动的无穷维哈密顿可积系统。这种推广的基础是存在同宿结构的高维映射具有类似于高维斯梅尔马蹄映射的混沌不变集。梅利尼科夫方法本质上是种一阶近似的方法。因此若平面可积系统受不同阶小量的扰动,原来的方法便无法处理。为解决这种问题,发展了高阶梅利尼科夫方法,其基本思想是考虑小量e的高阶项,然后建立高阶梅利尼科夫函数。梅利尼科夫方法是将连续系统的问题通过庞加莱映射转化为离散动态系统。因此,梅利尼科夫方法也可以用于建立非线性映射的稳定流形与不稳定流形横截相交条件。除了用于建立各类系统横截同宿点的条件之外,梅利尼科夫方法的基本思想还可以用于讨论受周期扰动的可积系统的次谐共振解和超谐共振解的存在性。

 

扩展阅读

 

V.K. Melnikov. On the stability of the cernter for time periodic perturbations. Trans. Moscow Math. Soc., 1963, 12: 1-57.

 

P.J. Holmes. A nonlinear oscillator with a strange attractor. Phil. Trans. Roy. Soc. A, 1979 292: 419-448

 

 

 

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