独树一帜的统计物理理论——子动力学

毕桥¹，方锦清²，刘杰¹

^1，武汉理工大学理学院，武汉430070

²中国原子能科学研究院，北京100000

引言

　J.W. 吉布斯建立的平衡态统计物理系综理论是统计物理发展史上的重要里程碑。对于能量和粒子数固定的孤立系统，采用微正则系综；对于可以和大热源交换能量但粒子数固定的系统，采用正则系综；对于可以和大热源交换能量和粒子的系统，采用巨正则系综。平衡态系综理论取得了巨大的成功，成为现代物理的重要基础之一。

 非平衡态分布函数及其演化方程的建立，不仅成为输运过程微观统计理论的基础，而且由它定义的H函数及其遵循的 H 定理对理解宏观过程的不可逆性及趋于平衡的过程起过重要作用。熵增加原理的微观统计解释表明统计理论已从平衡态向非平衡态发展，已经从对某些宏观概念和规律的微观统计解释发展到对热力学第二定律这样的普遍规律作出微观统计解释，并对离平衡不太远，维持温度差、浓度差、电势差等而经历各种输运过程系统的线性输运系数、涨落等平衡态附近的非平衡过程现象的研究中，取得了许多有意义的结果。但是, 迄今非平衡态统计物理还远未达到成为一门成熟的学科, 还在继续发展和完善之中。

20世纪60年代以后国际上出现了著名的新三论：耗散结构理论，协同学和突变论。1969年，比利时普利高津为首的布鲁塞尔学派，研究远离平衡状态开放系统时提出非平衡热力学和统计物理学中的耗散结构理论，用来研究远离平衡态的开放系统从无序到有序的演化规律。1973年以后，原西德理论物理学家赫尔曼 . 哈肯发现不同系统之间共同存在着同一系统的要素之间的协同现象，创立了协同论。1972年法国数学家勒内·托姆勒内·托姆提出突变论:《结构稳定性和形态发生学》。在自然界和人类社会活动中，除了渐变的和连续光滑的变化现象外，还存在着大量的突变和跃迁现象，如地震、海啸、战争、经济危机等。突变论可用来认识和预测复杂系统/复杂网络的突发行为。

之后，非线性科学及其混沌理论、复杂性科学的兴起，非常强劲地影响着当时的科学研究和发展，当然也为网络科学提供了极其重要的理论基础。

上述理论对非平衡统计物理的发展起到了很大的推动作用，这些理论方法与众多科学达到了广泛的交叉融合。值得提及的是, 远离平衡的突变，有序结构的出现的耗散结构理论。它是由比利时布鲁塞尔学派著名的统计物理学家普利高津建立的，他提出了“非平衡是有序之源”著名论断，用来研究远离平衡态的开放系统从无序到有序的演化规律。

      耗散结构是普利高津于1969年在理论物理和生物学国际会议上提出的一个概念，指处在远离平衡态的复杂系统与外界进行能量和或物质的交换下，通过自组织形成的一种新的有序结构。这是普利高津学派20多年从事非平衡热力学和非平衡统计物理学研究的成果。1971年普利高津等人写成著作《结构、稳定和涨落的热力学理论》，比较详细地阐明了耗散结构的热力学理论，并将它应用到流体力学。化学和生物学等方面，引起了人们的重视。1971-1977年耗散结构理论的研究有了进一步的发展。这包括用非线性数学对分岔的讨论，从随机过程的角度说明涨落和耗散结构的联系，以及耗散结构在化学和生物学等方面的应用。1977年普利高津等人所著《非平衡系统中的自组织》一书就是这些成果的总结。

    然而1977年普利高津由于耗散结构理论的贡献而获得诺贝尔化学奖，在众多热誉的时候，普利高津却陷入沉思：基本的动力学方程，牛顿，薛定谔，爱因斯坦方程，包括被称为统计物理的基本方程，Liouville (Schrodinger) 方程，都是时间可逆的，正时间和负时间带入所得的结果是一样的，表现出它的演化算子是unitary ；  另一方面，热力学第二定律指出，对于一个孤立系统，其内部熵绝不会减少，似乎定义了一个时间方向之矢，即 这一时间演化悖论告诉我们仅仅靠现有的动力学方程不能解释万事万物的演化，这就是“不可逆性佯缪”。因而在建立非平衡态统计物理理论时，首先面临的难题就是不可逆性佯缪，它表现在微观动力学是可逆的而宏观统计热力学过程却是不可逆的。这个矛盾自Boltzmann以来一直困扰着很多物理学家。最关键的问题之一就是Liouville方程能不能描述非平衡不可逆过程？如果不能，那么如何推广它成为描述平衡态和非平衡态的统一基本方程？

   也有一种流传的这样观点，认为“量子力学是描述单个粒子运动的方程，同热现象无关，所以不存在量子力学同热力学第二定律的矛盾”。事实上，量子力学不仅仅是描述单个粒子运动的方程，也可以利用波函数张量积的形式来描述量子多粒子体系；量子Liouville方程也是对密度算子求导并利用Schrödinger方程而得出的，从而与热现象发生关系。所以基本问题还是在量子力学的Schrödinger方程上。

于是人们自然要探索不可逆性佯谬的起源究竟是什么？又如何把已知平衡态统计理论推广到（远离平衡`）非平衡态领域？150多年以来，许多研究围绕这些问题中的部分进行了新探索，力图发现非平衡统计物理的基本方程和理论框架。前辈们已经做了许多优秀的工作，这里略举三例：加拿大的Chan Eu 就提出了广义 Boltzmann动理方程并由此建立了一套非平衡系综理论；德国的Zubarev也提出了推广的Liouville 方程并构造了相应的非平衡系综理论；我国的邢修三也提出了刘维扩散方程作为非平衡统计力学的基本方程并预言了熵扩散的存在。

但是要获得普适的、大家都接受的平衡态非平衡态统计物理基本方程，非常困难。Liouville方程后面新项的添加，要同广泛的经典和量子的复杂系统相协调，好像是一个天方夜谭的要求。

      历史上以普利高津为首的布鲁塞尔学派早就洞察不可逆性佯谬的矛盾，一直力图延拓Liouville方程来建立非平衡态统计物理理论。早在1970年左右普利高津与合作者C. 乔治，就建立了子动力学的初步框架。1975年布鲁塞尔学派的代表人物之一Balescu发表了总结性的专著对布鲁塞尔学派之前的工作作了总结，在其著作非平衡统计部分中的主要理论成果就是表述了子动力学。之后经80年代，90年代一批数学物理学家在国际Solvay研究院的大力研究投入，特别是在普利高津领导下的Brussels-Austin小组中的数学物理学家 I. Antoniou, T. Petrosky和S. Tasaki对子动力学物理表述形式和数学空间基础进行了修正和发展，试图发展和完善独树一帜的子动力学理论，包括扩张函数空间的理论，力图从量子统计的基础上来协调热力学第二定律同量子力学的矛盾。从1970年到2003年布鲁塞尔学派在完善和发展子动力学理论方面做了很多工作，发表了不少于800篇文章涉及到利用子动力学理论求解、分析Liouville方程复本征谱的表达以及相联的Hilbert或Liouville空间扩张的理论。子动力学是布鲁塞尔学派90年代后期的主要理论武器。

子动力学作为一种广义的统计物理投影算子理论在过去的十几年中取得了重要进展。在混沌映射的演化算子谱分析方面，在量子Friedrichs 系统方面，在大规模Poincare系统方面、Liouville算子复本征谱的分析方面都取得了成功，揭示了系统不可逆和复杂性的特性。从1997至2012，多种子动力学基本算子方程已经得到发展，在子动力学基本方程上引进了投影格林函数，考虑了非微挠求解方法。子动力学和所发展的理论已成功地应用于量子信息抗消相干、纳米系统有关传输特性、量子网络或纳米网络的构造和特性分析上，子动力学的发展正方兴未艾。