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梅森素数与周氏猜测
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文/张四保，陈晓明
众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7、11等等。2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2P-1”（其中指数P也是素数）的形式。这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家（包括数学大师费马、笛卡儿、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等）和无数的业余数学爱好者对它进行探究[1]。
17世纪法国数学家马林·梅森曾对“2P-1”型素数作过较为系统而深入的探究，并作出著名的断言（现称“梅森猜想”）。由于他是当时欧洲科学界的中心人物和法兰西科学院的奠基人，数学界就把 2P-1型的数称为“梅森数”（Mersenne number），并以MP记之。如果MP为素数，则称之为“梅森素数”（Mersenne prime）。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数；另外人们已确定前41个梅森素数的位次，而后6个梅森素数的位次尚未确定。这种素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。由于梅森素数珍奇而迷人，它被人们誉为“数论中的钻石”。
梅森素数貌似简单，但研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰辛的计算。1876年法国数学家爱德华·卢卡斯提出了一个用来判别MP素性的重要定理——卢卡斯定理。后来，这一定理被美国数学家德里克·雷默于1930年进行了简化，给出一个针对MP的新的素性检测方法，即卢卡斯-雷默方法：对于所有大于1的奇数P， MP是素数，当且仅当MP整除S（P-1），其中S（n）由S（n+1）=S（n）2-2，S（1）=4递归定义。这一检测法的优点是计算可以依次进行。
当P值很大时，用卢卡斯-雷默方法判别MP的素性就需要巨大的计算量。因此，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼于1996年编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用，这就是著名的“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。该项目采取网格计算的方式，利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年，美国数学家、程序设计师斯科特·库尔沃斯基建立了“素数网”（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目了。伴随数学理论的改善，为了寻找梅森素数而使用的计算机也越来越强大，包括了著名的IBM360型计算机和超级计算机Cray系列。目前，世界上有180多个国家和地区超过27万人参加了这一项目，并动用了68万多台计算机联网来寻找新的梅森素数。
2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森·史密斯发现迄今已知的最大梅森素数243112609-1，该数也是目前已知的最大素数。这个素数有12978189位；如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可超过50公里！该校华裔数学家、菲尔茨奖得主陶哲轩对这一成就予以高度评价，称赞史密斯创造了大素数发现史上的奇迹；世界各大主流媒体纷纷予以报道并积极评价，认为这是一项了不起的成就。另外，这项成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。
人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它们在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。英国数学家香克斯、法国数学家托洛塔、德国数学家伯利哈特、印度数学家拉曼纽杨和美国数学家吉里斯等曾分别提出过猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以渐近表达式提出，而且与实际情况的接近程度均难如人意。
中国数学家、语言学家周海中是这方面研究的领先者——他经过多年潜心研究，运用联系观察法和不完全归纳法于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式：当2■<P<2■（n=0，1，2，3，…）时，梅森素数的个数为2n+1-1。他还据此作出了推论：当P<2■时梅森素数的个数为2n+2-n-2[2]。其研究成果为人们寻找这一素数提供了方便，被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。中国数学家、计算机科学家张景中也对这一成果给予好评，认为周氏猜测颇具数学美[3]。
周氏猜测已成为著名的数学难题，至今尚未被证明或证否，目前人们需要做的就是破解这一难题。
梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值，它是发现已知最大素数的最有效途径，其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、网格技术、程序设计技术的发展以及快速傅里叶变换的应用。同时由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国顶尖科学家马科斯·索托伊甚至认为梅森素数的研究进展标志着科学发展的里程碑。
参考文献
[1] 张四保, 张家辉. 梅森素数与网格技术[J]. 科学, 2012, 64(3): 52-55.
[2] 周海中. 梅森素数的分布规律[J]. 中山大学学报, 1992, 31(4): 121-122.
[3] 张景中. “周氏猜测”揭示数学之美[C]. 30年科技成就100例. 武汉: 湖北长江出版集团, 2008, 8-9.
（责任编辑 王芷）
17世纪法国数学家马林·梅森曾对“2P-1”型素数作过较为系统而深入的探究，并作出著名的断言（现称“梅森猜想”）。由于他是当时欧洲科学界的中心人物和法兰西科学院的奠基人，数学界就把 2P-1型的数称为“梅森数”（Mersenne number），并以MP记之。如果MP为素数，则称之为“梅森素数”（Mersenne prime）。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数；另外人们已确定前41个梅森素数的位次，而后6个梅森素数的位次尚未确定。这种素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。由于梅森素数珍奇而迷人，它被人们誉为“数论中的钻石”。
梅森素数貌似简单，但研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰辛的计算。1876年法国数学家爱德华·卢卡斯提出了一个用来判别MP素性的重要定理——卢卡斯定理。后来，这一定理被美国数学家德里克·雷默于1930年进行了简化，给出一个针对MP的新的素性检测方法，即卢卡斯-雷默方法：对于所有大于1的奇数P， MP是素数，当且仅当MP整除S（P-1），其中S（n）由S（n+1）=S（n）2-2，S（1）=4递归定义。这一检测法的优点是计算可以依次进行。
当P值很大时，用卢卡斯-雷默方法判别MP的素性就需要巨大的计算量。因此，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼于1996年编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用，这就是著名的“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。该项目采取网格计算的方式，利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年，美国数学家、程序设计师斯科特·库尔沃斯基建立了“素数网”（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目了。伴随数学理论的改善，为了寻找梅森素数而使用的计算机也越来越强大，包括了著名的IBM360型计算机和超级计算机Cray系列。目前，世界上有180多个国家和地区超过27万人参加了这一项目，并动用了68万多台计算机联网来寻找新的梅森素数。
2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森·史密斯发现迄今已知的最大梅森素数243112609-1，该数也是目前已知的最大素数。这个素数有12978189位；如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可超过50公里！该校华裔数学家、菲尔茨奖得主陶哲轩对这一成就予以高度评价，称赞史密斯创造了大素数发现史上的奇迹；世界各大主流媒体纷纷予以报道并积极评价，认为这是一项了不起的成就。另外，这项成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。
人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它们在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。英国数学家香克斯、法国数学家托洛塔、德国数学家伯利哈特、印度数学家拉曼纽杨和美国数学家吉里斯等曾分别提出过猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以渐近表达式提出，而且与实际情况的接近程度均难如人意。
中国数学家、语言学家周海中是这方面研究的领先者——他经过多年潜心研究，运用联系观察法和不完全归纳法于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式：当2■<P<2■（n=0，1，2，3，…）时，梅森素数的个数为2n+1-1。他还据此作出了推论：当P<2■时梅森素数的个数为2n+2-n-2[2]。其研究成果为人们寻找这一素数提供了方便，被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。中国数学家、计算机科学家张景中也对这一成果给予好评，认为周氏猜测颇具数学美[3]。
周氏猜测已成为著名的数学难题，至今尚未被证明或证否，目前人们需要做的就是破解这一难题。
梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值，它是发现已知最大素数的最有效途径，其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、网格技术、程序设计技术的发展以及快速傅里叶变换的应用。同时由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国顶尖科学家马科斯·索托伊甚至认为梅森素数的研究进展标志着科学发展的里程碑。
参考文献
[1] 张四保, 张家辉. 梅森素数与网格技术[J]. 科学, 2012, 64(3): 52-55.
[2] 周海中. 梅森素数的分布规律[J]. 中山大学学报, 1992, 31(4): 121-122.
[3] 张景中. “周氏猜测”揭示数学之美[C]. 30年科技成就100例. 武汉: 湖北长江出版集团, 2008, 8-9.
（责任编辑 王芷）
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