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机器如何表示正负数和进行运算
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姜咏江
用机器来表示数既没有小数点，也没有正负号。由于机器位数的限制，那么直接表达数值的范围总是有限的。例如8位的二进制数只能表示0 ~ 255，或者-128~127。如果有减法运算存在，就只能表示-128 ~ 127，而不能作为无符号数处理。
试想一个10位的算盘，可以用10个位置表示10位的十进制数，无论将小数点的位置如何认定，就只能表示出1010个不同的数，不能再多了。如果我们将最高位认定为正负号，那么这一位的算盘珠只要一个就可以了，原因是正负号不能够参加加减运算。同样道理，有限位数的二进制数的最高位也不能认为是“符号位”，将符号混入加减数值运算的提法真是混沌，更叫人不能容忍的是这居然能够得到计算机界的承认！
用数码表示固定位数的数叫“限位数”。限位数直观来看就是一个无符号非负整数。要保证非负整数的特征，限位数只能做加法运算，而且运算的结果常常会超出范围。
算术运算是最基本的数值运算，其中乘除法运算可以用多次的加法运算和多次的减法运算代替。尽管如此，要进行数值计算，无论如何也离不开减法，自然就离不开负数如何用机器表示问题。
机器表示负数可不可以像手写那样给前面添加一个“-”号？强行加上去也可以，但在运算的时候，这一个“符号位”是不能够直接同数码一样进行运算的。一种巧妙的方法是利用限位数的个数有限性，按照限位数的大小对称地分成两部分（对称规则是两限位数的和是总个数），让表面上小的一部分限位数代表正数，而让较大的另一部分代表负数。相互对称的两个限位数叫“对码”。让较大部分的限位数代表其对码的相反数，这种用对码表示正负数的规定叫“对称制”。
在对称制之下，限位数表示的数值就不用“＋－”来表示正负了。还可以通过限位数的加法运算完成它们所代表的数值加减运算。例如，3位的限位数共有1000个， 032的对码是1000－032＝968，所以计算045－032时，用968表示－032就将减法运算变成了加法运算，因而045－032 ＝ 045＋968，由于3位表示的限制，最高进位丢失，故而限位数相加的结果是013，表示的值正是我们要计算的结果13。
这种求值运算的过程在机器里只能见到045、968和013，而没有“＋－”符号，但一眼就可以知道限位数代表的数值是多少，方法是和对称点的数比较。因为3位十进制限位数的对称点是500，那么显然968是负数了。968的对码是032，根据对称制的规定，968代表的数值是－032。
用限位数加法运算替代数值的加减法运算方便了用机器进行，因为不论什么样的机器表达数的位数都是固定的，这是限位数运算的数值范围有限制的原因。
如何让机器计算能够突破数值范围的限制？下次再谈。
2010-6-24
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