姜咏江

 

我在“机器如何表示正负数和进行运算”中说过了：“机器是用限位数的加法来完成一定范围内的正负数加减运算的”。用机器设备在某一位置上能够方便地表达出N种状态，那么将这种机器设备n个排列起来，就可以制成n位能表示N进制无符号数的设备。例如只有3位的算盘，每一个位置都可以表示0~9这十个数码，合起来就能够表示000~999这1000个数，无论你怎样拨动算盘珠，也不会再出现新的数。用“对称制”，仍然是这1000个数，但可以表示的是-500~+499的正负数，这种值是我们“读”出来的，从机器表达形式来看与表示000~999没有区别。

 

限位数的总数有限的特性，使我们能够用它们的加法运算达到数值加减的目的，这是一般位数不受限制的表数方法所不能达到的。

 

限位数的加法运算的结果可能超出表示数值的范围，这叫溢出。作为对称制并不能根据限位数加法的最高位有进位来判断超出范围，而是根据“异号两数相加不溢出，同号两数相加结果变号才溢出”来判断的。例如 865+600的结果是465（最高进位1丢掉了），因为“对称制中500以上的限位数表示的是负数，否则是正数”，知两个表示负数的限位数相加的结果得到的限位数表示正数，显然错误。如果将865，600都保值扩充成4位，那么结果表示的值就不会溢出了。

 

限位数在对称制下保持数值扩充的方法是：正数高位添“0”，负值高位添最大数码。将865和600保值扩充成4位数，则865＝9865＝－135，600＝9600＝－400，那么865＋600＝9865＋9600，这两个限位数相加的结果为9465（最高进位1丢掉了）是一个负数，它表示的值是－535，可见值的运算结果正确。

 

不细心研究限位数理论的人会感到奇妙，也可能不很理解。然而这是机器数值计算的真正方法，无论采用其他什么样的方式，都必将回归到限位数上来。

 

2010-6-28