实数轴的构造

 摘录：本文证明了，在实数轴上，有理数是一个一个单独地存在的，而无理数是成片地存在的，故戴德金试图用单独存在的无理数来对有理数集进行分割是错的。同时再次证明了实数是可列的。

    在实数轴上，若任何两个数a和b的距离|a-b|=0，则a和b实际上是同一个数。换言之，由于实数轴上任何两个数都是互不相同的，故已证得：

    命题1 实数轴上任何两个数之间的距离都不等于零。

    数的距离有大有小，其中，

    间距  最小的距离称为间距,本文用d表示。

    例如，自然数的间距为1。

    相邻和邻距：若两个数之间插不进其它数，则称这两个数相邻，这时的间距称为邻距，本文用d_j表示。

    要注意邻距与间距的联系和区别，邻距是插不进其它数的间距。

    命题2  若实数轴上两个数相邻，则相邻数之间的距离为不等于零的无限小。

    证明 由命题1可知，任意两个数之间的距离不等于零，故若实数轴上两个数相邻，相邻数之间的距离不等于0。另一方面，如果相邻数之间的距离是有限小的话，两个数之间就可以插入其他数，结果原来相邻的数就不相邻了，故相邻的两个数之间的距离也不等于有限小。所以,若实数轴上两个数相邻，则相邻数之间的距离只能为不等于零无限小。 证毕

   由相邻和邻距的定义可见，命题2所说的无限小必须满足无法再插入其他数。这是否可能？即小到什么程度才会无法再插入其他数？

   数轴上的数只有两种类型，一种是有理数（含整数），一种是无理数。其中有理数可表示为两个整数之比（整数可视作分母等于1的整数之比）或无限循环小数。

    对于任一无限循环小数，由于小数的数值是有规律的，不需要无限次的计算即可知道其各位小数的数值（例如，0.333...），故虽然无限永远不能达到，但我们却知道“如果”达到无限时的各位小数的数值，这样，就可以把无限循环小数想象为一个已经具有无限位小数的小数，称之为实无限小数。

    由于无理数的每一位都需要通过计算获得，而我们永远不可能计算无数次，所以，对于无理数，我们实际上只能得到小数位数虽能趋于无限但永远达不到无限的小数，称之为潜无限小数。

    有限小数，实无限小数，潜无限小数，三者的定义既有联系又互不相同。例如，其中潜无限小数是位数趋于无限的有限小数，且在数轴上，有限小数或潜无限小数的邻距都是10^-n，而且，相邻的数之间确实插不进小数位不大于n的其它数。两者的区别仅在于n是常数还是趋于无限。

    间距d有3种：1）无理数之间；2）有理数之间；3）无理数与有理数之间。

    1）无理数之间，d=10^-n(n趋于但达不到无限，即d趋于但达不到0),

    2）有理数之间，d≈10^-m,m为两个有理数的非循环部分的小数位数（若不相等，取较多的位数），例如，0.203333...与0.192222...间距约为0.01，0.20000...与0.20010000...间距为0.0001。

    3）无理数与有理数之间，d≈10^-n(n趋于无限，近似地忽略小数位数大于n的部分)。

    以上3个间距是本文所有后续结论的的关键。

    无论是m还是n，原则上都可以趋于无限，因此三种间距都是无限小量，故上述1）2）分别对应于无理数和有理数的稠密性。但对于任何指定的m，n仍然可以趋于无限，所以无理数的间距10^-n相对于有理数的间距10^-m是高阶无穷小。

    这样，对任意指定的m和n（n远远大于m），任意两个有理数的间距（d≈10^-m）都可以插入无限个间距为d=10^-n(n趋于但达不到无限)的无理数,即有理数不相邻，而两个无理数或无理数与有理数之间却插不进其它数间距更小的数，即能够相邻。

    也就是说，有理数是一个一个单独地存在的，而无理数是成片地存在的，故戴德金试图用单独存在的无理数来对有理数集进行分割是错的。

    给出了邻距的d_j=10^-n(n趋于无限)后，数轴的构造就一目了然了，例如，大于1的相邻数为1+d_j，相邻的是成片地连在一起的无理数，故大于1+d_j的数1+2d_j也是无理数....。

    上述结论虽然要求指定的n，但n可以指定到任意大，因此仍然具有普遍意义。

    一些讨论

    由于无理数的小数位数n永远达不到无限，所以每个数都是绝对精确的、完全理想化的实数轴是得不到的。我们这里实际上只考虑符合实际情况的数轴。这时，不同的n值就相对于不同的计算精度。对于一个具体问题来说，某一种精度就可以了，这时候就有在该精度下的相邻数。但是如果要求更高的精度，也完全没有问题，但这时候又有在那个精度下的相邻数。由于精度可以任意高，邻距可以任意小。所以这里讨论的实数轴可以无限地接近于理想化的实数轴，而且可以避免因为与实际情况不符，理想化本身可能带来的矛盾。例如，在理想化的实数轴中，如果把邻距设为零，就与命题1矛盾，而且会出现以下矛盾：由于所有数的邻距都为零，故所有数都相等，实数轴就会变成同一个数即一个点。如果把邻距设为无限小，则又无法确定这个无限小究竟等于多少。

    在实际问题中，通常在有限小的情况下就会发生插不进其它数的情况，例如，对人民币，1元和1.01元之间就插不进其他有意义的数。在数学中，当然要能够保证有任意高的精度，所以必须引入无限小即任意小的概念。

    其实，不同的研究问题需要不同的邻距。比如说财务计算中，人民币到0.01元就可以了。表示能量的最小变化是普朗克常数。如果研究的是基本粒子，原子尺度也显得太大了。无穷小的邻距实际上提供了任意的精度。至于究竟用什么精度要根据实际问题决定。

    数之间存在不等于零的邻距意味着数是离散的，这对于以连续为基础的数学似乎是一个挑战。这个问题在实际上并不存在：在任何实际的计算中，过高的精度非但没有必要，而且会大大降低计算的速度，而可以任意大小的邻距足以保证得到任意的精度。

    事实上，计算机根本无法处理连续的数据。

      另外，四舍五入等近似方法把区间当做一个数来看，例如，把区间[0.5，1.5）当作1，把区间[1.5，2.5）当作2，即用互相之间无空隙的区间代表一定精度的数，这样：数虽然是离散的，但因无空隙，是否也看作是连续的？当然，这要看如何定义连续了。

     实数的可列性也不证自明：单位长度上实数的个数为 10ⁿ(n趋于无限)个，如果一定要证明，也可以用数学归纳法：

    小数位数n=1时，单位长度上实数的个数为10¹个，可数，n=k时，单位长度上实数的个数为10^k 个，假定其可数，则n=k+1时，单位长度上实数的个数为=10^k+1=10*10^k，仍然可数，故对任意大的n，实数可数。

    有了邻距的概念，有的数学分支可以建筑在无比简单的基础上，例如，测度论就可以大大简化。