关于对角线讨论的阶段性总结

李鸿仪（leehyb@139.com）

我的文章《对角线证明可以休亦》啄木乌zmn-403

（http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1264991）

引起了众多网民的反响，薛问天，数森，林益，反对伊战，新华，李振华等人都参与了讨论，有的人还发表了多篇文章。其中林益先生等的文章和我观点较为接近。林益先生还纠正了我的一个笔误。

作为对这些讨论的回应，我最近发表在知乎上的文章：

《我与薛问天、数森先生等关于对角线、基数、无限等数学问题的讨论》

https://zhuanlan.zhihu.com/p/354660053

已经修改补充到两万多字了。

真理越辩越明。这些讨论使我越来越明白康托等的错误究竟在哪里，也使我的表述越来越清楚，同时还大大增强了最终彻底纠正康托错误的信心。

由于文章较长，我这里先简单介绍其中的第一部分，作为我在这一讨论阶段中的自我总结。

为便于阅读，仍然先简述康托的证明。

1康托的对角线证明

证明十分简单（反证法）：

         假定实数可数，即实数可与自然数一一对应，则可将区间[0，1）内的实数用自然数编号并一一列出：

         a₁，a₂ ，a₃，…                                                     （1）

        现将上述实数写成

       a₁=0.a₁₁a₁₂a₁₃...

       a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃...

       a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃...

       ……

      其中, a_ij表示实数a_i的第j位小数，

设

      b=b₁₁b₂₂b₃₃….                                                            （2）

 且

     b_ii ≠a_ii,（i=1,2,3,…）                                                  （3）

    由于式(3)保证了对于"任何"一个实数 a_i，b中都有一位小数b_ii，与该实数的第i位小数a_ii,不同，这就巧妙地保证了对于 "任何"一个实数a_i，都有

    a_i≠ b, （i=1,2,3,…）         （4）

成立，即b 是一个不在（1）内的实数，与“根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数一一列出”矛盾，所以，康托认为他证明了实数不可数。

2对角线证明存在的问题

公式（3）左端的下标i 可以表示实数的数目，而右端的下标i 则可以表示b 的小数位数。由于式（3）左右两端的下标相同，这就意味着符合（3）的实数数目与b 的小数位数必须是精确相等的。如果思维足够严格，就不能不考察，如果它们不相等，对角线证明是否还成立？

有的人可能会认为，既然（1）可数，即（3）左右两端对应的两个集合的均可数，其基数相同，它们的元素数目自然相同了。

然而，两个集合的基数相同并不能保证这两个集合一定具有精确相同的元素数目（详见原文的定理4）。例如，任何集合的真子集都是由该集合的部分元素所组成的，因此，任何一个具有正常思维能力的人都不会反对：任何集合的元素都是多于其真子集的，但两者却具有相同的基数。

定理1 无法保证b不 在（1）之内，所以对角线没有证明实数不可数。

证明 对角证明的可数假定只能保证（3）两端的基数相同，却不能保证（3）两端元素数目精确相等，故存在实数数目大于b的小数位数的可能性，即存在着一部分实数无法出现在（3）的左端的可能性。对这部分实数，无法保证以（3）为前提的（4）成立，即无法保证b不在（1）之内，所以对角线没有证明实数不可数。证毕

虽然以上证明用到的知识非常少，而且也没有用到任何有争议的概念（比如说潜无限和实无限），推导也简单且严格，但由于对角线证明在主流数学界的“威望”很高，人们不太相信可以质疑它，所以还是存在试图反对质疑的意见，以下仅摘录其中一部分。

一个反对意见是将证明过程比作下棋，一方先把实数一一列出且不许说＂我还没列完呢＂，然后另一方再来构造对角线，这样当然可以将已经列完的实数用对角线“一网打尽”了。康托可能就是这么认为的，他实际上也是这么做的。但问题在于，既然不许说，“我还没有列完呢”，那就意味着反对者认为可以且已经将实数全部列完了。然而，可以用对角线法严格地证明实数是列不完的：假定可以列完，则可用对角线形成一个新数，形成矛盾。这其实也是所谓对角线真正可以证明的东西。因此，上述反对意见不成立。

另一个比较多的反对意见是：对角线可以无限延长使得b的位数n不少于实数的数目,这样就可保证b 不在（1）内了。这种说法其实和第一种说法具有共同点：当实数可以全部列完时，对角线当然一定能延长到“一网打尽”所有实数的程度。然而，如果对角线可以延长，实数也可以增加，那就不难证明，对角线延长的速度是永远赶不上实数增加的速度的：

假定b延长到n（n＝1，2，3…）位小数，由于任意实数总可以写成无限小数的形式（有限小数可以在末尾加上无限个零变成无限小数），因此，任意实数的小数位数总是不小于n的，即使只考虑实数的n位有限小数，十进制n位有限小数有10＾n个，无限小数的数目当然通常更多。因此，令M＝10＾n，则对任意大的n（n＝1，2，3…），总有：

（1）的实数数目＞＝M＞n （5）

这里，n是b的小数位数，是自然数，而M＝10＾n也是自然数，故对n（n＝6, 7, 8, …）（1）的下标可以表示为：

1，2，3, ...,n-1, n, n+1,...,M-1,M,M+1,......

仍然都是自然数，即(1)的可数假定仍然成立，但（3）左端的元素数目显然远远大于右端的数目。也就是说，绝大多数实数都不会出现在（3）的左端，对角线证明还怎么成立？

如果说以上两个反对意见至少还“似是而非”，其他一些说法就“似非而非”，完全没有道理了。其中有不少还是基于逻辑循环的。有兴趣的读者也可参阅我的知乎原文。

我的另一个贡献是指出了对角线证明中另外一个更明显的逻辑漏洞：对角线证明的全部工作，不过是企图构造一个不在（1）内的b。如果认为该企图一旦成功，就可以推翻可数假定的话，不管康托具体是怎么绕来绕去证明的，根据其最后结果来看，实际上就等于宣告，b的存在，是与可数假定矛盾的。然而，根据康托自己建立的无限理论，在可数集合里，再增加一个、多个甚至无限个b，与可数假定都无法形成必然的矛盾！

 3实数的可数性证明

其实实数的可数性不需要复杂的推理即可证明：

定理5(根据原文编号) 实数是可数的。

证明：设可在实数轴上任取一实数，将其编号为1，然后再任取另一个数，将其编号为2.....该过程无限地延续下去，则所取的数已经与自然数一一对应了。由于每次取数时，必定有一个数会被取出，故任何一个数都可能被取出，不存在永远取不出的数，证毕。

当然，这个过程是不会终止的。这个很正常：任何无限集合的元素都是永远取不完的，例如，即使随机取自然数也取不完。而且在这个过程中，“数数平等“，不存在长得“三头六臂”、“与众不同”、永远取不出的b?