摘录 无限可能达到（例如极限可能达到），但永远不能完成。且无限的可能达到性正是建立在无限的不可完成性基础上的。这是问题的关键所在，也是无限问题的难点所在。

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无限能否完成，不是靠猜谜或者站队就能解决的问题，而是客观事实究竟是什么的科学问题。

要特别注意与无穷有关的问题的可完成性和无穷本身的不可完成性之间的关系。一个典型的例子是收敛数列的极限:数列的极限值本身是确定的，但数列的项是无穷多的，无法用一个确定不变的常数来表示其项数。

例如，当n→∞时，Lim(1/n)=0，其中极限零是不变值。由于数列极限是与无穷有关的概念，所以极限的不变性容易被误解为无穷本身的可完成性。比如因为思维过于自由而严重缺乏严谨性的康托尔，就是这样理解的，从而强调了相信无限可完成的实无限观。事实上，他完全错了:极限的确定性是基于无限的不可完成性基础上的。仍然以上面的数列极限为例，如果无穷过程n→∞可以终止或完成，根据数列极限的定义，n就只能在某一个有限的自然数（用n^*表示）处终止或完成，那么得到的值就是一个大于0的有限值1/n^*。

也就是说，只有当无穷过程n→∞没有终点，即不能完成时，数列项的值才能趋于一个不变的0。或者说无穷的不可完成性是极限值确定性的必要条件。

确定性的东西要由不确定性来保证，事情就是这么奇怪，然而，事实就是这样。

难怪几千年来有那么多人要搞错，甚至在本文之前，未必有人真正说清楚。不然的话，所谓认为无限可以完成的实无限观怎么还会有那么大市场，甚至成为集合论的哲学基础？

注意，以上讨论与时间无关。比如当n→∞时，可以规定1）n每1秒增加1，也可以规定2）n每零秒增加1，但不管如何规定，无穷大不能完成的结论不变。

显然在规定1）时，达到极限需要无限长的时间，而在规定2）时，只要时间大于零，极限零即可达到。由此可知，极限不一定不可达，但无限永远无法完成。

极限值本身与计算所需要的时间也没有关系。

再比如加和0.3+0.03+0.003+...的极限值是1/3，达到极限的必要条件是加法的项数是无穷的，加法过程不能终止或完成:如果可以终止或完成，那么其和< 1/3，即达不到极限。

事实上，关于无限的争论源于未能正确理解无限的不可完成性。例如，如果否认无穷的不可完成性就会产生集合论的各种悖论，比如我在上一篇博文讨论的基于错误的自然数集合唯一性的各种悖论；如果把无穷的不可完成性看作极限的不可达性，就会产生芝诺悖论等各种悖论。

在芝诺悖论中，设快跑者和乌龟的初始距离S=（1/3）米，快跑者的速度是每秒（1/3）米，乌龟的速度是每秒（1/30）米，相对速度是每秒0.3米。求追上所需要的时间t。

小学生的计算方法是初始距离除以相对速度，结果，t=（1/3）/0.3=1.111……秒，

      芝诺的问题是，快跑者第1次用1秒时间跑到乌龟原来的地方1/3 m时，乌龟前进了1/30 m, 快跑者第2次用0.1秒跑到(1/3+1/30) m处时，乌龟又前进了1/300  m，快跑者第3次用0.01秒到了(1/3+1/30+1/300) m时，乌龟又前进了1/3000 m，……似乎永远追不上乌龟。也就是说，芝诺的算法是将追赶时间分成无限项之和

t=1+0.1+0.01+……

  芝诺的追不上结论实际上相当于认为，既然有无限项，每次又只能加一项，所以永远加不完，达不到极限1.111......，于是就得出了快跑者永远追不上乌龟这一结论。

也就是说，追不上这一结论相当于数学分析中的“极限只能无限接近，永远不能达到”。

追不上这一结论显然与事实不符，但似乎人们难以反驳其逻辑，于是就成为了一个延续了两千多年的悖论。即使到了今天，“极限只能无限接近，永远不能达到”也仍然是很多人的看法

 但无限项为什么就一定加不完呢？

 坚持这个结论的人，其实脑子里都认为，每加一次都是需要时间的，所以加不完。

       问题在于①做加法为什么一定需要时间？②计算结果t=1.111……是否一定要做无限次加法才能知道？能否仅凭观察就能得到？③t=1.111......与加得完加不完有没有关系？如果没有关系，为什么一定要加完？④就算每加一项一定需要时间，加无限项就意味着一定要无限多时间吗？⑤就算加无限项，一定需要无限多时间，这个时间与追赶所需要的时间又有什么关系？难道一定要算好了才能追赶？

       显然，其中任何一个问题都至少可以对芝诺悖论构成质疑，有的(例如第⑤个)则可以直接推翻芝诺悖论。

       不仿具体分析如下:

       ① 随着计算机越来越发达，计算所需要的时间越来越短，假定计算所需要的时间可以忽略不计，即可设零秒加一项，那么t﹥0时就达到了极限。②计算结果凭观察即可知道，并不需要加无限次。③计算结果是确定的，与算到哪一项没有关系。④有限时间内也可以计算无限项，比如，如果计算第一项需要(0.5)¹秒，计算第二项需要(0.5)²秒……计算第n项需要(0.5)ⁿ秒，则1秒时即计算了无限项。⑤追赶所需要的时间和计算所需要的时间完全没有关系:人是用脚走路的，不是用脑子走路的，所以不需要算完了才去追赶。

不但走路所需要的时间与在头脑中如何计算完全无关，而且，极限值本身与计算所需要的时间也没有关系。也就是说，无论做一次加法需要多少时间，都不会影响最后结果，既然如此，我们完全可以设每加一项只需要零秒，这样做并不会影响最后结果，于是t>0时就可以计算无限项，极限自然就可以达到了，更不存在追得上追不上这一问题。

芝诺之所以会得出追不上这一悖论，是因为误以为计算所需要的时间与走路所需要的时间有关，比如如果每加一项需要1秒，那么加无限项就需要无限秒，于是就永远追不上了。

其实，即使加和需要无限长的时间，极限值本身也不会变，所以走路所需要的时间即极限值仍然是1.11……仍然是追得上的。

所以，芝诺悖论的本质不过是混淆了实际发生的事情和人们头脑中发生的事情：把走路所需要的时间和计算所需要的时间混为一谈了，后者所需要的时间实际上是不需要考虑的。

不过，并不是所有的极限都是可以达到的。例如，任何一个计算圆周率的公式都需要无限多时间，运行时间内永远达不到极限。这时，如果假定每加一项只需要零秒，结论就完全不符合事实了。但像0.3+0.03+0.003+……=1/3 这样的计算，实际上并不需要一项一项计算无限项，就可以知道其结果，所以完全可以设每加一项只需要0秒。

其实，即使在追赶问题中需要计算圆周率，也并不等于就追不上了。如前所述，人是用脚走路的，不是用脑子走路的。走路所需要的时间与计算需要的时间完全没有关系。

把完全不同的东西混为一谈，是所有悖论的根源，芝诺悖论不过是其中一个。

笔者在悖论问题上有多篇文章，有兴趣的读者可以参看前面的文章。

总之，无限可能达到（例如极限可能达到），但永远不能完成。且无限的可能达到性正是建立在无限的不可完成性基础上的。

这是问题的关键所在，也是无限问题的难点所在。

只要思维足够清晰，不过于简单化，没有想不清楚的事，当然也没有因为想不清楚而说不清楚、而只能不说的事。所以，维根斯坦未必正确: 说不清楚了，可以去想想清楚再说，而不是只能保持沉默不说、