对角线证明中的相等性假设

如所周知，对角线是用反证法证明的。

反证法在数学上有着非常广泛的应用，其特点是往往可以很简洁地证明很多本来不太容易证明的东西。其基本格式是先假定一个命题，然后推出矛盾，那就证明了这个命题是错误的，也就是说该命题的矛盾命题是正确的。其依据的逻辑规则是排中律:A与非A必有一个是对的。

反证法在人们的日常生活中也有着广泛的应用，比方说在辩论中常用的归谬法，其实就是反证法:从对方的观点导出荒缪，从而证明对方的观点是错误的。

从反证法的原理可以看出:反证法只能有一个假设，就是所要推翻的命题。这是因为，如果有两个假定，即使导出了矛盾，又怎么知道是哪一个假定导致矛盾呢？

然而，在对角线证明中除了所要推翻的可数假定外，还隐含了另外一个假定，这就是相等性假定。

我们知道，在我们根据可数假定将小数a₁,a₂,a₃…….一一列出，

a₁=0.a₁₁a₁₂a_13....

a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃....                                                                              (1)

a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃....

.......

等号右端组成了一个无限大的矩阵。

矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。

显然，没有任何理由可以认为小数行数和小数列数是精确相等的。以二进制小数为例，1位小数有2个，2位小数有4个……n位小数有2^n个……，永远不可能相等！

然而，对角线只存在于行数和列数精确相等的正方形矩阵内，所以整个对角线证明自始至终都是在假定行数和列数精确相等的前提下进行的，为讨论方便，将该假定称为相等性假设。

也就是说，对角线证明中有着两个假定:一个是可数假定，一个就是相等性假定。

更要命的是，这两个假定是独立的: 从可数假定只能得出行标可以与自然数一一对应，仅此而已，再无其他，至于列标，一点信息都没有，所以任何人都不可能严格地从可数假定推出相等性假设，除非他能够证明世界上只存在正方形矩阵，不存在长方形矩阵。

 这就完全违背了反证法的原理:即使推出了矛盾，怎么知道这个矛盾是由哪一个假定引起的？

所以说，对角线证明并没有证明小数不可数。

如果作更仔细的分折，

b=0.b₁b₂b₃...，                                                                              (2)

这里,

b_k≠a_kk, （k=1,2,3,...)                                                                    (3)

不难发现b的存在，不过是证明了实数的个数比位数至少多了1而已，也就是说只证明了相等性假设不成立而已，与可数与否毫无关系。

打一个比方，康托在一个真人旁边用纸糊了一个假人，然后一拳打倒这个假人，却说他把真人打倒了。

居然下面有人喝彩，其中有一个人的名字叫罗素，另一个人的名字叫希尔伯特。

显然，只要有充分的批判性思维能力，不迷信洋人，权威，上述问题都是很容易发现的。