从系统演化下的简并稳态来理解量子纠缠和超导现象

赵平波

（Zhaopingbo@gmail.com，2023年5月28日）

 简介：本文提出了基于熵能判据的系统分析，认为量子纠缠、超流超导、FQH和Haldane相都属于简并稳态——这是比热平衡态熵能系数更大的稳态，并对两类简并稳态做了分析：一是量子纠缠属于电子的共振隧穿和光子的量子纠缠并存的简并稳态，纠缠的本质是稳态之能量和动量差趋于0的测不准关系之体现，就此提出了W模型；二是对超导现象的描述要修正BCS理论的电子配对定义，并利用Wolfram元胞自动机做了分岔重整化群计算，揭示了超导中间态所呈现的倍周期分岔结构。

本人的《从系统演化视角重构物理学分析框架》一文（以下简称《框架》）在几个小型的物理群和朋友圈发布以来，人们对此文所提出的问题大致可分为两类。一类是对于我在此文中提出的概念有疑问，如文小刚教授的提问是，简并稳态概念到底属于“many-body states”还是“few-body states”呢？这个问题就很关键，量子纠缠应属于少体问题而超流超导则为多体问题，我却将其都归类为简并稳态，说明了简并稳态概念的特殊性。另一类问题则主要针对简并稳态的分岔重整化群描述，《框架》一文中我虽提到了但并未详述其具体数学计算。为此，本文拟对简并稳态的一些基本概念做些补充澄清，并在后两个部分详细介绍了对量子纠缠共振隧穿理解的W模型，以及对超导中间态的分岔重整化群计算。作为前言，下面我还要补充说明，我之所以形成了简并稳态概念的以下两点背景：

首先，当今物理学的分析框架是基于物质之间的各种相互作用，而我提出的分析框架则是基于系统演化会形成各种稳态。如此稳态思想实际上在生物物理和凝聚态物理中早已存在。如汤超小组就蛋白质折叠的一项重要工作，Hao Li，et al, Science，273(1996)666, Emergence of Preferred Structures in a Simple Model of Protein Folding。此文认为蛋白质折叠的首选结构为自由能最小却又是熵值极大化的状态，就完全等价于我在《框架》中提出的活力稳态。再例如，在2006年3月24日同一期PRL上，文小刚小组和Kitaev 小组同时提出了拓扑纠缠熵（topological entanglement entropy）这个概念，如此纠缠熵并非通常的热力学熵，而应更类似于我在本文所指的简并稳态信息熵。为此，系统演化会偏离了热平衡态，而生成活力稳态或简并稳态的思想实际上在物理中早已形成，只是人们并未将其联系到系统演化。

其次，我要把物理学规律划分为描述观和演化观两类。描述观有两点含义，在实验上体现为人们要建立起各种可测的物理概念，在数学上则体现为要把这些可测概念总结为各种公式，如F=ma，E=mc²，Shrödinger方程等等。然而，物质世界的规律未必都来自以上描述观，而可能体现为系统演化过程中系统个体自发选择的规则，我称其为演化观。演化观的主要含义也有两点，一是物质演化要自发形成除了热平衡态以外的各种稳态，如《框架》中提到的高温稳态，活力稳态和简并稳态，并且各种稳态和平衡态之间还可能相互转化。二是针对如此演化本文提出的数学描述则是熵能判据下的跷跷板效应。为此，针对量子纠缠的共振隧穿，以及超导现象的分岔重整化计算，就属于对系统演化的不同数学分析。

另外，我感觉《框架》一文的陈述中有3点并不清晰，从而令人们对此文的理解有偏。一是文章作为个人博客形式，它过分强调了我对这些物理概念之形成的自身经历的思路，而忽视了这些概念与生物物理以及凝聚态物理之前沿研究的联系。二是我所提出的稳态概念，无论是活力稳态还是简并稳态，实际上都并不属于热平衡凝聚态物理，而属于耗散系统。但我本文对耗散概念的理解又与Prigogine的耗散结构理论的耗散含义有所不同，这就引起了一定的误解。三是提出的某些新创概念名词不够清晰，诸如聚分演化、熵值跃迁这些概念可能难以被人接受，从而也影响了人们的理解。

为此，本文既是《框架》的精简版也是其补充版，我一方面引入纵向结构、横向结构和虚时跃迁这些新提法来取代原文中含混的聚分演化和熵值跃迁等概念，另一方面也强化了对耗散系统、共振隧穿和分岔重整化群的表述，但这些表述只是我个人的另类物理理解，而并非教科书所承认的，这要先给出特别的说明。当然，《框架》一文作为我的思想形成之叙述，受到篇幅已经太长、人们难有耐心读完的顾虑，许多太具体的物理内容我就刻意回避了，如共振隧穿和分岔重整化群的这两个物理想法，我都未在《框架》中谈及。本文则要详述这两个物理想法，但愿能抛砖引玉，对此有兴趣的博友可以完善以上量子纠缠和超导现象的理论。

本文各部分内容简述如下。第1部分是把基于还原论的分析框架看做纵向结构分析，而基于演生论的分析框架看做是横向结构分析。进而，本文以熵能判据为出发点，从系统的纵向和横向结构划分来给出量子统计分布的另类推导，认为只有玻色系统才会呈现出基于量子纠缠的简并稳态。第2部分着重分析了系统演化体现为跷跷板效应下的热平衡态和简并稳态转换，并详细分析了简并稳态的特性，提出了能动构架和系统全同性的这两个概念。第3、4部分具体分析了两类主要的简并稳态，量子纠缠和超导现象，特别指出其物理基础都来自跷跷板效应的驱动，驱动力具体体现在量子隧穿之非线性力和真空或温度的随机力。量子纠缠的物理本质来自电子的共振隧穿，而超导中间态则体现为倍周期分岔结构。为此提出了两类数学分析，随机力要与量子力学相结合，以及基于Wolfram元胞自动机的分岔重整化群计算。

1. 从纵向和横向结构比较引入简并稳态及其耗散性

在本小节我力图从纵向结构和横向结构出发来比较还原论和演生论的不同。还原论对物质结构的理解是基于纵向结构观的。而我力图建立的基于熵能判据的系统演化分析框架要体现出各种物质稳态的成因及其相互演化，这是基于横向结构观的。在我看来，系统演化会自发生成属于横向结构的高温稳态、活力稳态和简并稳态等（详见《框架》一文），在这当中，激光、超流超导、量子纠缠以及拓扑物态等，则属于本文要讨论的简并稳态。本小节的目的是给出横向结构下简并稳态这个概念的具体含义。为此，我将说明以下两点：1）现有物理学基于还原论的分析框架只体现了纵向结构，但物质系统还存在熵值和能量作为广延量可分离的横向结构；2）我要通过熵能判据给出费米统计和玻色统计的另类推导，来论证简并纠缠态之横向结构的存在，并进而指出对应的耗散性问题。下面，我先从现有物理学之分析框架谈起。

1.1 以相互作用为基础的纵向结构观：还原论理解以及保守和耗散系统的引入

现有物理学的分析框架基本上是基于还原论的。其含义是对于任何复杂系统或现象，我们都可以将其化解、拆分为各个部分的方法来加以理解和描述，我称其为纵向结构观。这在物理学分析上，就体现为基于个体特性及其相互作用的系统观——任何系统都可被看做是由若干个体构成的，不同系统个体之间的相互作用或外力作用，就决定系统的状态或特性。例如，一个电子可被看做是一个系统，电子的特性完全取决于其向上|↑>和向下|↓>两个自旋量子态，这就是少体系统。但在任何金属材料的内部都包含了多达10²³摩尔量级数目的电子，作为原子最外层的电子是近似自由的，而可以被看做是构成了电子“气体”，这就属于要满足统计分布的多体系统了。总之，无论是少体还是多体系统，以上还原论思想都体现了系统结构是一个单纯的纵向结构，系统内部个体自身的状态或相互作用行为决定了系统的总体特性。

从宇宙天体、凝聚态物质直到单个电子，当今物理学的所有分析，基本上还都是基于以上还原论的纵向结构观。人们为寻求物质运动的规律，其数学描述往往是从简洁且具美感的系统对称性及其破缺出发来做理论分析的。物理学关于对称性的描述，不但体现为构成系统的个体通常为全同粒子从而具有交换对称性或反对称性，进而还体现在不同个体之间的相互作用也具有某种对称性或协变性。如此对称性相互作用在粒子物理理论中，就要用Lagrangian量子场来描述，而在凝聚态物理中无需考虑相对论协变性则会用Hamilton量来描述。在这两类描述中，Lagrangian量体现了所有系统个体动能与相互作用能的差值，Hamilton量则体现了两者之和——其物理本质都可归结为以下基本的物理理念：系统在演化过程中其总能量必须保持守恒，且各系统个体之间的能量传递则要沿着最为“经济”的最小作用量途径。

以上就是还原论纵向结构观对常规物质运动的理解。进而，环境温度的改变，或者其他外界参量如外磁场的作用下，物质系统还可能会发生各种相变，如固液相变或铁磁相变，等等。而纵向结构观对相变的理解，则来自Landau基于平均场假定下的对称性破缺理论。Landau破缺理论的核心思想是物质的序来自个体之间的相互作用能量，而基于环境温度的随机力可能破坏这种序：有序和无序力量的各种平衡生成了物质世界丰富多彩的结构。尽管该对称性破缺理论对某些临界现象描述的精确性尚有不足，但其基本的分析理念却得到了人们的认同：这体现在系统个体既然是由全同的粒子构成的，因而所有个体之间的相互作用就可用一个平均化的量来模拟，从而通过自洽方程就可描述系统的相变过程。如此来自描述凝聚态相变而形成的观点，已于1960年代被Higgs推广到粒子物理以描述质量的起源问题，1980年代则被Guth进而推广而形成了暴涨宇宙模型。总之，在1980年代以前，基于还原论的以上纵向结构观，就构成了当今物理学的基本分析框架。

为此，这就带来了一个有趣的问题：以上还原论的纵向结构认知，已经体现了我们对物质结构的全部理解吗？非也。这只体现了纵向结构所生的只是保守系统。保守系统这个概念是特别针对能量而言的，它体现了能量只会通过各种系统个体间相互作用有序地，或者系统与环境热交换作用无序地做传递。之所以称其为保守系统，其含义体现了所有相互作用或能量交换都要保持能量守恒。无论是其有序性和还是无序性，保守系统都只是被动地实现了对能量的承载性或传递性，或者说，保守系统自身并无法拒绝能量的传递，任何物体与高温物体热接触就要升温，反之则要降温。为此，这预先认定了所有物质系统均为热平衡态下的开放系统。在不同系统的相互热接触，或者系统与环境温度的热交换下，开放系统必然自发实现或生成为热平衡态，其物理本质则体现了以无序为基础的统计分布状态。为此，热平衡态即便发生了某种相变，这也被称为平衡相变，是可以用Landau破缺来描述的。

但在物质世界中还会存在并非开放的系统，我称其为封闭的耗散系统。此处耗散系统之含义仅仅是不同于开放的保守系统，而具有封闭的含义。必须说明的是，我提出的耗散系统概念与Prigogine教授提出的耗散结构理论并不相同，耗散结构理论中的耗散含义是要以开放性为基础的。而我提出耗散系统之封闭性意味着，这类系统未必一定要与外界发生能量交换，其更重要的特征是自身要维持在某种稳态。这样一来，耗散系统为了维持其状态的稳定性，就可能与外界有能量交换，也可能拒绝能量交换，这一切都要受到下面就要谈到的熵能判据的驱动。本文要着重分析的简并稳态就呈现出了如此封闭系统的特性，如下文要分析的量子纠缠中的共振隧穿，以及超导现象中稳定的中间态，都具有明显的封闭耗散特征。下文就要从熵能判据出发，来推导出保守开放无序的热平衡态，以及耗散封闭有序的简并稳态。

1.2 以熵能判据为基础的横向结构观：无序的热平衡态和有序的简并稳态

自1980年代以来，随着量子Hall效应，高温超导材料的发现，以上还原论的纵向结构观点遭到了挑战。为解释某些新的物质结构现象，物理学家Anderson在1970年代提出的演生论观点就逐渐开始受到了人们的关注。但对演生论的含义，不同人有不同的理解。我的理解体现在《框架》一文中所阐述的系统演化视角。在本文中，我要再给出更为具体的描述即横向结构观，以区分前述还原论的纵向结构观。两者的重要区别是，纵向结构观只会形成平衡态，而横向结构观则除了形成平衡态以外还可能可能形成各种其他稳态，尽管平衡态和稳态都是熵能判据所驱动的。

横向结构观的含义具体体现在以下两点：一是系统在演化过程中，其物态的变化并非与通常的物理相变那样体现为整体结构之突变（如固态完全变成液态），而是在许多情况下，会呈现为不同子系统的并存，如超流中的超流体和普通流体，超导电子和普通电子都会并存于同一系统。这是横向结构的第一个含义，意味着前述封闭性耗散系统和开放性保守系统，两类不同系统能够横向地共存，如此共存还并无任何边界分割，这来自我后文我还要谈到的能动构架概念。横向结构的第二个含义体现在，一个系统中的不同子系统之间还会自发协同而形成稳态，如此稳态并不同于常规的热平衡态。其稳态的维持就并非纵向结构那样来自个体之间的相互作用，而是要来自某种耗散机制。本文下面要分析的简并稳态，就是我对超流超导、量子纠缠和拓扑物态理解的基础，它们都属于无温度含义的稳态，而并不属于普通的热平衡态。为此，让我先从熵能判据谈起。

系统演化视角下的横向结构观之物理基础是熵能判据。要理解熵能判据的含义，我要先给出系统的能量和熵值的定义。任何一个系统都是由独立的个体、量子态或子系统构成，它们都具有能量概念。而能量是广延量，系统的总能量就是所有独立个体、量子态或子系统之能量的总和。这样一来，我们可假设在任何时刻，系统的总能量的分布状态都只可能为n个可能的能量集合{E₀, E₁, E₂, …, E_n}，其对应的几率集合为{p₀, p₁, p₂, …, p_n}，∑_k p_k = 1。这里E₀为系统的基准能量，E₀≤E₁≤E₂…≤E_n。很显然，系统可以用来对外做功的最大能量，或者可转换为其他形式的能量为：

E = ∑_k p_k (E_k - E₀)

我称其为系统活力能，以后活力能就特指系统的能量。另外，基于系统几率集合的Shannon信息熵

S = -∑_k p_k ln p_k

也是广延量，这是因为任何大系统若可分解为两个独立的子系统S₁和S₂，则我们也可以容易地证明S= S₁+ S₂，这是信息论的基本概念。

有了以上系统能量和熵值都是广延量的说明，我就可以进而说明熵能判据这个概念了，这是所有系统演化都要满足的规律：其含义是何系统演化都要体现为在活力能E的约束下，系统的Shannon信息熵值要趋于极大化。而这又会让系统演化形成多种稳态模式的跷跷板结构。最常见的模式是无序热运动的平衡态模式，热平衡态体现了活力能E为有限能量约束，从而系统的能量分布要尽可能地穷尽所有能量集合中的可能的状态。另外，系统的活力能还可能存在其他约束，我称其为角点解而普通的热平衡态为内点解。在《框架》中我指出了两类最常见的角点解，活力能取极大值的状态为活力稳态，而活力能取极小值0的状态，就是本文要讨论的简并稳态。所有系统个体通过某种纠缠或协同作用而等能量等几率化，就演化形成了简并稳态的模式。在本文中我只分析热平衡态和简并稳态模式。

下面，我先给出通过熵能判据给出的热平衡态之数学推导。为此，我们可以首先构造出一个Lagrangian函数，X = S - βE，其中β为Lagrangian参量。这样一来，系统演化方向就是一个简单的约束条件下求极值的问题。若令ε_k= E_k - E₀，不难求得X极大化要满足的极值条件是各个几率分布值为：

p_k = exp(-βε_k) / ∑_k exp(-βε_k)

只要几率集合中的所有几率值都满足以上条件，系统的Shannon信息熵值S就会实现极大化。以上β=(k_BT)^-1正是系统的热力学温度。进而，系统演化过程中除了信息熵值的极大化，以上Lagrangian函数X = S - βE也要趋于极大化，我称X为熵能系数：

X = ln ∑_k exp[-β(E_k-E₀)] = ln ∑_k exp(-βε_k)

以上熵能系数X之数学表达式正是统计物理正则系综之配分函数的对数，它乘以-β后恰好等于热力学自由能。通常正则系综的配分函数中的指数因子为 - α - βε_k，即多出了化学势α这一项。但以上熵能系数表达式是与之等价的，α值体现在了基准能量E₀之中，而E₀值当然也要与系统的个体数目有关，这就体现了化学势的含义。在《框架》一文中，我已经详细分析了熵能系数与配分函数和自由能之物理含义的不一样，这里就不再重述。

然而，系统演化还可能导致了另一种物态模式，即有序化的、所有能量都相等为简并状态的模式，我称其为简并稳态。其约束条件是系统的活力能E = ∑_k p_k (E_k - E₀)=0。这倒并非要令整个系统的活力能为零，而可能仅体现为系统演化的跷跷板，会令部分子系统之活力能等于0。这样一来，该子系统的熵能系数X = S = -∑_kp_k ln p_k中所有的几率p_k都相等，从而实现了熵能系数的最大化。为何该简并稳态模式也体现了熵值的极大化呢？这就体现了本文所使用的熵的定义并非通常的热力学熵，而是Shannon定义的信息熵。从信息熵出发，等几率将带来另一种熵值的极大化，也同时体现了熵能系数的最大化，简并稳态就因此而成了另类稳态。

显然，与体现为极大无序化的热平衡态截然不同，简并稳态所体现的是所有个体或子系统都几率相等的有序化。如此呈现在所有系统个体中的有序化，就体现了某种量子纠缠或量子隧穿效应，随机力反而起到了驱动系统往有序化方向演化的动力。后文我将指出，量子纠缠和超导现象都属于简并稳态。简并稳态的约束条件还要划分为静态和动态两类。量子纠缠只体现为前述静态约束，但超导现象则来自子系统配对元胞的协同效应，则要体现为动态约束，后文还要仔细分析，我这里暂不多谈。另外，从更广义的角度来看，物质运动所满足的经典能量守恒，也可看做是只有一个能量状态的简并稳态，如地球绕太阳的公转。这可看做是由于动能和势能的不断转化，地球随时间的演化始终处于动能和势能之和保持恒定的简并稳态。

无论是热平衡态还是简并稳态，系统的熵能系数X显然也属于广延量。若X=X_A+X_B则A和B两个子系统就体现了某种独立性。为此，对于没有相互作用的系统，如独立的费米子系统，每个费米子本身也都可以看做是一个子系统。这就体现了基于熵能判据的系统演化视角对系统概念的认知，就与现有物理学中多体系统和少体系统之划分很不相同了。熵能系数概念作为广延量，并非体现为只有多体系统才会有的概念。从系统演化视角来看，哪怕是由一个光子、电子也可构成一个系统，我们依旧可能根据其系统规律而给出其熵能系数。如此物理理解，显然更具逻辑上的合理性。这表明了任何个体在不同的环境下要服从不同的规律，它可以服从经典轨迹运动规律，也可以服从系统演化规律。我们也应如此来理解波粒二象性。同时这也说明了，以往物理学中少体或多体的系统概念本身就是含混的。

熵能判据的物理含义还进一步表明，横向结构所体现的它对子系统的划分，与纵向结构是有本质区别的。纵向结构思想作为对相互作用的还原论描述，其微观图像更多地体现了实时跃迁，即通过发射和吸收光子的热交换，物质系统的演化方向会自发形成热平衡态。但物质世界还存在所谓的虚时跃迁，即交换光子的虚过程。如量子电动力学QED中电子自能就来自交换虚光子，超导Cooper对电子交换声子的行为，也可看做是虚时跃迁。任何量子隧穿也都可以看做是某种虚时跃迁过程。为此，虚时跃迁导致的系统演化就形成了横向结构。横向结构的形成属于量子系统演化的后果，本文要论证的简并稳态就体现了横向结构。下一小节我就要基于虚时跃迁推出费米和玻色分布。

1.3 从熵能判据给出量子统计分布的另类推导和对简并稳态的深入认知

对于费米分布和玻色分布，在统计物理教科书里往往都介绍了两种推导方法。一是从近独立非定域的微观状态数出发求出最可几分布，二是从巨正则系综出发根据费米之和玻色子满足不同的能级填充规则，而给出对应的量子统计分布。这两者都属于对费米子和玻色子之多体系统的统计理解，因为只有系统中的个体数目充分大之时，系统个体的随机性才会逼近某种统计分布。但我以下从熵能判据出发对量子统计形成的物理理解，是与以上多体或少体无关的，但却涉及到了对子系统划分的理解——系统整体的熵能系数之所以可被看做是广延量，且体现为所有子系统之熵能系统之和，但这要取决于系统划分模式。下面，我就分别来说明费米子系统和玻色子系统的划分模式，并给出两个基于量子力学的重要概念：在虚时跃迁下，量子系统既可能形成具有热交换的开放系统，也可能形成并无热传递的封闭系统。

a）费米统计、虚时跃迁以及开放和封闭系统的含义

从系统演化视角来看，所有费米子系统均可被看做是由费米量子态构成的。对于近独立的费米子系统，每个费米子就是一个量子态。而不同费米子之间存在相互作用的系统则是由不同能量的量子态构成。所有量子态都会共享同一个系统空态|0>。以此为基础，我就可用前述虚时跃迁概念从熵能判据出发导出费米统计分布。事实上，Casimir效应揭示了，真空中存在量子涨落，电中性原子之间之所以存在范德瓦耳斯力，也被认为是以上Casimir效应的体现。这样一来，就激发了我形成了如此想法：量子统计分布来自虚时跃迁。费米统计分布之所以能自发形成，这来自费米子系统要共享同一个空态。为此，量子态之间的能量转换，就并非如同经典粒子那样来自“碰撞”，而是能量为ε₁之量子态|ε₁>的演变，要体现为它会先会跃迁到能量为零的空态|0>，然后再从该空态激发到其他能量态|ε₂>，其原因并非来自|ε₁>和|ε₂>这两个量子态之间有何直接关联。这就是我在前文给出的虚时跃迁概念之更为具体的描述。

显然，正是如此量子虚时跃迁对未占据能级的填充，就导致了系统的熵能系数最大化，这就是形成费米统计分布的成因。如此虚时跃迁与实际的量子跃迁要发出一个可测光子虽有不同，但其后果却同样体现在，要保持系统之整体能量和熵值在统计意义下的恒定，这也是前述熵能判据之数学推导的基础。所以，费米统计下虚时跃迁的物理含义依然与我们通常对热平衡态的理解，即发射和吸收光子的实时跃迁会形成热平衡是一致的。进而，系统空态|0>的意义在于，真空涨落作为随机力驱动，才实现了费米子的统计分布，随机力的强度是与温度成正比的。在如此物理图像之下，费米子系统就可被看做是由费米子构成的横向结构——即以上虚时跃迁并不取决于系统个体之间的相互作用，而是由系统自身的量子能级结构所决定的，这才形成了能级跃迁。若某个能级态未被占据，虚时跃迁才可能驱动某个费米子占据该能级态。接下来，我们就可对以上虚时跃迁的物理图像给出数学描述了。

统计系统中的任何一个费米子或费米子构成的量子态，都既可能处于能量为零的空态|0>（注意ε_k= E_k - E₀，空态也体现为系统能量集合的基准能量状态），也可能处于能量为ε_k的量子态|ε_k>。由此，每个独立的费米子系统同时也可被看做是整个费米子系统中的一个子系统，该子系统的能量集合只存在两个可能的能级{0，ε_k}。在温度为β的情况下，该子系统的熵能系数就是：

X_k= ln [1+ exp(-βε_k)]

进而，由于熵能系数是广延量，那么，由大量费米子构成的费米统计之熵能系数就是所有子系统的熵能系数之和：

X = ∑_k X_k = ln ∑_k [1+ exp(-βε_k)]

这正是费米统计之配分函数的对数。以上数学推导体现了从熵能判据出发，就不存在少体和多体系统的区分。任何系统，无论其包含的个体数目为多少，都要满足费米统计的系统规律。所以，包含了大量个体的系统就体现为，其总的熵能系数X等于所有可能存在的独立量子态所对应的熵能系数X_k之总和。当然，如果系统个体之间还存在相互作用，则所有可能的具有特定能量的量子态才会构成系统的独立态，系统总的熵能系数也体现为每个独立量子态的熵能系数之和。这与前述基于独立费米子系统的数学推导并不矛盾。

进而，从以上费米分布的数学推导中，我们可以发现，对物质世界的几率描述可有两种不同的类型。对费米子的几率描述属于是非型的，某个量子态或者被占据，或者未被占据。所以，当今物理学把信息引入到物理学，把费米子看做是信息的载体也是很恰当的，它只有0未被占据和1被占据两种状态。这导致的后果就是从系统演化来看，既然任何演化都要涉及到量子态的虚时跃迁，而任何量子态的虚时跃迁，即脱离某个占据态再跃迁占据到某个未占据态的过程，就只可能是能量发生了变化的过程。这样一来，费米子就不可能体现为封闭的耗散系统，因为系统能量是要时刻发生变化的。因此，凡是单纯由费米子构成的系统，就不可能形成等能量等几率的简并稳态。

不过，虽然满足费米统计的费米子不可能成为封闭系统，但这只是体现为把每个费米子都看做子系统的情形。若两个费米子“捆绑”在一起构成了配对子系统，如此子系统就并非只有0未被占据和1被占据两种状态了。无论是超导电子配对，还是液氦He₃的费米子配对，他们都构成相互独立的子系统，因而不再受到费米统计的限制了。不过，对于如此配对子系统究竟要服从何种系统规律，仍有两种不同的观点。一是现有物理学的观点，认为两个费米子配对以后就构成玻色子，而要服从玻色统计了，BCS超导理论就体现了如此观点，但如此理解带来的问题很多，下文在分析超导现象时我再做仔细分析。第二种观点则是配对电子构成横向结构下独立的子系统：这并未就体现为玻色子统计系统，而是体现并非0或1的占据态概念。如此理解就更显合理，某一种量子态会以完全几率的形式而出现，这就体现为下面的倍能态和纠缠态。

b）玻色统计以及倍能态和纠缠态的区别

玻色子系统为什么会形成与费米子系统不一样的统计？如今统计物理学教科书里，是以Bose和Einstein在1920年代的推导为准的，而否定了早年Plank在1900年提出量子论以解释黑体辐射分布的推导。但我在反复思考后认为，Plank早年给出的黑体辐射推导很可能依旧是合理的，因为它体现了倍能态是玻色统计系统中不可分割的一部分。正是受到Plank推导的影响，我提出了以下猜想：只有玻色子系统才会自发形成倍数能量的量子态，简称倍能态，这就体现了玻色子系统对子系统的划分，这与费米子系统是有所不同的。进而，本小节我将特别指出，以上玻色子系统的倍能态和简并的量子纠缠稳态的含义还不一样，只有量子纠缠态才体现了共振隧穿而具有封闭性，从而为我后文全面分析简并稳态做铺垫。

对玻色子系统的理解不同于费米子系统，其量子态与系统个体是分离的，该系统除了形成单一能量态|ε>以外，还可能形成各种倍数能量态，即|2ε>，|3ε>，|4ε>…这些倍能态。倍能态的存在，意味着几率这个概念在玻色子系统和费米子系统中的含义并不一样了。前文已经谈到，费米子系统只存在对某种能级占据或不占据的几率之分，所以，我们即便把费米子系统理解为横向结构，它和现有物理学对相互作用下的纵向结构的理解，也并无实质性的区别。而玻色子系统因为存在如此倍能态，就完全体现了横向结构特征：所有不同倍数值的倍能态都要“捆绑”在一起，构成众多倍数能量的不可能分割的子系统。或者说，这体现了多粒子“捆绑”的倍能态作为玻色统计子系统的一部分并不可分离。进而，玻色子和费米子系统一样也都存在空态。这样一来，对于能量为ε_k的玻色子系统，其对应的能量集合就是{0, ε_k, 2ε_k,…,nε_k,… }，而熵能系数则为：

X_k= ln [1+ exp(-βε_k) + exp(-2βε_k) + exp(-3βε_k) +……] = - ln [1- exp(-βε_k)]

为此，和费米子一样，整个玻色子系统的熵能系数也体现为所有子系统之和：

X = ∑_k X_k = - ln ∑_k [1- exp(-βε_k)]。

这就提出了一个有趣的问题：费米子的每个子系统属于一个一个的单独个体，会产生完全随机的虚时跃迁，从而费米子必然构成了开放系统。然而，玻色子系统就显得不一样了。以上基于横向结构的“捆绑”效应，让玻色子的每个子系统中所含有的量子态已经不限于单个能量为ε的量子态|ε>，而是要把各种n倍数的|nε>也“捆绑”在一起。这会带来什么后果？玻色子系统当然依然可能构成开放系统，普通光子构成的黑体辐射就是如此，这依然属于基于随机虚时跃迁而形成的统计分布。但是，玻色子的量子倍数能量态|nε>，是否也有可能被单独提取出来，作为系统自发演化的后果，而构成了横向结构？为此，这就进而形成了两个概念：量子倍数态和量子纠缠态似乎不是一个概念，尽管它们看似都呈现为|nε>。

先谈量子倍能态。现有的统计物理学只有Bose-Einstein凝聚（BEC）的概念，即在动量空间下，大量玻色子在极低温时都会凝聚在动能为零的状态，这等价于我前述的能量为零的空态|0>被大量玻色粒子所占据。然而，我提出的以上量子倍能态或纠缠态的概念，是对 BEC含义的推广：在玻色子系统中的部分玻色子，是否可能将其玻色分布的某个量子态的比例重新调整，从而形成以上能量ε不为零的简并能量的倍数态|nε>的子系统呢？这就是我所说的系统演化要形成的横向结构下的简并稳态。量子倍能态的含义是，玻色子的凝聚并不一定要呈现在动量为零这个点上，而是任何动量不为零只要能量相同的量子状态，都有可能形成为“凝聚态”，这就是量子倍能态。

进而，这里的倍能态和目前人们常说的纠缠态，两者就都体现为n个等能量之量子态|nε>，从而也都属于我定义的简并稳态，因为它们都是由能量值相同个体构成的。但是，倍能态和纠缠态这两个概念却既有相同点，也有不同之处。首先，相同之处体现在，作为所有系统个体或子系统都是等能量等几率的系统，从Shannon信息熵值S= -∑_kp_k ln p_k来看，其等几率性都必然导致系统的熵值更大。就这一点而言，倍能态是和纠缠态是完全相同的。其次，从另一个角度来看，量子纠缠态还具有更加严格的耗散封闭性，如在测量时波包还会表现为塌缩相关性，等等，这些体现为鲁棒性。如此测量鲁棒性才体现了简并稳态最重要的特性。为此，并非所有包含了倍能态的系统都具备如此特性。下面我要以激光为例，来说明这一点。

众所周知，只有在输入能量达到一定阈值之后，激光系统才可能从输出普通光，转化为输出激光。满足Plank分布的普通光子之熵能系数X∝N，其中N是与温度的立方成正比的系统光子总数。但如果这N个光子形成了能量都相同且简并的倍数量子态，由于交换对称性系统就共有N！个状态。等几率性令系统的每个量子态几率为p=1/N!。为此，激光系统的熵能系数就是X = S = ln N! ≈ N ln N。所以，只要体现为能量密度的因子N足够大，普通光子系统就会从热平衡态跳转到如此量子倍能态的激光态。但是，激光虽有能量简并的特性，其熵能系数也更大，但激光并未呈现出具有量子纠缠的系统封闭性。量子纠缠态在测量过程中所出现的波包塌缩相关性，也并在激光表现出来。所以，在严格意义上来说，激光只呈现为倍能态而非纠缠态。不过，我仍认为激光属于简并稳态。

为此，系统演化为何会出现以上倍能态和纠缠态的差异呢？我的猜测是，倍能态只体现了玻色统计，而未体现出量子纠缠才具有的共振隧穿。共振隧穿的含义可以在网上很容易地查阅到，是Bohm在1951年提出的，我下文谈量子纠缠时还要论证，这里就不赘述了。为此，既然玻色子系统存在倍能态|nε>，那么，玻色统计系统通过诸如激光谐振腔“淘汰”掉部分频率的光子，就只是强化了某个特定频率。通过某种平衡相变而形成了大量集中于某个频率，就只是体现了倍能态|nε>，如此倍能态并无稳态含义。但共振隧穿却体现为形成了稳态的玻色子系统所具有的特性，即两个费米子的电子自旋态可能共振隧穿而形成玻色子系统，如此玻色子系统坍塌会发出的两个光子，就构成了体现为简并稳态的量子纠缠态。下文在分析共振隧穿的量子纠缠形成机制时，我会更清晰地说明这一点

2. 简并稳态鲁棒性的物理基础——量子隧穿与随机力的跷跷板效应

有了前文第一部分对保守和耗散、开放和封闭、有序和无序以及倍能态和纠缠态这些概念的介绍和分析，对于简并稳态，我实际上已经初步给出了其各个角度的描述，尽管并非全面的介绍。接下来，本小节就要对简并稳态做更加全面的分析。简并稳态具有三个基本的特性：稳态性、封闭性和耗散性，我统称这三大特性为鲁棒性。与纵向结构下的物态来自个体的相互作用不同，简并稳态作为横向结构下的物态，其物理基础要来自个体或子系统之间的量子隧穿。进而，本小节还要提出能动构架和系统全同性这两个与现有物理学理解稍有偏离的概念，来深入论证量子隧穿的非线性力含义。进而，量子隧穿与随机性驱动构成了简并稳态和热平衡态的跷跷板效应，这体现了系统演化生成简并稳态的物理机制，同时这也构成了理解量子纠缠和超导现象的基础。

2.1 简并稳态的稳态性、耗散性和封闭性——统称为鲁棒性

简并稳态最基本的特性，就体现在它作为玻色子系统，在偏离了热平衡态之后依然可能形成的另类稳态结构。通常情况下所有热平衡态的正则系综分布都可写成ρ(ε)exp(-βε)的数学形式，其中ε就是系统能量集合中基态之上的能量ε = E - E₀，而ρ(ε)是对应的能态密度。无论是光子、电子还是声子，ρ(ε)与ε都呈现为幂律关系。为此，ρ(ε)exp(-βε)就体现了在热平衡态下，通常呈现为ε具有峰值的曲线。几乎所有统计物理教科书里，都绘制了体现为ρ(ε)和exp(-βε)二者乘积的曲线，曲线的峰值点就体现了热平衡态的极值分布。而简并稳态做为玻色子系统的倍能态|nε>，其能量集合为n个能量为ε的简并量子态或子系统，却构成了一条平直的等能量、等几率直线分布。如此偏离了热平衡态的稳态能得以形成，其原因为何？

从熵能系数X=S = -∑_kp_k ln p_k的数值来看，每个系统个体若构成了等能量等几率的简并稳态，它与普通热平衡态的熵能系数相比，是有突变性增加的，前文的激光描述已经做了具体分析。因而，其熵能系数要比热平衡态更大，而且呈现为突变性增长——这才是简并稳态之所以具有稳定性的首要原因。但是，如此基于熵能系数的分析还是很抽象的，我们至多认为，熵能判据的驱动会令系统演化趋于两种可能的物质状态，热平衡态或简并稳态。在某些特殊情况下会形成的熵能系数更大的简并稳态，这会比热平衡态更大而系统更具稳定性。为此，除了稳定性以外，简并稳态与热平衡态相比，是否还有其他什么特性呢？下面就要续谈耗散性和封闭性。

耗散性的含义是与热交换的连续性相对立的。现有物理学是从纵向结构的热交换作用来理解温度含义的。无论是基于热力学第零定律还是基于统计系综的理解，温度概念都体现为开放系统中不同系统个体之间热交换形成平衡态之后，要最终趋同的参量。所以，热交换必须具有连续性。然而，在横向结构下的简并稳态中，活力能E = ∑_k p_k (E_k - E₀)恒等于零，所有个体都是等能量几率化的，系统内禀温度之含义并不存在。没有温度含义当然与环境也可能有热交换，但这却并不呈现为具有连续性的、从而保持温度相等的热交换。简并稳态与外部环境的热交换只是为了其自身系统稳定性的需要而必然是非连续的——进入到了某个稳定的平台可能就无热交换了，或者热交换作为随机力令系统跃变到了下一个稳定平台。环境温度作为随机力只体现为让系统趋于稳定的作用。我称其以上特性为耗散性。耗散性意味着，温度随机力的作用只体现在，它要令简并稳态系统稳定在各种平台结构上。

以上耗散性之体现了简并稳态的外部性，其内部特性就进而体现为封闭性了。从物理测量来看，封闭性的含义也表现为鲁棒性。这是指外部环境温度或其他外部参量如外加磁场，若只是在一定范围内发生微小变化，就都不会影响简并稳态的测量特性，从而说明了简并稳态在一定程度上脱离了与外部环境的相关性。超流的无摩擦性、超导的零电阻和迈斯纳效应，以及量子Hall效应的电阻平台等，都体现了如此测量的鲁棒性，微小的测量环境参量之变化并不会影响对系统测量值的稳定性。量子纠缠中测量时不同个体的波包塌缩相关性也体现了这一点。从微观机制来看，测量的鲁棒性与前述耗散性都体现了系统要维持其自身能量不变：若形成了稳定平台，外部环境既不会输入能量给系统，系统也不会释放能量到外部环境。为此，这进而说明了简并稳态的稳定性、耗散性和封闭性这三个特性都是与能量不变性紧密相关的，且与测量的鲁棒性含义相同。

所以，我下文就将以上稳定性、耗散性和封闭性这三大特性用鲁棒性这个用词来替代，即鲁棒性在我下面的话语中兼有以上三大特性。接下来，在继续分析简并稳态鲁棒性的物理机制之前，我还要补充一点，简并稳态之倍能态|nε>与玻色统计中的BEC之差别。

前文已述，BEC实际上只是玻色分布在极低温情况下所呈现出的基态凝聚特性，即ε=0的状态。但简并稳态并非凝聚在基态。不过，这还不是两者最根本的区别。从系统演化视角来看，任何系统熵能系数的极大化都会导致多个极值点：形成统计分布下的热平衡态（包括BEC）是一个极值点，而简并稳态|nε>则为另一个极值点。BEC作为热平衡态下的极值点，只是体现了导数的不连续性，其熵能系数依然体现为温度的连续函数，所以这当中并不存在熵能系数的突变，因而也不具有以上稳定、封闭和耗散的鲁棒性。简并稳态的含义不仅体现在其“凝聚”在某个量子激发态，更重要的是，这导致了|nε>这一宏观量子态具有的极大化熵能系数，它要比热平衡态的熵能系数突变性地增大。因而，简并稳态之熵能系数并无温度依赖性，这才是其具有鲁棒性的关键点。

2.2 能动构架和系统全同性——理解简并稳态子系统的两个物理基础

近而，以上简并稳态之三大特性所对应的微观图像又是什么？其等能量等几率的子系统结构又是如何演化而成的？早年Haken提出的协同学（Synergetics）时，曾就激光形成机制而提出了Slaving Principle。他对能量简并的激光形成之物理理解是，许多快变量的演化模式都自发消失了而只剩下慢变量的模式，这是把可变的慢变量当做了系统演化的序参量，参见《框架》中我对Slaving Principle与Landau破缺之比较分析。然而，多年的思考让我形成的看法是，协同学所给出的以上物理机制或许有问题，这还是基于热平衡态的统计分布思路。前文对激光的分析也表明，倍能态|nε>虽然是熵能系数更大的稳态，但却并不兼有封闭性和耗散性，但不能看做是简并稳态下的量子纠缠态。为此，我认为简并稳态可能很难用当今物理学基于时间和空间的构架来表述清楚的。为给出简并稳态演化形成的微观机制，我下面要先建立起从系统含义出发的以下两个基础的物理概念，能动构架和系统全同性。

1）时空构架和能动构架

物理学规律是要建立在两个构架之上的。一是时空构架，经典物理如经典引力理论和电磁理论就是建立在时空构架基础之上的，它们都完全满足Einstein早年在EPR佯谬中提出的定域实在论。但量子力学的规律要建立在能动构架之上，其含义是在时空构架上做了指数因子为iEt/ћ和ipx/ћ的Fourier变换之后，由E和p构成的能量和动量构架。前文给出的虚时跃迁概念就是基于能动构架的，它只有跃迁令能级改变的含义，而并不涉及到实在的时间和空间位置变化，取名为虚时是因为含有虚数因子i。既然能动构架体现为时空构架的Fourier变换，这不仅体现为实时变成了虚时，其空间定域性也同时消失了。为此，在我看来，Einstein提出的物理学规律要基于定域实在论，这或许是不对的。

进而，既然我否定了定域实在论，而是要把所有物理规律都基于以上两个构架之上，这就并不需要以任何定域性为分析基础，与现有物理学的多体或少体概念也并无任何必然联系了。在Wheeler的延迟选择实验中，一个光子的传播可以沿着一条光路前行，从而体现为时空构架上的经典行为，这是具有定域性的。但光子若能选择两条光路，就一定会沿着两条光路传播，从而呈现为能动构架上的量子行为，其定域性就不存在了。所以，以上两个构架与系统所包含的个体数目没有必然联系。同时，这也进而说明了，物质运动规律的体现是要体现出构架选择之优先性的。能动构架相比于时空构架就是更为优先的选择。若系统演化可以呈现为量子规律，它就不会呈现为经典规律。

为此，以上时空构架和能动构架之划分，进而体现了物理学的量子规律和经典规律并非替代关系，而是具有互补性。互补原理是哥本哈根学派的玻尔提出的，其含义是一对不相容可观察量之间必然是互补的。如位置与动量的测量互补，能量与时间的测量也具有互补性。1980年代发现的量子擦除实验揭示了，两个光子运动的轨迹和干涉测量也是互补的：完全确定轨迹的两个光子之间就不可能发生干涉。但随着轨迹确定性的减弱，干涉现象就越明显地可被观测到。这样一来，我还可将以上互补性概念推广到了更为广义的经典规律和量子规律。

经典规律在时空构架上，是可用经典轨迹或经典场来精确描述的。人们没有必要否定经典物理规律，只是有必要用更为精确的广义相对论来取代牛顿引力理论。为此，要把引力场或电磁场量子化并在量子场的基础上做统一描述，这或许是多此一举毫无必要。因为量子规律与经典规律具有互补性，不是可以替代的关系。进而，量子经典理论哪种理论可以更为精确地描述和测量，这要完全依赖于不同的构架。事实上，不仅时空构架上的物理规律是可以用精确的轨迹来描述的，在能动构架下的量子规律，其数学描述要基于Hilbert空间下的算符，这同样也是可精确描述的。单纯在能动构架下的测量，如电子磁矩和量子Hall效应，都显现出了高温稳态或简并稳态下测量的鲁棒性，其测量精度非常高。只有同时测量在时空构架和能动构架下的参量，才会呈现出ΔxΔp～ћ或ΔEΔt～ћ的Heisenberg测不准关系。

2）个体全同性和系统全同性

有了以上时空构架和能动构架的概念，我们就可重新认识只有量子系统才具有的全同性含义了。现有物理学对全同粒子的认知，完全是针对时空构架下的个体而言的。量子个体所具有的交换对称性或反对称性，完全要基于如此时空构架下的粒子全同性。为此，两个电子或其他粒子要间隔多远，才可以被看做是具有全同性呢？这究竟是以波包的重叠为准，还是以类时间隔为准呢？对于不同的分析对象，以及不同的教科书，都有不同的说法。为此，前文定义的能动构架，就给我们带来了理解全同性的新思路：既然在时空构架下，所有个体基于时间和空间的物理特性，实际上已通过iEt/ћ和ipx/ћ的Fourier变换之积分而“叠加”而完全被“隐藏”起来了。那么，我们对全同性的认知，就要体现在如此“叠加”后的系统效果。为此，对全同性的理解若从系统出发，就只剩下能量E和动量p构成的系统能量集合了，这也是熵能判据分析的出发点。

在能动构架下对全同性的以上系统理解，就导致了量子统计系统的定域性概念并不存在了。不过但这当中，系统量子状态之填充数的概念，是依旧存在的。能量作为系统的广延量，构成了前述推导熵能判据的系统所有能量之集合，而动量p作为个体特性，则要体现出系统量子状态的填充。能量E相同但动量p的方向可能不一样的两个系统个体，就是能量简并的。所有个体的可能组合构成的能量集合之演化呈现，就是熵能系数最大化的状态。进而，这当中巨正则系综的化学势概念消失了，取而代之的是能量集合中的基准能量与填充数有关，前文已经谈到。显然，以上基于能动构架的分析就与当今平衡态统计物理中，由位置Δx和动量Δp所构成的所谓相空间概念，完全不同了。以上属于基于系统和子系统概念下的稳态和平衡态分析，要呈现出系统演化可能形成出不同的物质状态结构。

这样一来，我们对简并稳态的分析也就简单了，其物理本质所体现的就并非不同能量和动量所构成的全同子系统之量子统计，而是相同能量和绝对值相等的动量个体，所构成的简并稳态。不过在这当中，子系统的结构未必就体现为简单的粒子个体，它们还可能是由多粒子构成的元胞构成的。例如，量子纠缠系统中就会存在多粒子纠缠，在超导和量子Hall效应中，则为电子配对元胞或者更多的、大量强关联电子构成的子系统。它们要构成简并稳态并不来自个体之间的相互作用，而是某种量子隧穿。前文已经谈到了共振隧穿，但我下文要给出的更清晰的物理图像则为量子纠缠体系中的势阱隧穿。而在超导电子体系中穿越费米面之配对电子元胞则体现为势垒隧穿，这些我下文还要做详细分析。

最后，我再简单说明一下，普通热平衡态和简并稳态虽然都要基于全同性，但两者是有区别的。热平衡态作为温度可连续变化的系统，其系统个体的能量和动量的变化也是具有连续性的。对于任何参量都可连续变化的系统，就很难表现出测量的鲁棒性。凡是具有测量鲁棒性的系统，其子系统构成就必须具有前述的封闭性或耗散性。为此，简并稳态的重要特征，就是其基本系统个体都要具有不连续的、量子化的全同性。但如此不连续特征如何在物理图像中显现出来？这就比连续能级的热平衡态要复杂得多。连续能级系统至多存在能隙问题，而简并稳态则涉及到子系统的结构能否实行相互协同从而导致全同性性，以形成整体结构下的简并稳态。对此，下文我要针对量子纠缠和超导现象再做进一步的分析。

2.3 量子隧穿和随机力的两类驱动——简并稳态和热平衡态的跷跷板效应

有了以上能动构架下全同性子系统的分析，下一步我们就要进入到对简并稳态理解之最关键的物理机制分析了：大量的系统个体，它们在什么情况下会演化成为普通的热平衡态，什么情况下又会演化成为全同子系统构成的简并稳态呢？这就要体现为熵能判据下两类驱动力联合作用的跷跷板效应。为此，在这两类驱动力中，一是能动构架下的量子隧穿，这是横向结构所特有的子系统之间的协同力量，完全不同纵向结构下时空构架的相互作用。第二类驱动力则为随机力驱动，如此随机力可能来自环境温度，对于量子纠缠的少量粒子构成的系统随机力也可能来自真空涨落。熵能判据会让这两类驱动力把系统或者趋于热平衡态，或者趋于简并稳态，二者均为熵能系数最大化的极值点。在这当中，简并稳态形成于随机力很弱的情形，而随机力强度一旦超出一定阈值，系统个体就会退相干而演化成为具有统计分布的热平衡态，我称其为跷跷板效应。为此，简并稳态和热平衡态就体现为跷跷板的两端。

在具体论证简并稳态形成的物理机制之前，我有必要先说明一下它和普通热平衡态之间的本质区别。以上时空构架和能动构架的区分，实际上体现了只有经典物理才属于时空构架，量子和统计物理都属于能动构架，因为量子力学的路径积分表述和统计物理的配分函数是具有等价性的。所以，简并稳态和热平衡态都是基于能动构架的。两者的区别并不在于构架问题，而是在于前者简并稳态来自量子隧穿并无空态，后者热平衡态则是通过量子跃迁来维持的，必须存在空态|0>。前文提到的费米和玻色统计中均存在虚时跃迁，即能量为ε₁的量子态|ε₁>穿越空态|0>再激发到能量态|ε₂>的过程。这就与简并稳态的势阱隧穿不同，量子跃迁必须在空态|0>停留，进而空态还是量子统计中几率最大的量子态。但简并稳态并无空态，而只有基于子系统量子隧穿的协同作用，从而会导致子系统能量的简并，这才形成了等能量等几率化的简并稳态。

有了以上描述，这就可以从更广义的纵向结构和横向结构来理解简并稳态和热平衡态的区别了。简并稳态中的子系统只体现了横向结构，不同子系统之间仅有量子隧穿和随机力驱动，而无须依赖纵向结构之时空构架下系统个体之间的相互作用来维持。前文已经谈到，我是基于倍能态|nε>，来理解量子纠缠和超导现象的。这在量子纠缠中的体现是穿越了空态|0>的势阱隧穿，而在超导现象中则为子系统电子配对能量穿越了费米能的势垒隧穿，而相互协同成了等能量的简并稳态。如此势阱和势垒这两类量子隧穿之物理图像，我会在后文分析量子纠缠和超导现象时再做仔细分析，这里先不细述。但在此我要强调的是，量子隧穿的物理本质是体现了某种非线性力，而随机力或者体现为k_BT的环境温度，或者体现为Casimir效应的真空涨落，它们都与系统个体之间的相互作用无关。当然，至于每个子系统的形成，如超导电子配对，我称其为元胞则来自电子-晶格的电磁相互作用，这是另一回事，因为这并不涉及到更高一级的简并稳态之结构的形成。

有了以上简并稳态的基本描述，我就要再进而论证它与量子隧穿与环境温度的关系。这要从测量的线性响应谈起。以通常的电导的测量为例，施加的电压就体现为对系统的扰动，而生成的电流则为线性响应，其比值作为电导在通常情况下呈现为线性关系。进而，温度增高则表明了无序热运动的增强，这会令电阻增加或电导下降，从而体现了电导测量的温度效应，这当然属于线性响应。但是，并非所有测量对应的响应都是线性的。对于半导体材料，其导带电子已经填满，而导带与价带之间存在量子能隙。在此情况下做电导测量就会有所不同了，而呈现出某种非线性效应，即温度的增高反而会令半导体电阻下降、电导增加。这是因为热随机力可能驱动导带电子穿越能隙而抵达价带。这样一来，以上量子隧穿效应和温度随机力的相结合，就构成了非线性响应。以上例子说明了，在量子隧穿这一特殊非线性力的作用下，随机力会呈现为某种特殊的驱动，而令系统朝着特定有序的方向演化。

这就说明了随机力还可能起到令系统演化有序化的作用。这一点可能违反了人们的常识理解，但这又恰恰是最近几十年来非平衡态物理研究的重要结论。可惜其他物理学研究领域的人们很少关注到这一点。事实上，本人的导师胡岗教授在他的《随机力与非线性系统》一书中所指出的最重要的观点就是，“1970年代以来的非线性科学和统计物理研究表明，随机性不完全体现为对宏观秩序的破坏作用，在一定的环境下，它在产生相干运动和创建'序'的过程中，还会起到积极的作用”。但是，目前非平衡态物理所涉及到的随机力与非线性描述，大多是基于经典物理的描述，而并未涉及到量子现象。所以，以上对随机力的观点才并未受到物理学界的普遍重视，而本文则是把非平衡态物理的观点引入到凝聚态物理中来的一次尝试。

为此，这就就很好理解我前述要把简并稳态和热平衡态看做跷跷板两端的观点了。事实上，如果以基于系统演化的熵能判据为基础，随机力会给简并稳态“产生相干运动和创建序”就很明显了。这是因为熵能系数的最大化的确存在等几率化的简并稳态，和完全无序的热平衡态这两种完全不同的表现形式。我们不能认为系统演化就一定要趋于完全无序的热平衡态，趋于有序情况下的简并稳态也是完全可能的。为此，简并稳态和热平衡态的跷跷板，也体现为系统能演化趋于有序态或无序态的跷跷板。这个观点作为用现代物理学观点来理解系统演化问题，可能是具有颠覆性的。在本小节最后我要多说一句，跷跷板这个用词来自北京大学汤超小组对细胞命运改变所提出的模型，我将其在《框架》一文中首先引入到系统演化结构下的活力稳态，本文又进而用来作为对简并稳态的分析。在下面两小节，简并稳态就进而体现在量子纠缠的共振隧穿和超导现象的中间态问题上。

3. 量子纠缠形成的共振隧穿机制——从对电子自旋态的简并稳态理解谈起

简并稳态的物理本质来自玻色子系统所构成的，由大量等能量粒子或子系统构成的倍数能量态|nε>。为此，以上倍能态未必一定要隐藏在玻色统计系统中。系统在演化过程中，部分系统个体可能通过如此倍能态而自发形成简并稳态，并从热平衡态中脱离出来，从而可能单独构成了量子纠缠态——这是从简并稳态出发来理解量子纠缠的。为此，量子纠缠特性就并非来自系统个体之间的相互作用，而是体现了倍数能量态|nε>之横向结构。我下面的分析将显示，体现为非线性力量子隧穿以及热随机或真空随机力的驱动，才会令系统演化形成简并稳态结构，这要比普通的热平衡态之熵能系数更大，且系统具有稳态的鲁棒性。我已在前文论述了对简并稳态基本物理理解，本小节只是要从电子结构出发来认识简并稳态形成的本质，从而并把量子纠缠现象理解为某种简并稳态下的共振隧穿的量子跃迁。进而，我还要将量子纠缠划分为同源性和非同源性两大类，并给出基于共振隧穿的量子纠缠W模型。

本文认为，要理解量子纠缠特别是光子的量子纠缠，这并不体现在光子之间会存在任何纠缠，而是体现在发出光的电子与光子构成了系统的整体。为此，电子能级跃迁的发光过程是否还可能存在其他形式？目前人们只是把光子的生成，看做是电磁作用下不同电子态之间的量子跃迁，这个观点当然没有错，并且也是得到了光谱学以及其他大量实验的验证。然而，如此单个电子态不同能级之间的跃迁的观点或许并不全面，人们所测量到的量子纠缠态现象，或许体现了某种电子构成的系统稳态之发光机制，从而可能会偏离以上常规理解。为此，本文下面要提出量子纠缠的共振隧穿机制，就力图解释生成倍数能量态|nε>之量子纠缠态光子的生成机制——这并非来自单个电子，而是来自两个或多个电子自旋态之共振隧穿而形成的简并稳态跃迁。下面，我就要从电子简并稳态之跷跷板效应谈起。

3.1电子自旋共振之隧穿简并稳态理解及其演化的跷跷板效应

前文已经谈到，经典和量子规律具有互补性。量子擦除实验也揭示了，干涉图样的可视性与其路径信息也具有互补性。我认为，如此互补性作为普遍的物理学原理，还可进而可用于理解量子纠缠。为此，我进一步的猜测就是，量子叠加态和量子纠缠态是否也具有某种互补性？这里我先说明一点，下面我并未把电子的两个自旋态看做量子纠缠态，而只是被看做简并稳态，这是因为严格的量子纠缠态还要联系着更高能激发态之间的共振隧穿。不过，在下文中我有时会混用这量子纠缠和简并稳态两个概念，这是因为按照我的定义，量子纠缠就属于简并稳态，两个概念不加区分给出的物理图像会更直观。下面，我要先谈“太阳中微子失踪案”和Stern-Gerlach这两个实验。是这两个实验给我带来了对电子自旋的简并稳态猜想，并由此引入了共振隧穿和跷跷板效应这两个重要概念。

在《框架》一文中，我分析了电子中微子和μ子中微子的振荡问题。这体现为任何量子叠加都要满足含时Shrödinger方程给出的第二公设，即量子叠加态的演化公设。假定|1>和|2>两个量子态叠加为c₁|1>+c₂|2>。其演化会形成基于能量的时间相位差c₁|1>+c₂exp(-iΔEt)|2>，中微子振荡就体现了这一点。另外，两个量子态所发生的干涉或衍射现象，也要基于波矢的空间相位差c₁|1>+c₂ exp(-ikΔx)|2>。很显然，中微子振荡体现为能量差ΔE≠0，而普通光子的干涉行为则体现为空间相位差Δx≠0。这似乎表明，量子叠加态要构建在能量和相位的差别之上。为此，若把两个既无能量差也无相位差的量子态“捆绑”在一起，该量子系统又会如何演化呢？按照以上量子力学演化公设，|1>和|2>这两个不同的量子态似乎就会永久地保持某种独立性而“老死不相往来”，而并不会演化成任何具有叠加效应的量子状态了。这幅物理图像合理的吗？两个不同的量子态可能叠加，但如果状态越接近，即能量越接近相位也越接近，反倒就没法形成叠加了——这不得不激发人们的想象，或许这当中会形成另类量子结构。

进而，既无能量差又无位相差的量子态之典型案例就体现为电子的两个自旋态。受到Bohm于1951提出双势垒隧穿，后来又依此原理制作成了共振隧穿量子器件的启发，我就设想，可用共振隧穿来理解，电子为何会要存在两个自旋态|↑>和|↓>。事实上，这两个量子态可看做是电子中能量各占几率一半的简并稳态。这就意味着，两个无法相互叠加的量子态，若被看做是能动构架下相互共振隧穿的简并稳态，就很显合理了。这幅基于电子自旋的简并稳态图像，也是我早年提出原初角动量物理思想的延续。我认为电子也是有结构的，这体现为原初角动量之量子态等几率化而形成的高温稳态，详见我在《框架》中的描述。为此，由|↑>和|↓>构成的这两个自旋基态，若被看做是两个量子态相互共振隧穿的简并稳态，这就与高温稳态一样构成了封闭系统。必须基于封闭性我们才能理解QED对电子自旋磁矩的修正。否则的话，若为开放系统，电子自旋磁矩就会被外加磁场的磁化，而不可能具有严格不变的固有磁矩。

因此，尽管我们对电子结构并无清晰的了解，但对于共振隧穿之物理图像，我们依然可做某种比较分析，并将电子自旋磁矩与铁磁体的退磁行为做类比。铁磁体材料在温度超越居里点后冷却，就会退磁而形成局域磁畴结构。这说明了铁磁体系统之能量宁愿形成系统个体之间的磁矩扭曲能，也不会形成外部磁场能，尽管两种情况下系统的总能量一样，外磁场的加入会将退磁材料磁化而恢复铁磁体。为此，总能量相同的系统，为何不会以铁磁体呈现，而其自发形态必须呈现为退磁特性呢？原因就在于，退磁态和铁磁态两者的熵能系数并不一样。前者系统对应的可能状态数目更多，其熵能系数会更大。同样的道理，电子的两个自旋态之间要形成简并稳态，或许也体现出了类似的物理机制——电子自旋量子态|↑>和|↓>的能量等几率化构成了某种纠缠的简并稳态之后，这会导致系统的熵能系数更大，其磁场能也并不会因此外泄到整个空间。这说明电子自旋态与磁畴结构的自发形成，是具有可比性的。

带给我简并稳态联想的，还有早期的Stern-Gerlach实验。若按照常规的经典物理理解，我们应当把电子自旋看做是绕某个轴的角动量旋转，那么，外磁场必然要令自旋态产生某种进动。但Stern-Gerlach实验所揭示的物理图像却是，电子自旋在外磁场下只存在|↑>和|↓>的这两个量子态，而并非体现为进动所导致的连续谱。为此，这就带来了两个自旋量子态的等能量等几率化的共振隧穿物理图像，从而构成了“另类”的简并稳态。外加磁场为何并不会令电子自旋发生进动？这是因为此刻电子的两个自旋量子态要保持为某种共振隧穿量子态，这会令所有可能磁矩方向的自旋量子态都等能量等几率。进而，|↑>和|↓>两个自旋态通过配对而实际上构成了玻色子系统。对于玻色子系统，系统个体的等能量特性才是可能的。进而，若把一个电子也看成是一个系统，其自旋只可能朝上|↑>或者朝下|↓>，这就要服从费米统计。可见，以上分析意味着，电子可能处于两种不同状态，配对成玻色子，或单独为费米子皆有可能。

为此，对于以上|↑>和|↓>这两个自旋量子态所构成的玻色子的状态，我就称其共振隧穿下的简并稳态，这也是熵能系数最大化的状态。如此简并稳态显然有别于电子要满足费米统计的另一种状态，热平衡态。进而，电子为何要在费米统计下的热平衡态和共振隧穿下的简并稳态这两种状态下，相互跳转呢？这就体现了跷跷板效应。在进而分析跷跷板效应之前，我要先说明一点，我为何在此要如此强调共振隧穿的物理图像。事实上，电子的两个自旋态波包之间可能存在着库伦排斥力，这就体现了形成共振隧穿所要穿越势垒的物理图像，尽管对其势垒的结构我们并不清楚。事实上，其他带电粒子如质子，也应当同样体现了基于共振隧穿的简并稳态特性。然而，其他不带电的粒子如光子，虽然也存在不同的自旋态，但并无库伦排斥力就不存在共振隧穿，因而只能以单独的自旋态或偏振态存在。

另外，在《框架》一文中，我用了|↑>→|0>→|↓>和|↓>→|0>→|↑>的符号来表述简并稳态，这是要强调两个电子自旋态所构成的横向结构只有量子隧穿而并无电磁相互作用，这与目前人们对电子基于Shrödinger方程的包含了各种自旋-自旋以及自旋-轨道耦合作用的单个自旋量子态理解，是完全不同的。然而，我又用此符号表示量子统计下的各种能量态要穿越空态|0>，如此符号系统就把量子隧穿之简并稳态与虚时跃迁之统计分布态，这两类量子状态混用了，从而引发了误解。多位学人指出了这一点，我对此很抱歉。不过，这也正体现了我潜意识里的物理理解：虚时跃迁形成的热平衡态与体现为某种纠缠特性的简并稳态，这两者实际上构成了某种跷跷板结构。下面我就来进而分析跷跷板效应的物理机制。

事实上，前文已经谈到了，任何量子统计都要把量子空态|0>作为基准能量态，即无论是玻色统计和还是费米统计，其分布的形成都是基于量子空态|0>的虚时跃迁。进而，量子叠加态和量了纠缠态又具有互补性，那么，量子叠加态和量子统计态之间，又存在何种关系呢？为此，我认为这两者之间也存在互补性，前者具有量子相位而后者相位丧失了，这也可理解为叠加态虚数的量子相位转变成了统计态实数的温度效应了。为此，这就令我想到了，量子统计态、量子叠加态和量子纠缠态这3种量子态，似乎可以与经典系统演化的一个重要概念，Lyapunov指数，建立起某种演化对应的关系。Lyapunov指数若大于零系统就处于混沌态，似乎就对应着无序开放的量子统计态，小于零则为封闭有序的经典周期态，这就对应于量子纠缠态或简并稳态。而Lyapunov指数等于零的经典物态也并不平庸，这属于系统演化的保守系统，后文在讨论超导问题时我还要要分析。但在此我要说明的是，这更像量子叠加态。

这样一来，以上量子统计态、量子叠加态和体现为量子纠缠的简并稳态似乎就构成了一幅跷跷板物理图像。量子叠加态居中作为跷跷板的支撑中点，它即可让跷跷板倒向量子统计态，也可倒向量子纠缠态，或者更广义的简并稳态|nε>。很显然，这幅跷跷板的物理图像，要比前文已经在简并稳态中谈及过的跷跷板图像更显结构清晰了。不过，下文将看到，共振隧穿形成的简并稳态|nε>更有意义的还是其激发态，而以上讨论的似乎还只是ε=0的基态理解。电子简并稳态从激发态跃迁到基态才会发出量子纠缠态光子，下文就要对此详尽分析。

3.2 能动构架下同源性和非同源性的量子纠缠

有了前文对电子自旋态的跷跷板描述，下面我就要进而给出简并稳态的电子跃迁而形成量子纠缠光子的物理机制了。首先，形成简并稳态必须来自玻色子系统，费米子系统既然不可能形成简并的能级，就无法构成简并稳态。不过，在一个原子中的某个电子的两个自旋态|↑>和|↓>却可发生共振隧穿，这是因为两个费米量子态已构成了玻色子系统，从而可形成简并稳态。为此，共振隧穿作为两个电子自旋态相互隧穿的体现，其构成的简并稳态会从高能级跃迁到低能级，从而发出相互纠缠的光子。其次，不同材料中的电子也可能共振隧穿，从而形成简并稳态并跃迁生成纠缠光子。如此不同来源电子的自旋态的配对而形成共振隧穿看起来不可思议，因为这不符合我们对基于时空构架下量子势垒的理解。为此，我们只能从能动构架来理解，我马上就要做分析。前者来自同一个原子中电子不同自旋态的共振隧穿，我称其为同源性量子纠缠，后者来自不同材料中电子之间的共振隧穿，就属于非同源性的量子纠缠了。

进而，无论是同源性还是非同源性的量子纠缠，有一点都很重要，那就是它们都来自能动构架下的共振隧穿，这和我们在时空构架下对量子隧穿的常规理解有何不同？就此我要简单说明如下。物理学对量子隧穿的通常理解，似乎都体现在要把势垒框定在很狭窄的空间范围内，这才有利于量子隧穿之穿越。但我认为如此基于时空构架的观点并不准确。事实上，按照测不准关系ΔxΔp～ћ以及ΔEΔt～ћ，只要Δp和ΔE越小，Δx和Δt就会在空间和时间上展宽得越厉害。为此，简并稳态是受熵能判据的驱动而形成的，其共振隧穿之形成机制要令不同量子态发生极强的简并才能让熵能系数最大化，这就意味着Δp→0和ΔE→0。这样一来，这就对应着量子纠缠光子会在相当大的空间Δx和时间Δt范围内都可以被观测到，也就是说，空间定域性和基于相对论的时间间隔性，都在简并稳态中不存在了。这就是我们对量子纠缠基于能动构架的物理理解。进而，我还要指出以下两点：

首先，就共振隧穿这一效应本身而言，它属于时序过程还是即时过程？或者说，这是电子先形成了简并稳态，然后再发出两个或多个纠缠光子，还是这个过程根本无需时间的瞬时行为？在已有共振隧穿的理论和实验分析中，这也是尚未解决的问题。但人们倾向于认为，这并非时序过程，即共振隧穿的实现和生成纠缠光子的过程，非常类似于常规电子发光或量子测量之波包塌缩，属于即时过程。这就意味着两个电子自旋态形成了共振隧穿的简并稳态，与两个纠缠光子相互隧穿而形成量子纠缠态，这两者在时间上是完全同步的。这样一来，电子的共振隧穿就可以完全等价地被看做是纠缠光子之间的相互纠缠，即光子的量子纠缠和电子的共振隧穿，两者在物理上是完全等价的一回事。所以，|1>→|0>→|2>和|2>→|0>→|1>这个符号，我下面既可能用来表示隧穿共振的电子自旋态，也同时用来表示相互纠缠的的光子态，两者属于同一系统中的不同表现形式。

其次，就跷跷板效应对量子纠缠态之简并稳态的形成过程，有两个因素是非常重要的，一是体现为为非线性力的量子隧穿，二是这个过程中随机力的影响。先谈共振隧穿还是其他量子隧穿之简并稳态形成过程，多体系统的物理图像反倒还清晰一些。在《框架》中，我分析了He原子系统可能是凝聚态中唯一的具有排斥力的系统，其能动构架下的图像就是由相同动量个体而构成的He原子球面，从而相邻原子会隧穿排斥力势垒而形成等能量面，我称其为层流模型。下文我还要分析的超导问题，也是基于配对电子元胞要穿越费米面的势垒隧穿，从而形成了简并稳态。然而，对于量子纠缠系统之共振隧穿而言，其个体要少得多，其能动构架下的物理图像要更依赖于实验装置，反倒不容易清晰地建立起来。所以，我下面才需要分别论述同源性和非同源性量子纠缠以为下文的W模型的创建提供分析基础，这两类纠缠还是体现出了某种很不一样的特性。下面，我要力图通过纠缠态制备之实验装置的描述，以给出这两类纠缠更为清晰的共振隧穿之物理图像。

在跷跷板效应中，随机力对量子纠缠形成过程的影响也很大。电子自旋态能否能量简并而形成共振隧穿，还是只能成为相互独立的量子统计态，这要取决于与系统演化的初始状态，包括个体之间的初始能量差ΔE，以及系统内部结构对演化的影响。对于能量差ΔE很小的量子态，呈现为随机力的熵能判据驱动，才会令系统中的量子态隧穿“掠过”空态|0>，从而形成共振隧穿。但如果能量差ΔE很大，这就会令系统个体演化为互不相干的统计分布状态，从而构成了共享空态下的量子统计态。所以，量子纠缠态与量子统计态作为跷跷板效应的两端，分别体现为要“隧穿掠过”还是“几率占据”量子空态|0>，这既与能量差ΔE有关，也可能与随机力的强度有关。进而，我称要穿越量子空态|0>的量子纠缠态，为势阱隧穿型的简并稳态。而对于超导或超流也包括拓扑物态，它们往往体现为基态简并的宏观量子态，是要依赖于势垒隧穿才能形成，我则称其为势垒隧穿型的简并稳态。

1）同源性量子纠缠

先谈同源性量子纠缠态的制备。其形成纠缠态的比例通常很低。例如，常见的纠缠光子制备方法来自用氩离子激光器的351.1nm的激光束照射偏硼酸钡晶体，从而可能会生成两束702.2nm的光子，一个具有水平偏振|H>，另一个为垂直偏振|V>，很显然，两个光子的偏振方向要相互垂直，这就与我前文分析的来自电子的共振隧穿不矛盾，这来自同一电子的不同自旋态|↑>和|↓>所形成的系统总自旋为零的简并稳态，从高能级到低能级的量子跃迁发光。两个光子的纠缠体现了在激光束照射后系统能量的转换。一个光子能量劈裂成了两半就生成了两个纠缠光子，伴随着以上简并稳态电子对的跃迁，就形成了|H>→|0>→|V>和|V>→|0>→|H>的相互量子共振隧穿。前文已述，量子纠缠光子和共振隧穿电子表述是一回事。实验发现，其生成纠缠光子对的最高几率只有大约10^-3。如此之低的纠缠态制备比例，应与共振隧穿的特性和随机力的强度两个因素有关。

事实上，从共振隧穿的特性来看，只有某些特定能级的量子隧穿才可能发生共振，从而令简并稳态只能在特定的能级下形成，其相应的量子纠缠光子也必须限定在吻合共振隧穿跃迁的某一特定频率。所以，虽然我并未能给出严格的共振隧穿模型，但如果量子纠缠来自共振隧穿这一物理机制，那么，可以预期的就是，若激光束照射的波长可微调，那么，共振隧穿形成的比率也是可相应调整的。从而系统也应当会相应地改变量子纠缠态生成的比率。另外，随机力作为熵能判据的驱动力，其强度也会影响量子纠缠态生成的比率。为此，让照射的激光通过某种装置以让其频谱充分扩展，这将体现出系统的随机性增强。我个人认为，随机性的增强既可能会降低，但也可能增强量子纠缠态制备的比率。犹如前文的举例，半导体的电导率可能会随温度的增高而增加。当然，以上都是我基于共振隧穿的原理而提出的猜想，而有待于实验的进一步认证。

所有制备纠缠态的实验装置，为何通常会令绝大部分比例的量子态，都要自发演化成为普通的热平衡态？这或许正是跷跷板效应的体现。系统要共振隧穿而形成倍能态| nε>下的量子纠缠态的话，由于穿越了空态|0>而并未占据空态，其系统能量就通常要高于相应的量子统计态。能量越高的量子态，其形成的概率通常也会越低。所以，纠缠态制备在统计物理的意义上来说，这也要体现为是跨越了某个能量壁垒的小概率事件——或许这也是形成纠缠态的几率通常很低的一个重要的原因。另外，在量子纠缠态的形成和传播的过程中，其随机力涨落可能并非来自，或者至少不完全来自环境温度，而是来自某种真空涨落。如此随机力涨落与跷跷板效应的关系如何？如果按照通常非平衡态物理对经典物态的理解，随机力很小可能会有利于让跷跷板倒向形成量子纠缠态的这一边，而随机力很大则可能导致已经的纠缠态发生退相干。然而，对于量子系统，却并无准确的随机力描述，后文还要谈到。

另外，同源性量子纠缠的生成几率可能还与子系统制备的个体大小有关。这特别体现在非光子系统的量子纠缠态制备和生成上。个体越小的子系统，形成等能量之简并稳态下的量子纠缠就可能越容易。基本粒子系统通常就很容易形成量子纠缠。其物理机制或许体现了，越小的量子个体就理应会越容易受到熵能判据的驱动，而形成等能量化的简并稳态。事实上，量子纠缠的最早发现来自Wheeler教授提出的，一对正电子素(positronium)的湮灭会产生两个纠缠光子。这是华人物理学家吴健雄所验证的，尽管当时并未使用纠缠一词。最近的实验还证实了，不同的正反物质π⁺和π^–这两个介子之间也存在量子纠缠。以上这些基本粒子所生成的纠缠都属于同源性量子纠缠。这也体现了，基本粒子这些小个体的相互隧穿纠缠态，可能来自真空的随机力的涨落驱动，而并非来自环境温度的随机力。

2）非同源性量子纠缠

第二类非同源性量子纠缠，就体现为两个独立来源的玻色子个体或子系统也能演化成量子纠缠。我的理解是，这就体现了量子纠缠之共振隧穿的物理本质具有能动构架下的非定域特性，下一小节在论证W模型时，我还要解释如此基于能动构架的非定域隧穿。例如，|1>和|2>为两个不同来源的电子自旋态，跷跷板效应可通过共振隧穿的驱动，让两者的能量完全趋同，从而和前述同源性量子态一样，非同源性的量子态也会势阱隧穿空态，而形成|1>→|0>→|2>和|2>→|0>→|1>的量子纠缠。这当然也属于熵能判据驱动的后果，因为简并稳态的熵能系数更大。进而，简并稳态因为不包含空态|0>，n个系统个体相互纠缠而形成的倍能态|nε>，也会因为其系统个体数目n的增加，而导致相互纠缠后的系统能量也会比形成量子统计态更大。所以，跷跷板效应所导致系统形成多粒子纠缠态的比率，也会随着纠缠粒子数的增加而大幅下降。即让越多的非同源性粒子纠缠在一起，在实验制备上就越不容易。

以上非同源性量子纠缠已在不同实验中被发现。如不同来源的光子，一个来源是分子振动的发光，另一个来源是原子的发光，这两类光子也有可能发生量子纠缠。但我依然认为，如此量子纠缠也应当来自产生这两个纠缠光子的实验装置，在能动构架下的共振隧穿。只有共振隧穿形成的简并稳态，才会导致熵能系数更大的量子纠缠态的形成。近年来的实验还发现，纠缠现象进而还存在于个体更大的介观物质之间，从两个小钻石颗粒，直到由10¹⁵个金属铝原子制成的两个鼓膜，都存在相互纠缠的证据。然而，在所有这些实验当中，有一点是似乎是可以肯定的，如此非同源性量子纠缠|nε>也只可能在玻色子系统中产生，却并不会发生在费米子系统中。如前述两个不同来源的电子会发生量子纠缠，这来自两个配对成了玻色子系统。然而，前述正反物质的π⁺和π^–两个介子之间有量子纠缠，因为介子是玻色子，这可能来自更深层的简并稳态。但两个正反电子对或正反质子对，我认为就不可能形成相互纠缠。

事实上，在1935年著名的EPR论文之后，1951年Bohm进而了提出后人称之为EPRB的吊诡理想实验。零自旋中性的π介子可衰变成正负电子对，假设电子被Alice观测到，正电子则被Bob观测到。为此，这被简化称之为|A>和|B>两个量子态，就被认为会具有量子纠缠。许多介绍量子纠缠的科普文章都提到了这个理想实验。但是，如此正负电子对的量子纠缠，却为何从未真的在实验上被观测到？前文已述，正电子素的湮灭成为一对光子，这早已被公认是量子纠缠的最初发现。然而，所有的电子加速器都有极大概率产生出同属费米子的正负电子对，质子对撞机更有可能生成大量正负质子对，但为何我们却并未发现有任何正负电子对，或正负质子之间的量子纠缠的实验报道呢？这就说明了，两个不同类型的费米子之间，或许真的不大可能形成量子纠缠。前述的倍能态|nε>只能呈现在玻色子系统之中。

另外，无论是同源性还是非同源性的，量子纠缠都只可能形成于等能量的两个子系统之间。为此，有文献把Ca⁴⁰原子的联级发光的两个光子频率不同也看做纠缠态，这个观点我并不赞同，因为这两个联级发光的光子存在一个时间顺序问题，先发出的光子若为左旋偏振，后发出也为左旋偏振，否者的话会同时为右旋偏振。尽管这两个发光过程的时间差可能非常小，但毕竟其本质就属于相互关联的两个光子，而不是来自共振隧穿的简并稳态跃迁，而同属一个系统的含义了。前文已述，共振隧穿和量子纠缠并非时序过程，而是即时过程。所以，我认为Ca⁴⁰原子的联级发光的这两个光子，就不能被认为是形成了纠缠态，而其自旋所具有相关性只是体现了某种角动量守恒的特性。进而，按照前述共振隧穿的物理理解，以上联级发光也只体现为单个电子态的发光，只是呈现为光路可能出现左旋或右旋的两个偏振通道而已，这当然也与简并稳态的物理机制不符。

还有一个实验小组在2014年曾声称，发现了不同颜色的独立光子的量子纠缠现象，并将其视为这是世界首次发现。但我认为这个实验肯定有错。当然，我只是从量子纠缠来自简并稳态的共振隧穿来理解的，不同颜色的独立光子之能令不同，就绝无可能形成简并稳态意义下的量子纠缠。实际上，这些年来我一直关注这个实验，并从引用这篇文献的论文来看，以上声称的实验结果，似乎并未得到任何其他实验小组重复认证。在《框架》中，我已经对此作了一些分析，就不再此重复了。总之，必须是等能量等几率的子系统才可能构成简并稳态，这是量子纠缠形成的先决条件。若是光子的纠缠就要来自电子的共振隧穿，这既可能产生于同源性系统，也可能发生在非同源性的系统之间。

3.3 量子纠缠的W模型——基于共振隧穿和跷跷板效应的物理理解

有了前文对量子纠缠的共振隧穿描述，我就可以介绍和分析描述量子纠缠的W模型了。关于W这个字母所代表的物理图像，我先简单解释一下。W体现了两个V构成代表左右两个势阱，而中间夹着一个倒立的V是一个势垒，为此，势阱中的两个量子态要穿越中间的势垒，才能形成基于共振隧穿的简并稳态。在势阱中可能存在多个形成共振隧穿的能级，从而也就可能对应着多个能量的简并稳态。对于同源性量子纠缠，其对应的电子共振隧穿图像，就体现为单个原子中的电子受束缚势能的约束无法逃逸，而电子的两个自旋态之间夹着库伦排斥势。而非同源性量子纠缠之图像，则体现为不同原子中的两个势阱中的电子自旋态，会穿越各自的束缚势能，跨空间阻隔之势垒而形成共振隧穿。简并稳态从高能级跃迁到低能级就会产生纠缠光子，这会与原子中单电子能级发出普通光的现象共存，从而形成跷跷板效应。

然而，无论是Bohm早在1951就提出双势垒隧穿，还是如今介绍共振隧穿机制的教科书，其共振隧穿的物理图像都体现在在时空构架下，用两个方势垒中间夹着一个势阱，来做最简化描述的。但是，以上电子自旋态之间的共振隧穿图像，却必须体现出要把时空构架改为能动构架，这样才能形成所有系统个体之动量差和能量差Δp→0和ΔE→0的简并稳态。按照Heisenberg的测不准关系ΔxΔp～ћ和ΔEΔt～ћ，如此能动构架下的强简并状态所带来的时间和空间测量后果就是，量子纠缠具有了Δx→∞和Δt→∞的时空扩展性，这才能解释量子纠缠测量的时空大尺度相干性，而且这种相干性还可在形成纠缠态以后长期保持，如此相干性并非来自系统个体的速度传播特性。这属于量子纠缠的系统特性，与单个电子发光让频谱宽度保持在Plank常数ћ的范围之内虽不相同，但都是基于测不准原理。

事实上，以上物理描述也体现了跷跷板效应。熵能判据会令系统演化分别倒向了具有系统特性的简并稳态和仅含个体统计分布的热平衡态。作为电子能级跃迁形成的统计分布，则测不准关系ΔxΔp～ћ和ΔEΔt～ћ体现了其光子必然存在某种具有宽度为Δx的波峰分布，穆斯堡尔谱仪的测量原理就体现了这一点。但是，作为纠缠光子形成的简并稳态，其系统动量差和能量差Δp→0和ΔE→0会导致Δx→∞和Δt→∞的时空扩展性，这会大空间尺度地和大时间跨度地体现在测量特性上。进而，如此对纠缠光子的测量特性，还要与电子自旋量子态的共振隧穿具有同步性。所以，电子的共振隧穿和光子的量子缠性为一枚硬币的两面。不过，跷跷板效应可能还会体现在，电子的共振隧穿的高能级稳态，还有可能跃迁到电子的正常基态，下文还要简单提到这一点。为此，如果单纯从对量子纠缠的物理理解来看，以上物理描述就已经给出共振隧穿产生纠缠光子的整体物理图像了。

既然已经有了以上物理图像，是否还需要再建立这个描述共振隧穿机制的W模型呢？事实上，在普通原子中对于电子从高能级到低能级的跃迁发光，似乎也不需要我们建立什么体现跃迁发光的物理模型，人们知道了原子发光的物理基础是电子能级的跃迁就足矣。然而，我个人却认为，建立以上量子纠缠的W模型还是有必要的。因为这不单地纯是为了理解纠缠态光子形成的机制，而更加体现在，我们对量子纠缠行为必须有了严格的数学描述，才能加深我们量子纠缠本质的理解。然而，欲建立起W模型，这还要涉及到我们对物理学基础理论的以下3点描述问题。一是共振隧穿之简并稳态的数学描述问题，二是能动构架下跷跷板效应的随机力描述问题，第三点则是基于测量非线性响应数学描述问题。我之所以提出这3点描述问题的目的，也是期待各位博友能够充分考虑这些物理因素，以完善以上W模型的创建。

1）共振隧穿之简并稳态的数学描述问题

文小刚教授近年来才提出了短程纠缠和长程纠缠态的描述问题，其主要观点是短程纠缠不过是量子直积态，而要对不可描述的、并非短程纠缠的长程纠缠给出描述，这才是新一轮物理革命必须解决的问题。然而，在此之前量子力学对各种量子态的描述问题，似乎都并不是问题。自量子力学创立以来，其数学基础就一直建立在Hilbert空间之上，如Shrödinger方程，以及对电子自旋和轨道角动量的各种算符対易关系下的矩阵或群表示，等等。人们曾一度认为，现有的量子力学理论体系是完备的，或许在物理学的统一理论中还需用到新的数学，但对于现有物质现象尤其是凝聚态现象的描述，已有量子力学描述已经足够，而无需任何发展了。然而，近几十年来，正是量子纠缠以及拓扑物态这些新的物理现象的出现，才迫使物理学家去寻找新的数学工具来描述这些新现象，从而提出了以上对量子纠缠的描述问题。文小刚教授的设想是，或许要用范畴学这些新的数学工具来描述。

但我的看法多少有些不一样。我是从系统演化还可能形成其他稳态，来理解物理学革命的。在《框架》一文中我提出了几类不同于热平衡态的稳态，本文分析的简并稳态只是其中之一。进而，即便统称为简并稳态，在超流、超导、量子纠缠等现象中，简并稳态也存在着完全不同的表现形式。如在超流超导现象中的简并稳态一直会稳定存在，但在本文讨论的量子纠缠问题，共振隧穿电子的简并稳态可能就只有基态是稳定的，共振隧穿的激发态可能只会瞬间存在，然后再跃迁到简并稳态之基态，这与原子中普通电子态的能级跃迁，也是完全一样的。为此，我认为不同的简并稳态可能要用不同的数学来描述。下一小节的超导中间态，我就建议用分岔重整化群来描述。然而，如此共振隧穿之简并稳态实际上并未脱离量子力学的分析框架。所以，对共振隧穿的数学描述也不应脱离量子力学体系太远，即对如此少体简并稳态的数学描述，不应与Shrödinger方程的波函数，或矩阵力学的本征态有太大差别。

我个人认为，能动构架下简并稳态下共振隧穿的物理图像，实际上就是前述短程和长程量子纠缠问题的具体化。长程量子纠缠是个“什么东西”？在没有给出严格的数学描述之前，的确这是无法准确定义的，文小刚教授只是用“面条”或“毛衣”来想象。但我认为，如此想象力可以适当收窄，可将其具体化到对以上简并稳态的电子共振隧穿，在能动构架下做出表述。事实上，对于普通的晶格上构建的凝聚态物理模型，如Hubbard模型，空间格点的和Fourier变换以后能动构架下基于波矢的数学形式，都可以简单的构造出来。其时空构架和能动构架的数学形式并无差别。但是，以上同源性和非同源性的量子纠缠之W模型，既然都体现为电子两个自旋态所形成的共振隧穿，在能动构架下它们要呈现为怎样的数学形式呢？我对此缺乏足够的想象力，但愿博友能给出恰当的数学形式，并能作出相应的共振隧穿计算。

2）能动构架下跷跷板效应的随机力描述问题

纵观自宇宙大爆炸之后，物质的演化过程就呈现为两方向，一是形成统计的分布，二是形成结团的构造。宇宙最初的结团构造就是星系的形成。早年学习林家翘先生的密度波理论时，我就感觉不应在时空构架，而应当在能动构架下来研究星系结构问题，因为椭圆、螺旋和不规则这三类星系的结团结构都与旋转角动量有关，体现了基于角动量和能量的物质分布。密度波理论的数学也对应于求本征值的问题。后来再学习超导的BCS理论，更觉得只有用二次量子化的基于波矢的表述，才能在微观上把超导的机制表述清楚。然而，量子力学的Shrödinger方程若从对应的路径积分表述来看，却是与统计分布描述等价的。它似乎更适合描述统计分布，而并不适合于结团构造。所以，量子力学才有了两套体系，Shrödinger方程和矩阵力学。为研究简并稳态的演化问题，似乎要把这两套体系融为一体，犹如前述密度波理论研究的对象是结团构造，但数学却类似方程的求本征态的问题。

以上电子共振隧穿形成简并稳态，是可以通过量子跃迁产生纠缠光子的，这理应属于最简单和基本的结团构造——体现为共振隧穿电子和量子纠缠光子结团而成了简并稳态，这就与单个电子的量子跃迁与光子的统计分布，而显得截然不同了。为此，以上W模型要解决的问题，就还不单纯是前文所述的共振隧穿之简并稳态的描述问题，这更涉及到系统演化要从统计分布到结团构造两者之间的演化转换问题。对如此演化转换问题的数学描述，我认为倒并不至于会动摇目前量子力学的根基，但却能够弥补目前量子力学描述的不足。量子力学理论最大的不足就是缺乏对随机性的描述。当今物理学的随机性描述始于Einstein对布朗运动的物理理解，随后经Langevin的推广，而形成了随机微分方程的概念，但这些都基于经典分析框架的描述，并没有与量子力学相结合。为此，我的设想就是，是否应当把随机力与Shrödinger方程融合，以构成描述简并稳态的新的求本征值的方程，来描述简并稳态？

对以上共振隧穿之简并稳态的数学描述，实际上既绕不开量子力学的能动构架，也绕不开对随机力描述，这才能导致演化后果形成不同于热平衡态的另类稳态。事实上，正如我前文多次强调的，弱随机力或者与能隙跃大小有关的随机力，一定是有益于简并稳态之形成的。这与我们日常生活的体验，若某些小颗粒物质分布不均匀，稍微抖动一下容器就会令分布均匀化，是完全一致的。但是，随着时间和空间的延展，随机力若超越了某种限度也会产生对结团构造的破坏后果。这在量子纠缠上的体现，就是相互纠缠光子的退相干，而变成了统计分布的独立个体。以上W理论理应要体现出如此跷跷板效应，既能生成也会破坏简并稳态——我认为这当中数学描述的关键，就是要在能动构架下把随机力描述和量子力学结合在一起。这才能描述出物质世界除热平衡态以外，系统演化还会生成出各种其他的物质稳态。

3）基于测量非线性响应数学描述问题

现有物理学基于测量的理论都属于线性响应理论，其物理思想体现为系统的响应要与扰动成线性关系，如著名的久保公式。但前文已经谈到了，半导体的电导或热传导，以及由共振隧穿原理制成的电子器件就并非为线性关系，而属于非线性响应了。但以上非线性响应与我这里要分析的简并稳态测量的非线性问题还是有本质不同的。简并稳态体现在上能能判据让系统的个体要呈现为等能量等几率化，从而系统个体之间必然存在某种协同效应。外界若对如此系统施加了某种扰动，其系统响应会因为个体之间的协同性，从而偏离了常规响应的线性形式。为此，这既涉及到量子纠缠问题本身的非线性行为如共振隧穿，也涉及到随机力的扰动，其物理图像还并不清楚。但其他简并稳态非线性响应的图像反倒更清晰一些，例如Haldane相。外界扰动不会令其产生自旋波，而是要形成所谓对称性保护态SPT，其自旋-自旋关联函数会随距离呈指数衰减，这就体现了系统的响应具有非线性的鲁棒性。

为此，如何普遍地在数学上描述以上非线性响应？这个难点实际上与前述能动构架上对随机力的描述也是一体化的。测量首先体现为对系统的扰动，而如此扰动与环境随机力的扰动又是非常类似的。事实上，前文谈到的量子纠缠的形成和退相干，两者都离不开随机力的作用，而随机力又是与共振隧穿相互协同的。为此，这实际上也是系统反馈出的非线性响应。对于如此基于能动构架下的简并稳态系统，力图创建具有普遍意义非线性响应测量理论，似乎不大可能。非线性响应测量理论一定与统计平衡态下线性偏离的测量理论会很不相同，至少不可能像后者那样具有普适性。我们对不同的简并稳态必须有不同的数学描述。如在超流超导现象中简并稳态是一种稳定的存在，但外部环境的变化会导致简并稳态的分岔，下文我要用分岔重整化群来描述。而对于纠缠光子的制备系统，简并稳态是瞬间存在的行为。以上两类非线性响应描述当然会完全不同。为此，对量子纠缠，我认为要将其做极小系统描述。

我设想的两个或多个光子的纠缠系统，属于物质世界中可测的能量极小系统。在如此极小系统中，测量扰动的能量已经可与系统的整体能量具有可比性了。例如，对很小的两个光子纠缠系统的测量，在测量过程中仪器若吸收了一个光子，就已经吸收了系统一半的能量。这就形成了对被测系统非常强的扰动，从而会造成对系统的整体性破坏。这样一来，另一个相互纠缠的光子就很难“岿然不动”：既然纠缠状态作为整体的系统状态，它已经被测量扰动所破坏了，一个系统个体被测量过程所吸收且波包塌缩了，另一个系统个体也就无法“独善其身”，也要同时发生波包塌缩。这就是我对量子纠缠波包塌缩同时性的直观物理理解——体现了量子纠缠系统的自身能量太小，可能就是令纠缠态测量会同时发生波包塌缩的原因。

进而，波包塌缩的同时性也未必在所有量子纠缠系统中都会出现。为此，我曾突发奇想，是否有这样的可能性，高能级初态为共振隧穿的简并稳态，但跃迁的终态却是统计分布的量子空态？也就是说，共振隧穿未必同时呈现在量子纠缠之简并稳态的激发态和基态。若共振隧穿只存在于简并稳态的激发态中而基态并不存在，或者因为某种原因，激发态下的共振隧穿态只跃迁到了量子统计的空态。那么，纠缠光子就属于并非完全封闭的系统，而且也会具有统计分布的热平衡态特征了。这样一来，跃迁形成的光子的物理特性，可能就就会介乎于纠缠光子与普通光子之间。这些并非完全相互纠缠的光子，或许具有某种偏振的相关性，但测量的波包塌缩之同时性，就一定不存在了。当然，以上只是我毫无根据的猜想，我甚至都无法想象，要怎样通过设计实验来验证以上想法。但这个问题却是针对简并稳态的非线性响应理论，所值得考虑的问题。

总之，以上就是我基于系统演化视角对量子纠缠态的理解。以上理解都只是基于物理图像的理解，而并未涉及到更深入的物理机制。事实上，如果没有进一步的数学模型的建立，我们就无法给出对其物理机制之更确切的描述。所以，我期待以上对量子纠缠的物理图像之设想，能够得到物理学人的重视。即便以上物理图像有误，但如果能起到抛砖引玉的作用，能对后人研究量子纠缠态问题有所启发，这也将是我莫大的荣幸。

4. 对超导现象的中间态描述——分岔重整化群计算

前文所分析的量子纠缠，是来自势阱隧穿所导致的少量个体形成的简并稳态，我也称其为单一能量的简并稳态。若用下文的元胞自动机的语言来说，单一能量的简并稳态系统只有一个元胞。本小节要分析的超导现象，则来自系统内部子系统的协同作用而形成的等能量等几率化的多个能量简并稳态。两类系统虽然同属简并稳态，如果只从量子隧穿的角度来看，前述共振隧穿与我下面要谈的超导元胞之间的势垒隧穿也非常类似。但超导元胞之间的相互协同作用所形成的多重能量简并稳态，要远比量子纠缠的单一能量系统更为复杂。前文已述，量子纠缠现象是具有鲁棒性的，其跷跷板效应体现了即可促成简并稳态而形成了量子纠缠，也会破坏纠缠而导致退相干。但超导现象的不同之处在于，虽同样来自量子隧穿和环境温度的熵能判据驱动，但跷跷板效应并不一定会令简并稳态系统瓦解，而是要形成多重能量下的超导中间态。下面，我先解释一下什么是中间态。

我下面要谈的超导中间态与外磁场下现有超导中间态会交替呈现超导态和普通态的含义有联系，但还并不一样。我在此是把超导特性看做是能够构架下，具有系统全同性的配对超导电子构成的简并稳态。但在这当中，简并稳态之结构并不唯一。本小节要着重分析的就是从系统演化的视角来看，从绝对零度到超导转变点这个温度区间内，原本单一能量的超导简并稳态，会分岔成为各种多重能量的各种子系统简并稳态。如此子系统的简并稳态，究竟会形成何种结构呢？事实上，在极低温区间内由于随机力很弱，超导的单一能量稳态，实际上就类似于基态简并且存在能隙的拓扑物态，包括存在分数激发的FQH或并无分数激发的、文小刚称为对称性保护序的SPT。但若温度增高随机力增强或者外场介入，超导体就形成了各种稳定的中间态，这既体现为超导体本身就有的外磁场下的中间态问题，也要体现为不同子系统元胞之间的协同性。总之，超导中间态与前述量子纠缠态的唯一鲁棒性状态并不一样。

对以上超导中间态的协同性，本文要提出分岔重整化群计算，这就与通常描述平衡相变的归并重整化群既存在相同点，也具有本质区别。相同点体现在它们的物理基础都是熵能判据或配分函数，两者的物理本质是相同的。但分岔重整化群要描述的是链接简并稳态和热平衡态的道路，并将其理解为通过倍周期分岔走向混沌的非线性机制，这是对整个超导温度区间的描述，而不限于归并重整化群，只是针对相变点附近的描述。进而，重整化群计算在数学上体现了更为广义和严格的标度性和普适性，1970年代Feigenbaum就给出了倍周期的分岔具有普适含义的α和δ标度因子。为此，这对超导中间态描述会带来怎样的测量后果？或许会有某种可预期的后果。进而，本文虽然仅仅针对超导中间态，但我依然期待这能起到抛砖引玉的作用，人们能将此分岔重整化群计算引入到其他物理领域研究。

4.1 子系统协同型的超导配对元胞之物理图像

在给出超导中间态描述之前，有必要先说明的是，我认为BCS理论是有缺陷的。该理论的核心观点，电子Cooper对具有相互吸引力的思想，当然并不容否定。但把Cooper对看做是费米面上动量严格相反的p_↑和-p_↓电子配对，并认为这会形成了“凝聚”的玻色分布，这幅物理图像我则认为可能有错。首先，动量相反的配对电子运动只会“擦肩而过”，而起不到持续降低系统能量的作用。只有“同向而行”动量接近的两个电子配对，其持续的相互吸引作用才能体现协同性而有效降低系统能量。其次，把超导零电阻归因为外电场作用下一个Cooper对p_↑和-p_↓在费米面上被拆散，另一对p_↑+k和-p_↓+k再生成的动态过程，其问题则更大。因为在外电场作用下，如此拆散和生成Cooper对的过程中，电子的波矢改变属于实时演化过程，系统能量有了变化，从就不具能量封闭性了。这样一来，测量的扰动就改变了系统能量。超导系统的零电阻和抗磁性，以及超导环流这些具有鲁棒性的特性，就完全无法想象。

事实上，普通材料之所以只存在非零电阻，是因为外电场的作用会令导带电子能量跃迁到高能级，因而电子再从高能级跃迁回到低能级时就会释放热能。电阻形成的原因也正是来自如此能耗。以上超导电子对Cooper在拆散和再生成的过程中，只要波矢的绝对值有任何变化，也就一定会有能量损耗，这同样也将释放热能。超导岂能形成呢？另外，这与电子-晶格作用交换声子形成的Cooper对之虚时过程还并不一样。虚时过程当然就不会外泄能量，但不同Cooper对的拆散和重组过程，却属于实时而并非虚时跃迁，这当中不应发生任何能量改变才会呈现出超导特性。否者的话，系统的耗散封闭性就会消失，超导的零电阻和迈斯纳效应也无从谈起。为此，超导中的普通电子和超导电子与液氦超流系统中的声子和旋子，两者是具有可比性的。超导电子和超流旋子一样，都应与其他粒子或环境并无热量交换。这样一来，用等能量元胞构成的简并稳态来描述超导现象，似乎就更为恰当。

下面我就要从系统演化视角来重新认识超导电子系统。超导电子系统应当被看做是由动量方向相同且数值相近，但自旋方向相反的电子配对演化的后果。这样一来，我就要把超导电子系统重新做配对处理，这就要构成新的元胞。对于动量接近自旋相反分别为p_↑和p_↓的一对电子，可将其重整化为质心运动的质心动能 (p_↑ + p_↓)²/2m，和相对运动的配对动能(p_↑ - p_↓)²/2m。两者之和仍体现为两个独立电子的动能之和。这意味着N个电子通过如此配对重组以后，就划分为了N/2个质心动量为p_↑ + p_↓的质心电子对，和N/2个相对动量为p_↑ - p_↓的配对电子对。普通电子属于质心电子对系统要服从费米统计，这相当于把动量相近但自旋相反的两个电子，在能动构架下“捆绑”在一起，从零能量填充直到费米面。超导特性与质心系统电子基本无关，所以，我们以后将只考虑配对电子的子系统，以后的超导元胞概念，也仅指如此具有电子-晶格相互吸引的配对电子子系统。

进而，有必要从以上从系统演化视角来谈谈对以上超导配对元胞的认识，并与现有的Cooper对概念做些比较。除了前述“同向而行”和通常Cooper对的动量相反之本质区别以外，这还体现在以上配对中p_↑和p_↓未必一定要在费米面上。另外，电场或磁场以及环境温度对配对元胞系统的扰动，也会非常大。设配对元胞相对动量为p = |p_↑ - p_↓|，则其动能 p²/2m和相互吸引能-V(p)之和必须小于零，即ε(p) = p²/2m - V(p) < 0时，两个电子才会被配对“捆绑”在一起。这与氢原子是具有可比性的。电子之所以不会从原子中电离逃逸，原因就在于束缚电子的动能与势能之和定要小于零。另外，若由于量子隧穿或温度随机力导致ε(p)大于零了，如此配对电子元胞也就消失了。元胞既可能产生也可能湮灭，这来自下面就要谈到的，电子-晶格作用导致的电子配对的形成或拆散。

很显然，V(p)在p=0时应最大，且对外加电场和磁场很敏感。基于系统中不同元胞的协同性导致的简并稳态之所以能够形成，原因有二。一是能量ε(p)会在不同配对元胞之间跨系统跳转，如此跳转是基于能动构架下不同元胞之间，配对电子之间的重新分拆和组合。这当然也可以看做是，不同元胞的量子势垒隧穿要翻越过费米面，而属于某种非线性的能量交换过程。二是这个过程伴随着环境温度之随机热驱动，而这一随机热驱动就与质心运动的电子运动也有关联了，因为超导元胞是与电子质心运动相互“捆绑”的。所以，超导元胞仍然会间接地受环境温度之随机力的影响。为此，量子隧穿和随机驱动共同导致了所有配对元胞能量趋同，从而驱动系统达到了熵能系数的最大化。进而，外加电场、磁场或温度的扰动都会改变每个元胞的ε(p)。这些都属于超导中间态问题，我在后文中要逐渐展开来进一步分析。

4.2 超导简并稳态的鲁棒性和协同性——对超导测量的物理理解

本小节暂不谈数学描述，而是要从物理测量出发来对超导的物理机制做两点描述，以论证用简并稳态来描述超导现象的合理性。首先，超导测量也具有鲁棒性，这似乎是被人们所忽略的，至少在教科书里没有这样的提法。为此，我认为超导测量的鲁棒性体现在，超导的零电阻和抗磁性不会在外界参量如温度和磁场的扰动下破坏，超导环流会永不停息也体现了这一点。但其他测量，如普通材料的电阻测量就并无如此鲁棒性，而体现为具有温度相关性。形成以上超导鲁棒性的原因何在？现有超导理论并未解释以上鲁棒性。其次，我还认为超导电子的行为体现了协同性，这在迈斯纳效应和超导环流中就表现得特别明显。超导体的表面电流为何会瞬间自发调节，一定要把磁场排斥在超导体外？形成不息的超导环流同样也是超导电子无摩擦之协同运动的体现。我的理解是，协同性并非来自电子个体间的相互作用，而体现为简并稳态中不同超导元胞之间的势垒隧穿和热随机力驱动所致，后文再详细分析。

进而，为了对超导现象的鲁棒性和协同性给出物理理解，这就要以前文所述的、能动构架下的系统全同性描述为基础。为此，我先谈鲁棒性。我对超导的简并稳态描述就体现了鲁棒性理解，因为前文已述，简并稳态就是具有鲁棒性的。这与BCS理论的玻色凝聚理解，虽有相同之处，均体现为配对元胞中电子的相互吸引能，会导致整个电子系统的总能量要低于费米面。不过，系统总能量理解却只含能量要达到最低才会稳定的常规理解，其中并无鲁棒性的含义。鲁棒性含义还要进而体现在，即便温度磁场等外部参量有了扰动变化，对系统的测量值还要依旧保持稳定不变，从而测量的响应是非线性的，后文还要谈到。零电阻和抗磁性的超导这两大特性也均体现了这一点。为此，超导现象为何会具有如此鲁棒性？我认为，如此鲁棒性就来简并稳态的熵能系数——它相比于普通热平衡态之熵能系数，不仅呈现为突变性的增长，而且更重要的是还与温度无关，这才是超导具有鲁棒性的基础。

进而，简并稳态的物理本质还体现在，其所有子系统都具有等能量等几率的系统全同性。如此子系统全同性犹如前文谈及的量子纠缠之全同性，它们都属于非定域的系统全同性，要高于我们以往对量子统计的个体全同性理解。事实上，个体全同性只体现了交换对称性或反对称性，这会影响到系统的微观状态数目，从而会构成热平衡态的最可几分布。所以，个体全同性的本质只适合与对热平衡态的统计分布描述。对于热平衡态，如此统计分布对应的熵能系数为连续参量，即与温度或外加电场磁场的关系是连续的，因而它对测量的响应也是线性的，线性响应就不可能体现出测量的鲁棒性。为此，从简并稳态来理解，在超导转变点温度以下，只有系统全同性才能给出超导体的简并稳态。它要以所有子系统，即超导元胞作为量子态的等能量等几率性为基础。由此导致的熵能系数，就会比热平衡态熵能系数有了突变性的增加。超导测量鲁棒性的正原因来源于此。

进而，以上由配对元胞构成的子系统之简并稳态的鲁棒性又是如何演化形成，并得以持续维持的呢？这就要涉及到协同性这个概念了。前文已经谈到，协同性概念来自当年Haken的协同学，并且我也已经说明，如此协同性并非来自个体之间的相互作用，而是来自两种系统力，即不同超导元胞之间的跨子系统的量子隧穿，以及环境温度的热随机力。但由此提出的进一步的问题则是——来自系统个体之间的相互作用能导致有序性，来自以上元胞之间的协同性也同样会带来有序性，这两种有序性有什么本质区别呢？

以上两者虽然都来自熵能判据的驱动，但体现了驱动系统演化的方向并不一样。在凝聚态物理中系统个体之间的相互作用为电磁作用，这体现为交换光子，从而属于热交换下的开放系统。若熵能判据对系统驱动的方向为开放系统，这就必然会导致热平衡态。在热平衡态下系统的配分函数与外界参量，如温度、电场或磁场的关系都是连续的，其对应的测量也就具有连续性，从而不可能具有测量鲁棒性。而熵能判据对超导体的驱动则体现了元胞子系统是以协同方式达到熵能系数最大化的，即通过等能量等几率化形成了简并稳态。前文已述，简并稳态的重要特性有两点，对外具有耗散性，而系统自身则体现为封闭性。为此，简并稳态的测量特性与温度或外场的关系，就会体现出平台性——即温度热扰动未达到一定值测量不变，超过一定值则会形成平台式跃迁。这样一来，其测量响应就体现为与温度和其他测量扰动的非线性平台，从而对超导系统的测量才具有了鲁棒性。

进而，在前文也已谈到，量子纠缠态的形成来自熵能判据驱动系统形成简并稳态和热平衡态的跷跷板，这同样也适合于超导现象。但共振隧穿下的量子纠缠通常只涉及到少量的量子态，只是体现在随机力很小时会促成纠缠态的形成，而随机力加大以后，则要破坏量子纠缠而导致退相干的问题。但对于超导现象，以上跷跷板效应就要复杂得多。温度随机力的强弱还会影响到超导元胞之间的协同效应。事实上，在绝对零度到超导转变点这个温度区间内，零电阻和抗磁性之超导特性虽然一直都存在，但超导性在不同温度下存在不同的临界电流，不同外磁场下，还会存在超导态和普通态并存的中间态问题。为此，只要温度在超导转变点温度以下，就存在超导中间态问题。为此，超导简并稳态特性改变的物理机制是什么？其子系统协同性又会产生怎样的变化？这就是本文关注的重点，即简并稳态演化下的中间态问题。

为此，下面我要着力分析的就是超导中间态问题。不过，我对中间态问题的强调，倒并不是要急于给出一个更为精确的、与实验吻合得更好的超导理论来取代现有的BCS理论，这是理论发展到了更深入的阶段，人们才可能去考虑的问题。目前在初级阶段可考虑的，我认为主要是对超导转变点温度以下的超导中间态描述问题——其含义不仅是在磁场下普通态和超导态并存的中间态问题，还包括超导体随温度的改变，其简并稳态结构究竟发生了何种变化。这恰是用BEC凝聚来解释超导所遇到难点。事实上，超导并存着BCS理论和Ginzburg-Landau两种理论，这本身就说明了现有超导理论的统计分布描述，对于无磁场和有磁场的两种情况要分开来论述，是令人困惑的。本文力图用简并稳态来描述超导的中间态，就是要尝试通过新的物理理解途径，来认识超导现象的本质。

4.3 超导中间态的物理图像与简并稳态的可能演化模式

前文已经谈到了超导中间态的重要性。本小节就要具体给出超导中间态的物理图像。为此，我要再简单复述一下超导电子配对元胞的构成。质心动量为p_↑ + p_↓质心电子对，构成了普通电子费米分布下的热平衡态，而相对动量为p_↑ - p_↓的配对电子对，则构成了超导元胞，它们要形成简并稳态。然而，简并稳态未必仅由单一的等能量等几率的元胞构成的，系统分岔劈裂为若干个包含元胞数目更少的简并稳态也有可能。但若系统劈裂太多，以至于每个元胞能量都不相同了，那就等价于热平衡态下的玻色分布，而并非简并稳态了。为此，我下面设想的超导中间态，实际上涵盖了从单一简并稳态到热平衡态的所有可能性，这也是从绝对零度到超导转变点温度之间，尤其是外加磁场以后，对超导这一宏观量子现象会带来什么影响。本小节要分析的，就是超导中间态物理图像可能经历了从单一能量简并稳态，到多重能量简并稳态，再到完全无序的热平衡态的演化过程。

进而，虽然在能动构架下所有超导电子元胞都具有全同性，但其能量值ε(p) = p²/2m - V(p)可能各自不同，这与统计物理学中的全同粒子也可能各自能量不同是同一个道理。统计物理学中的全同粒子，无论是玻色子还是费米子，通常都是被当做连续能量的粒子来处理的。我下文在做分岔重整化群计算时，把元胞能量也要近似地看做是连续分布的。然而，从严格意义的上来说，每个元胞的能级应当呈现为量子化的。我在下面在做简并稳态的分析时，也必须假定超导元胞的能级之量子化为必要条件。这是因为在稳定状态下的简并稳态，其每个元胞的能量只可能为离散分离值，否则就无测量上的鲁棒性，这与前述共振隧穿的电子自旋配对也要取分离能量值是一个道理。若能级可连续可变就必然会与环境发生连续热交换，而成为热平衡态了。但是，作为数学处理，我又要把简并稳态当做具有Lyapunov稳定性的系统，这又无法用量子化的分立能级来描述，这一点必须先再此说明一下。

有了以上超导电子配对元胞的基本描述，我们就可以进而分析由这些元胞所构成的超导中间态，即从绝对零度到超导转变点温度，配对元胞之结构发生变化的几种可能性。为此，在绝对零度下，每个配对元胞都只可能占据在最低能级的量子基态ε₀。这对于无论任何结构，简并稳态或热平衡态，都应当是一样的，只要元胞可被看做是量子系统。请注意，这里的量子基态能ε₀的含义与BCS理论中的Cooper对的含义不一样，除了Cooper对要求配对电子的动量要严格相反，而我前述的配对电子是同向而行以外，Cooper对中在费米面上的两个电子之总动量和是严格为0的，而超导配对元胞之量子基态ε₀却类似于量子谐振子的零点能，其对应的动量p当然并不等于0，说明元胞中的两个配对电子的相对运动是量子化的。

接下来的问题是，若温度提高，以上基于元胞的超导电子系统会如何演化？如果把元胞超导电子系统当做玻色子来处理，这就依然体现为BCS理论的描述，会形成玻色统计的能级分布以及BEC凝聚。然而，若这些元胞被当做简并稳态的系统个体来处理，部分配对元胞在量子势垒隧穿和热随机力的驱动下，则就会要跃迁到了激发态。虽然在我前文的讨论中，未涉及到量子能级计算，但既然元胞的能量值能量值ε(p) = p²/2m - V(p)并不单一，这就意味着在绝对零度下单一能量的简并稳态，在温度上升以后终究要发生分岔，成为两个或多个不同能量的简并稳态子系统。为此，这就涉及到跷跷板结构了。基于元胞的超导电子系统究竟会演化成为热平衡态，还是会分岔为多能量的简并稳态呢？这就是我下面要分析的重点。

首先，以上超导元胞系统不大可能成为通常意义下的热平衡态，不能将其看做是玻色子而服从玻色分布，这是因为配对元胞实际上并无热交换的对象。首先，这不可能来自电子-晶格作用，因为ε(p) = p²/2m - V(p)中的- V(p)已经完全体现了所有的电子-晶格作用，再无额外的电子-晶格作用了。另外，前文已经把电子系统划分成了质心动量和相对动量两个系统。这两个子系统之间，元胞子系统作为其中之一，是不可能发生任何热交换的。正因为如此，配对元胞子系统才被认为是具有耗散性和封闭性的简并稳态。当然，耗散性和封闭性只是相对的。这并不意味着所有配对元胞就是孤立隔绝的，因为相对运动的配对元胞毕竟还与质心运动的普通电子系统是相互“捆绑”牵扯在一起的。

进而，质心系统的热运动产生的温度效应作为系统随机力，要间接地影响着配对元胞系统的演化。这体现为随机力作为熵能判据的驱动力，要定向地“促成”或“阻止”以上量子隧穿。尽管这并非个体相互作用下的热交换。后文在做元胞自动机计算时要体现为系统的总能量正比于环境温度。另外一个问题就是对量子隧穿的数学描述。简并稳态的物理图像来自配对元胞之间能量的相互隧穿，如此隧穿会导致不同元胞可能会发生能级上的调整。对此严格做量子力学穿越费米面的势垒隧穿计算并不现实，但这在数学处理上可以用某种非线性力来模拟，只有这当中具有普适性即可。也就是说，如果用完全不同类型的非线性力来模拟，并不会影响到简并稳态的拓扑结构，这就是可行的。后文的分岔重整化群数值计算表明了这一点。

有了以上对超导中间态的基本物理图像描述，更进一步的疑问就是，对超导中间态之简并稳态的合理物理图像应当是什么，其不平凡之处体现在哪里呢？在回答这个问题之前，我们不妨把视角放大一些，先考虑其他不同系统的简并稳态会形成何种结构。然后，再将其他简并稳态来与超导的简并稳态作比较，来看看能否由此找到一个描述超导中间态的合理简并稳态之图像。

为此，先类比超流简并稳态的情况。与超导不同在于超流体的 He原子本身就是玻色子，是通过相互排斥力而形成的简并稳态。玻色子系统本身就含有多粒子纠缠态|nε>，λ相变体现了从热平衡态到超流态的突变。我对其物理图像的设想是，在能动构架下动量和能量都很大的、超过了某个能量阈值ε_c的n个He原子，会在温度下降到液氦相变点附近时率先相互协同，而构成了简并稳态球面|nε_c>，这就是一层能量最高的简并稳态。然后，随着温度继续下降，动量能量更小的球面的再陆续加入，从而形成一层一层的球面结构。在《框架》一文中我称其为层流结构，这来自Landau和Hopf早年研究从层流到湍流的物理图像给我的启发，同时这幅图像也与超流旋子的无旋场特性相吻合。超流简并稳态是以最大动量和能量的球面He原子占主导的，这也能解释超流体为何会存在“喷泉效应”。

再简单谈谈第二类简并稳态，就是文小刚提出的拓扑物态。这和超导一样也存在离散的能谱，不过这并非来自大量电子配对构成元胞，而被认为是多体系统的强关联效应，这导致了其基态E₀简并且与第一激发态E₁存在能隙ΔE = E₁ - E_0。对于拓扑物态，我在《框架》一文中给出了一个简单的3能级模型分析。指出了能隙ΔE必须大小合适恰到好处才有利于拓扑物态的形成。若ΔE太小基态就不会相互量子隧穿而是会占据到激发态，若ΔE太大又会令隧穿受阻，量子态不会演化成基态简并从而无法构成简并稳态。为此，FQH的鲁棒性应来自能隙大小适度，这是我对文小刚和牛谦早年PRB, 41(1990) 9377工作的物理理解。另外，Haldane相的情况也类似，属于基态简并和有能隙的稳态但却并无分数激发，文小刚和顾正澄指出这属于对称性保护态SPT。不过，在我看来，拓扑物态和SPT并无本质区别，都同属能隙ΔE恰当从而势垒隧穿得以维持的单一能量简并稳态，只是SPT不存在量子位相角而已。

有了以上两种不同类型的简并稳态的介绍，接下来，我就要重点谈超导的元胞协同型简并稳态之物理图像了。超导元胞所构成的简并稳态有以下两个显著的特点。一是可能存在多个不同能量下的简并稳态子系统，每个子系统的能量占据几率相同，个体数目也必然要严格相等，我称其为等几率均分。第二个特点是，似乎在理论上可能存在两种超导中间态模式，我分别称其为能量递增型或倍周期分岔型，在下一小节我要通过分岔重整化群计算来甄别，究竟超导中间态属于哪种类型。下面，我就来进而分析以上两个特点。

先谈配对元胞的第一个特点，等几率均分。这既体现为每个元胞微观不同能态的均分，也要体现为元胞的数目的均分。为此，假定由n个元胞构成的全同子系统，在绝对零度下，无论是热平衡态还是简并稳态，这n个元胞都会处于基态ε₀上。但温度稍微上升以后，就会有差别了。下面我将证明，若元胞形成热平衡态，其熵能系数就要低于简并稳态。从而，跷跷板效应就会起作用，系统就要趋于形成等几率的简并稳态。但这当中有一个逻辑前提，配对元胞的能级是量子化的，而非连续能级。若为连续能级就无耗散封闭性而不可能形成简并稳态。为此，我简单分析如下。先假定在温度超越绝对零度之后，每个超导元胞作为子系统，只存在两个能级ε₀和ε₁，概率分别为q和1-q，则该元胞的熵能系数X和信息熵S均为

X = S = - q ln q - (1-q) ln(1-q)

概率q为何值时才熵能系数最大？很显然，只有在q=1/2，也就是说，基态ε₀和第一激发态ε₁各占一半时，简并稳态X = ln 2的熵能系数才最大。而假如该元胞处于热平衡态，其熵能系数为X = ln[1+exp(-βΔε)]，其中Δε = ε₁ - ε₀。这就说明了，简并稳态实际上相当于β→0，即绝对温度T为无穷大的热平衡态的能级分布情况。这就体现了简并稳态之内禀温度特性之所以丧失了温度相关性，是因为它会比所有的有温度的热平衡态的熵能系数更高，这是跷跷板效应带来的结果。

进而，以上等几率均分既可体现为每个元胞的能级要在ε₀和ε₁上均分，也体现为由n个元胞构成的整个系统中，一半n/2个元胞要在能级ε₀上，另一半n/2个元胞要在能级ε₁上。这两种表述是完全等价的。事实上，这也可看做是两个元胞被重组以后，构成了一个更大的元胞。在这个大元胞所包含的两个小元胞中，一个在能级为ε₀另一个能级为ε₁，两个小元胞构成了“一对一”的相互隧穿，这才是简并稳态很合理的物理图像。否则的话，若不能构成“一对一”的相互隧穿，而令部分元胞“袖手旁观”，这就不具美感了，系统的熵能系数也未达到极大化。为此，我们也可以这样来理解。绝对零度下只有一个简并稳态系统，是由n个全同元胞构成的。温度上升后就会分岔成为两个简并稳态子系统，一个是能级为ε₀的n/2个全同子系统，另一个是能级为ε₁的n/2个全同子系统。以上两种物理理解都是一样的。

接下来再谈第二个特点，以上超导电子子系统的进一步分岔就要构成超导中间态了，其整体物理图像又会呈现为怎样的情形呢？这就有两种可能性。一种是能量递增型，即随着温度的增高，能级ε₂又被占据，从而整个简并稳态有n/3个大元胞，每个大元胞包含了3个不同能级，温度再增高，就有n/4个大元胞每个含4个不同能级。直到超导转变点温度下，所有束缚态能级都被填满到一个最大的元胞包含了所有能级，超导特性就完全消失了。这种情况就与超流的简并稳态有些类似。我在《框架》中给出的超流的层流结构图像就是如此，速度最高的He原子超流层之简并稳态个体数目一定最多的，热机效应、喷泉效应等所有这些实验观测到的超流体特性都体现了这一点。早年Landau给出的从层流到湍流的物理机制也体现了如此图像。流经水管的水流在速度增加以后，会先形成一个层流面，然后再继续出现第二个、第三个，直到大量层流之紊乱而形成了湍流。为此，超导演化的图像是否与超流也类似？

第二种超导中间态的物理图像是就是倍周期分岔型了，这是最普遍的通向混沌的道路。体现在超导中间态就是，一个简并稳态系统分岔成了两个子系统以后，就不是再进而分解成为3个而只能是4个子系统。这是源于随着温度的上升热随机力的加大，原本两个元胞会进而相互量子相互量子隧穿而劈裂成了4个元胞。所有4个子系统也包含了4个能级。如此继续下去，就体现为倍周期分岔之物理图像了。绝对零度下一个全同系统演变为2个，4个，8个，直到2^∞个子系统。2^∞个子系统就对应着平衡态了，因为此刻每个能级都不再简并，从而体现超导的简并稳态特性就消失，变成热平衡态了。进而，在以上倍周期分岔型的中间态图像中，最初的单一能量简并稳态就与前述拓扑物态很类似。差别只是体现在超导体是由全同的元胞构成的，可近似看做无相互作用的独立子系统，其势垒隧穿要穿越质心电子的费米面。而拓扑物态的不同的简并基态则来自强关联，势垒隧穿要穿越简并基态上的能隙。

综上所述，倍周期分岔型的物理图像看起来似乎更合理，下一小节我给出的数值模拟计算也体现了这一点。事实上，如此体现为超导中间态之简并稳态的整体物理图像，实际上就构成了链接拓扑物态和混沌态的桥梁，其系统跷跷板的演化过程就一目了然了——这是从稳定单态通过倍周期分岔走向混沌态的过程。

LogisticMap_BifurcationDiagram.png

上图就是一个典型的单峰映射迭代函数X_n+1= γX_n(1-X_n)所显示的三种状态。以下图片来自维基百科。γ<3就是稳定单态相当于拓扑物态，只有简并量子基态之间的相互隧穿。中间部分γ在3到3.5左右就是倍周期分岔的中间态之简并稳态，从2，4，8点周期直到2^∞点周期，最后一部分混沌态就相当于普通热平衡态了。在下一小节，我将论证，超导的中间态实际上只可能形成如此倍周期分岔模式，而不可能形成能量递增型模式。

4.4 超导中间态的分岔重整化群计算——元胞自动机的科学演化观

超导中间态的最初想法来自我在1980年代硕士研究生期间，用分岔重整化群计算做了两个尝试。一是力图从数学计算来论证，超导的中间态的模式只可能是倍周期分岔型，而不会是能量递增型。如此分析最能体现Walfrom提出的元胞自动机之科学观的，即计算本身就是生成科学规律的途经。第二个计算则是力图解释在外加了磁场以后，超导中间态之所以会形成交替的普通态和超导态，这似乎就体现为以上周期解和混沌解这两类函数迭代解。然而，前一个尝试我自认为效果不错，但第二个就受阻于物理分析，不过这当中的问题可能在于理论分析过于唯象，对电子-晶格作用的量子隧穿与非线性吸引势的关系还缺乏深入的物理理解，下文还要详述。为此，我要把以上计算过程写下来的目的，还不完全是为了论证对超导中间态的分岔重整化群的有效性，而是期待博友们能更进一步完善我早期的工作。

在具体阐述分岔重整化群计算之前，我有必要先简单说明一点，那就是以上超导中间态的最初想法是来自我当年对铜氧化物超导体的认知。既然这类新的高温超导材料之特性，要取决于对其晶体结构反铁磁特性之掺杂带来的破坏程度，我当年就认为，这类新型材料的超导电性的基础元胞，或许就并不是电子配对，而是两个自旋相反已经配对的元胞，在某种磁性交换作用的进一步配对作用。为此，这就并非电子-晶格-电子作用，而是元胞-掺杂反铁磁-元胞作用。这样一来，超导理论即可基于电子配对也可基于元胞配对，而描述高温超导材料的理论，就要体现为其基础可能是d电子配对构成的元胞，不相元胞的磁交换作用形成超导简并稳态——正是以上思考，导致了我要把电子系统划分为质心运动和相对运动两类，并把电子配对模式改为同向而行，因为只有这样，我们才能考虑分岔后不同元胞的结团作用。从BCS理论出发的配对电子就只能形成统计分布，而无法给出多级分岔的元胞结构。

进而，把以上多级分岔的元胞结合Walfrom的元胞自动机，就进而形成了基于元胞的科学演化观。我想象中的演化观虽类似于Walfrom后来提出的《一种新科学》，但两者思路还是有所不同的。我认为系统演化虽然要基于元胞自动机的“演化规则”，但如此“规则”之约束条件并非来自人们头脑所设想出的假定，而是要基于熵能判据——这体现了物质演化所基于的物理学基础。由此，还可导致对物质系统演化的分类。如此演化观也与科学的常规理解，我称其为描述观有本质的不同。描述观要基于每个物理量都有确切数值含义，从而可由此构造出关联的公式，如F=ma，E=mc²。而演化观却体现了对科学规律的另类认识，即展现出物质演化的拓扑结构。下面我要通过分岔重整化群计算来分析超导中间态，其意义就体现在对物质演化结构的认识。单一能量的拓扑物态、多重能量的简并稳态和无序热平衡态这三种物态，就呈现为从倍周期分岔演化到混沌的结构。当然，描述平衡相变的重整化群也属演化观。

对于Walfrom的元胞自动机之含义在网上都有不少介绍，我就不用在此赘述了。下面，我就直接说明我对元胞自动机的修订，即添加了熵能判据导致的演化后果。在前文中我已指出，从熵能判据出发，可以推出正则系综统计分布下的热平衡态，也可以推出简并稳态，后者的约束条件是活力能E = ∑_k p_k (E_k - E₀)=0，但这是作为角点解的静态约束，且只能形成单一能量的简并稳态。前述共振隧穿的量子纠缠，以及基态简并有能隙的拓扑物态，都属于单一能量的简并稳态，从而要满足以上静态约束。为此，文小刚教授把量子纠缠和拓扑物态看做同类是合理的，因为它们都要满足以上静态约束。但是，超导中间态作为包含了多重能量的简并稳态，是由子系统元胞之间的相互协同而形成的稳态。从而，这就要把系统元胞的约束条件改为系统演化下的动态约束，即基于元胞自动机的函数迭代。这意味着从系统演化视角出发，熵能判据也要被注入动态特征——多重能量的简并稳态正是动态特征的产物。

下面，我就要通过动态约束下的分岔重整化群计算来说明，超导中间态的物理图像属于倍周期分岔型而并非能量递增型。从而将体现出演化观的物理图像与描述观的不同。事实上，前文已述，既然简并稳态的形成来自量子隧穿和热随机力作用，若用最直接的描述观思路来认识其规律，就要分别对量子隧穿和热随机力给出相应的物理状态参量描述，并力图由此建立起相应的数学关系式。为此，这可能要先求解出超导配对元胞相互吸引势的函数形式，然后给出其势垒隧穿的理论计算。进而，热随机力则有可能通过某种随机微分方程来描述，等等。以上这些所能想到的方法，就属于常规物理学分析下的描述观思路。如果这条描述观的思路可行，估计早就有人做了。迄今并无人这么做就说明，如此描述观的分析方法可能行不通，至少我个人觉得无从下手。下面，我就进而开始做演化观的数学分析。

演化观的分析的基础就是把熵能判据与元胞自动机相结合，就形成了以下分岔重整化计算。为此，先考虑每个配对元胞的能谱ε(p) = p²/2m - V(p)。这可看做是能动构架下的全同子系统。对于总数为n个电子配对构成的子系统元胞，其能量总和就是：

ε(p₁) +ε(p₂) +ε(p₃) + +…+ε(p_n) = nE(T) < 0           （1）

这里nE代表所有n个元胞的总能量，T为绝对温度。所有n个元胞的能量总和要小于零，简并稳态才能得以维持。因而，E(T)在超导相变点温度应等于0。前文已述，在绝对零度下，所有ε(p_i)都要处于基态能量ε₀，这就是单一能量的简并稳态。但温度T增高到一定值，就会发生一级分岔，ε(p_i)一半占据在ε₀，另一半就要占据在ε₁。这就是跷跷板效应导致的后果：配对元胞之热平衡态必然崩溃，整个系统会进而形成两个能级下等几率的简并稳态。前文对如此跷跷板效应给出的物理图像已经做了物理分析。下面，我就要进而从细胞自动机的函数迭代来说明，通过分岔重整化群计算，也可以得出同样的跷跷板效应，并且可以把这幅物理图像推广到从绝对零度到超导相变点的整个温度区间。

具体的分岔重整化群计算之过程如下。令y= p²/2m，这是把元胞的动能作为元胞个体的标识。而电子晶格的的相互吸引势理应是对称的才合理，即V(p)= V(-p)。为此，若把V(p)按y做展开，并保留到y的二次项的展开，就呈现出非线性效应的展开因子了，V(p) = V₀ - V₁y - V₂y²。请注意，这里V₀ ,V₁和 V₂都必须大于零且取值不同会对后续结果影响很大，因为这是非线性的要求，如果V₂项不存在或其数值太小，就无法得出周期解和混沌解，后文还要再做分析。进而，以上相互吸引势唯一地决定了元胞之间的相互量子隧穿。所以，体现为系统动态演化的约束条件就只与以上V₀ ,V₁和 V₂参量有关了。另外，我仅用仅用离散时间的下标来体现系统演化过程，其合理性我下文还要再做分析。

再对y做适当的变换，y→[V₀+ E(T)](1+ V₁)^-1x，并代入(1)式后，(1)式就可简化为：

Σ_n (x_n + ν x_n²) - n = 0       （2）

其中ν=V₂[V₀+ E(T)]/(1+ V₁)²。以上(2)式就是(1)的能量约束之简化近似形式，这里无量纲的参量x_n正比于每个配对元胞的动能，以后我亦将x_n作为每个元胞的能量标记。前文已经谈到，在温度极低的情况下，每个元胞能量x_n都相等，从而构成了单一能量的简并稳态。进而，若温度在超导转变点以上，所有x_n就应当去简并化而且数值都并不相等，从而形成了某种热力学的统计分布。那么，在绝对零度到超导转变点温度之间，x_n的取值就一定会处于某种单一能量的简并稳态和完全无序的热平衡态之间的某种中间态。显然，超导中间态就联系着前文所述的，系统能量的不断分岔，从单一态到无序态。下面，我们要通过从(2)式构造出动态约束条件来做分岔重整化群计算，从而给出超导中间态更精确的物理图像。

更具体地说，中间态之物理图像所提出的物理问题如下：前文谈到x_n随温度上升的第一次分岔要体现为系统在两个能级上的等几率分布，那么，如果温度继续上升的话，是否还会存在后续的分岔？若存在，这将以何种分岔模式，前述的能量递增还是倍周期模式体现出来？这就涉及到理解中间态所要先建立起来的物理图像。在这当中，有一个简单的物理考虑，就是把分岔理解为不同元胞之间的结团。第一次分岔，就体现为两个元胞之间不断发生的量子隧穿，从而结团成一个更大的元胞了。前文已经谈到，量子纠缠就体现为等能量隧穿。但在温度增高超导中间态元胞之间的量子隧穿就并非等能量的，而体现为基态到第一激发态之间的隧穿——这属于量子隧穿和热随机力共同促成的元胞结团。为此，这样的元胞结团会随着温度的增高，而如何继续下去？这就是建立中间态之物理图像的关键。

为此，从演化观来看，不同元胞个体若不断地“抱作一团”而构成了更大的元胞，如由k个不同能量x₁,x₂,…,x_k所构成的大元胞成了简并稳态的基本元胞的话，以上超导中间态就要体现为是由n/k个如此k重能量下大元胞构成的简并稳态。这样一来，我们就可在(2)式中，提取k个参量构成f(x₁,x₂,…,x_k)=0的函数作为动态约束条件，并保证这n/k个大元胞还要满足简并稳态的约束条件(1)和(2)。不过，如此动态约束还要加上一个稳定性要求。这意味着从演化观来看，大元胞中从x₁到x_k的任何一个能量值，只要稍做偏离无论是变大还是变小，该元胞能量之演化还必须到恢复到原值，这被称为Lyapunov稳定性。为此，动态约束条件f(x₁,x₂,…,x_k)=0所要求的x₁,x₂,…,x_k稳定性，该如何满足呢？这就要谈到1980年代很热门的混沌研究了。

事实上，构造出具有稳定性的动态约束函数f(x₁,x₂,…,x_k)=0很容易。混沌学显示，以上约束函数若被当做迭代形式，就容易形成稳定的周期解或失稳的混沌解，但许多完全不同构造的非线性迭代函数，却又都呈现出令人意外的普适性。这就意味着，动态约束的函数迭代会给出从倍周期分岔到混沌结构的不变性，这与函数的选择形式其实关系不大。在上图显示的一个典型的单峰映射迭代函数X_n+1= γX_n(1-X_n)中，如果再加上一项写成X_n+1= γX_n(1-X_n-0.1X_n²)，上述图像只会稍有变形，但整体拓扑结构并无变化。为此，这就提示了我们对分岔重整化群计算的物理理解：虽然我们不知迭代函数要选择怎样的函数形式，才符合对真实量子隧穿物理图像的数据模拟。但这个问题似乎并不重要，因为不同的函数迭代都可得到具有普适性的后果。这样一来，对中间态的物理分析，就可以基于不同函数迭代来寻求普适的物理图像了。

以下是我记忆中的我当年设想的3个动态约束条件之迭代函数方程：

1）x_n+1 = 1 - ν x_n²     2）x_n+2 = x_n+1；x_n+1=1 - ν x_n²    3） x_n+2 =1 - ν(x_n²+ x_n-1²)/2  （3）

以上这3个迭代方程不但均实现了稳定的周期解，同时也都满足约束条件(1)和(2)。这说明了什么？这说明了超导中间态的结构可能具有普适性，即在绝对零度的超导电性和超导转变点温度之间的简并稳态结构，所体现的超导元胞的能量结团模式，似乎对所有超导材料都是具有共性的。为此，在以上任意选择的3个迭代函数中，其拓扑结构都是相同的。第一个迭代函数x_n+1 = 1 - ν x_n²给出的是通常的一维单峰映射的最普遍的模式，即等价于以上图像显示的模式。但若选择其他迭代函数，控制参量ν从小到大的变化也都会形成各种周期解，只是最开初的周期点不同，我迄今依然记得前述2）在适当选择参数时，似乎表现为3点周期解，即迭代值稳定循环在3个x₁，x₂和x₃不相同值之间。取其它函数模式，起始为5点、7点周期解都有可能。为此，这就体现了分岔结构的普适性。

在以上任何迭代函数中，若把包含温度因子的ν作为调节参量，我给出的数值计算是，在任何点周期的后续演化中，都不可能存在能量递增型结构，而只能存在倍周期分岔型的结构。例如，若最先用参数调出3点周期解，之后的4点、5点周期的稳定迭代点都并不存在。我发现所有系统演化都只可能出现倍周期分岔：即3点周期之后只存在6点周期，12点周期，等等。进而，如果最先给出的是5点周期解，则后续只会形成10点、20点….周期解。可见，从以上超导现象中提取出来的中间态模型，只可能体现为倍周期分岔型，原来想象的Landau给出的从层流到湍流的能量层流递增型的演化模式，或者说能量递增型，都并未出现。为此，超导中间态所呈现的倍周期分岔可能是具有普适意义的——这是链接简并稳态与和热平衡态的衔接桥梁。下面，我再简单说明以下或许有一定意义的结果。

1）从BCS理论中我们知道，其推出的超导相变点温度公式中仅含V₀这一项。这意味着只要存在电子-晶格作用，就能形成Cooper电子配对，那么超导就必然存在。只是V₀这个参数与相变点温度的关系包含在指数因子中。若V₀数值比较偏小，则相变点温度就会很低。这就意味着只要存在足够的低温环境，任何材料都可能存在超导性。这个结论显然不合理。而以上分析表明，V(p)展开的三个因子V₀，V₁，V₂尤其是V₂这个非线性因子，才是决定超导是否存在的关键因子。看起来这似乎就是一个比BCS理论更为合理的结果。这至少能够说明，若某些材料的非线性不够导致V₂太小，就不可能呈现出超导。

2）由此一个可以很容易推出的结果，就是超导的临界电流与温度关系的曲线。事实上，以上超导配对元胞的动量p或者能量p²/2m在量子基态上也不会等于0。这样一来，加入外电场还会导致以上元胞的动量或能量继续增高。若能量发生溢出，导致约束条件的nE(T) < 0不能满足了，那么，超导就会消失了。为此，通过V(p)在添加了外电场的函数形式，给出超导临界电流的公式或许不难。另外，相对运动下配对元胞动量或能量的存在也说明了，两个配对电子的动量可以并不相等，这也是和BCS理论的重大差别。这或许对高温超导的理解会有新的角度。在《框架》中我特意提到，可以考虑两个不同动量的电子配对就是出于以上考虑。

3）以上分析的难点，又是很重要的一点，就是考虑在外磁场作用下的超导中间态问题。事实上，普通超导材料中普通态和超导态交替出现的问题，第一类第二类超导体问题，以及铜氧化物和铁基超导体问题，都与外加磁场或内禀磁结构有关。磁场或磁结构的因子如何融入在V₀ ,V₁和 V₂之中？我对此一筹莫展，从而也就无法做后续分析了。但我对此依然有物理图像的猜测：那就是，磁场和磁性结构的引入必然导致超导材料会交替出现Lyapunov指数小于0为周期解，大于0的混沌解，以及等于0的稳态临界点，这个概念下一小节再谈。该物理图像一定丰富有趣。可惜我没有能力继续这项工作，但愿有兴趣的博友可就此做些探索。

4.5 分岔重整化群计算对应的物理图像、演化机制和对科学规律的认知

以上分岔重整化群计算表明，它的确给出了链接单一能量简并稳态（拓扑物态）和热平衡态之中间态的倍周期分岔物理图像。进而，这一物理图像很可能是具有普适意义的，可能体现了某些类型的简并稳态和热平衡态之间衔接的物理图像。尽管我后续的尝试力图给出在外磁场下超导的中间态遇到了困难，但在这些尝试计算的过程中，仍然给我带来了许多思考。我对以元胞自动机为基础的计算有了许多新的体会，认为这的确可能成为发现新的科学规律之手段，犹如科学实验是发现规律的手段一样。在《框架》一文中，我有用了很大篇幅来论证宇宙演化和生命演化的物理图像，这些思想很多都来自我对元胞自动机计算的理解。

为此，我是这样来理解元胞自动机的——它实际上提供了另外一条我们认识物质世界系统演化规律的手段。从实验中总结出来规律，任何科学规律的提出也需要得到实验的检验，这一点认识规律的途径，我们当然永远也不可能否定。但是，正如Walfrom指出，计算既是一种科学推演，计算还是是工程的应用，进而，计算还体现系统演化的规则，这最后一点往往是被人们所忽略的。为此，从这个角度来理解计算，就进而要形成我们对演化分类的认知。重整化群方法就体现了物质演化基于计算的分类，那么，哪些演化问题适合用分岔重整化群计算，分岔重整化群计算给出的演化规律，与我们以往的归并重整化群又有什么区别呢？下面，我要指出我的以下初步两点认识：

1）比较统计分布之归并重整化群和元胞结团之分岔重整化群

在凝聚态物理中，人们迄今虽有了另类不同物态的概念，如逐渐得到人们承认的拓扑物态。但人们对这类新型物态的理解，往往局限于这些物态不同于Landau破缺，而属于量子宏观物态。人们并未从系统演化，即跷跷板效应会演化出不同物态的角度来思考。事实上，当今物理学只有热平衡态下统计分布的概念，这种物理理解又根植于系统个体之间的相互作用，以及热随机力只会带来无序分布的思路。然而，理解物理世界还有另一条演化思路，那就是系统个体有可能通过相互量子隧穿而结团形成元胞，而热随机力的作用未必就是把系统推向无序，而是会驱动系统形成有序化的简并稳态。这就带来了基于元胞自动机的分岔重整化群计算——其含义体现在，物质世界演化的方向其实是沿着“上帝”计算出的轨迹演变的，Walfrom的这一元胞自动机的思想，可能会让我们重新理解物质世界。进而，以上两个不同的演化方向和理解思路，就带来了两类不同的重整化描述，归并重整化群和分岔重整化群。

归并重整化群思想的核心，体现在它是对相变临界温度附近物质演化的描述。趋于相变临界温度的系统，其个体之间的关联尺度会越来越大，从而会形成某种标度律，通过重整化群的函数迭代关系，就可给出在相变点温度下的各种临界指数。很显然，从其物理本质上来看，这体现了纵向结构下，系统个体之间的相互作用和温度随机力的竞争关系。高温下热力学系统受温度随机力驱动而表现出无序，低温下个体之间的相互作用又要令系统有序化。只有在系统温度接近相变临界点时，以上两种力量的竞争才会令空间关联的尺度越来越大，从而具有某种自相似结构，我称其为归并重整化群的系统观。如此系统观只是纵向结构下时空构架的产物，进而这依然体现了还原论的观点，认为只有个体相互作用主导系统的演化，而热随机力只是对有序有破坏作用，两者只能形成统计分布。

以上归并重整化群的系统观对现代物理学思想影响很大，人们把这些年来发现的高温超导、FQH、Haldane相等凝聚态领域的奇异特性，都归结为强关联的作用。这来自于人们想当然地认为，热随机力既然只能起到对有序性的破坏作用，那么，以上奇异特性就只可能是更强的电子关联导致的，而低维情况下电子的库伦排斥力的确也相对变强，这也强化了以上观点。为此，Hubbard模型在最近几十年受重视，以及FQH中建立起的分数统计和Laughlin波函数的概念，都体现了这一点。人们认为，以往物理学研究之所以可用Landau平均场近似来处理，体现了弱关联下系统个体的平均化特性就能代表系统。而对强关联的处理就要体现出特殊的物理机制和用特殊的数学工具来处理了。人们是以此出发来理解高温超导和分数统计这些凝聚态物理之新现象的。这样一来，人们的思维实际上还是框定在纵向结构之下。归并重整化群在当今的发展，如密度矩阵重整化群的出现，就体现了以上强关联思想。

然而，本文所提出的分岔重整化群所展现的，似乎是与归并重整化群完全不同的另类思路。这体现了每个系统元胞的形成，虽然来自个体之间的相互作用，或许这也可以被认为是某种强关联作用下形成的元胞，但这些元胞一但形成，就属于某种具有一定鲁棒性的耗散结构了。所有元胞之间的进一步协同作用，就主要体现为量子隧穿的非线性效应，这就呈现为横向作用，如此非线性力作用所导致的后果，就并非弱关联或强关联的概念了。熵能判据主要是依据如此非线性力和热随机力共同驱动，才令系统演化走向有序化而成为简并稳态。为此，分岔重整化群计算就体现为针对如此物理机制的数学分析工具。按照某种规则的计算并形成分类，这就是系统演化形成稳态的理由，简并稳态正是系统演化形成的一个大类。为此，就分岔重整化群计算，我要将其思路进而简单地总结为以下两点：

首先，分岔重整化群计算的思路，并不否定系统个体之间的某种相互作用决定了其物质的物理特性。但这带来的后果并非基于系统个体的某种统计分布，而是要令系统个体之间形成局域结团而构成的元胞。元胞是大系统下等能量等几率的子系统结构概念，而并非系统个体由于相互作用而形成的分布概念。例如，普通超导配对电子作为元胞，就构成了系统的完全等能量的全同子系统，它与普通物态所体现的电子分布完全不一样。进而，高温超导材料则是在配对电子的基础上，两个配对电子子系统再通过交换反铁磁矩作用，从而继续配对从而降低了系统能量，这才形成了与普通超导体不同的基础元胞。同样地，Laughlin波函数既然体现了FQH中多电子的相互作用，为何一定要体现为3个电子，我认为这或许也可做某种元胞分析。其电阻的平台效应，或许体现了以元胞为基础的简并稳态。总之，元胞是分岔重整化群计算的基础，一切都要从基于元胞的系统演化出发来分析物质的特性。

其次，基于分岔重整化群的计算虽然也要以熵能判据为基础，但其物理机制却呈现为，重整化群计算本身，就体现了系统的演化。这意味着元胞之间还会进一步结团而形成多重能量下的简并稳态。更具体地说，这体现为随着温度随机力的增大，基础元胞还会不断结团、再结团而构成越来越大的元胞，这就构成了大量的、不同能量下的简并稳态，如此系统演化过程就体现了横向结构下生成彼此协同的子系统简并稳态。这就与普通重整化群的Kadanoff归并概念完全不同，结团元胞个体特性并不会在演化过程中被“平均化”或抹平，而是恰恰相反，不同基础元胞能量在动态约束下，会形成函数迭代关系。这导致的后果是，系统演化会令每个元胞个体都趋于能量的稳态，从而简并稳态具有热平衡态下统计分布所不具备的稳定性、耗散性和封闭性，这体现在测量上就体现为鲁棒性，其精确的测量值不受外界扰动的影响。

2) 分岔重整化计算成立的三要素：离散系统、延迟效应和稳态临界点

以上针对系统演化的分岔重整化计算虽然还很初步，但我认为这一理论分析是很有发展前途的。事实上，对于物理测量呈现出来的鲁棒性，是无法用基于热力学的统计分布来理解的，而必须用到简并稳态。简并稳态在其演化结构特性上，就体现为某种进入混沌态状态之前的周期解特性，即元胞个体等几率地占据着各种能级。这类周期解特性用基于迭代的分岔重整化计算来描述，是非常合适的。在《框架》一文中我就指出，FQH也可用园映射迭代函数来分析。但并非所有简并稳态都可用分岔重整化来计算。如超流激光这些简并稳态问题，我认为就无法用分岔重整化计算来分析，甚至都不可能用到Walfrom元胞自动机，它似乎更接近与统计分布描述。

为此，这就提出了一个有趣的问题。事实上，简并稳态会呈现出多种表现形式。前述共振隧穿下的量子纠缠，就并非体现为系统个体之间的协同性，而只是表现为单一能量简并稳态的鲁棒性，其本身也并未呈现出任何时间的演化性。而分岔重整化群计算的一个重要特点，就体现了时间演化要用离散的时间点来描述，以体现出熵能判据的驱动。然而，对于前述共振隧穿，我强调了电子隧穿与光子纠缠的时间同步性，而这里对超导中间态的描述，却又要以离散时间为基础。这就导致了如下疑问，一定是有些系统可用元胞自动机计算，另外一些系统却不可用元胞自动机来计算。究竟什么类型的物质现象才适合于用元胞自动机或分岔重整化来计算呢？为此，我初步总结为以下三个要素：离散系统、延迟效应和稳态临界点。

先谈离散系统。前述超导配对元胞本身的相互吸引势构成的量子能级就属于分立的能级，从而呈现为离散系统。进而，不同元胞之间的势垒隧穿，以及这种隧穿在温度增加之后的增强，如此协同作用当然也呈现为离散系统。这就是可用分岔重整化来分析计算的基础。对于如此离散系统，我们并不能基于微观来分析具体能级的结构或隧穿的几率，如此描述观就是基于个体的规律分析。熵能判据驱动所形成的简并稳态属于系统规律，其离散特性要受系统演化规律支配。事实上，前文分析给出的元胞自动机之迭代函数的迭代值，当然并没有准确体现出相互作用或势垒隧穿对应的精确能级值。但这都是无关大局的，因为这并未影响到系统规律的表达。这与热平衡态下粒子能量和动量之整体统计分布，未必精确体现了具体粒子之间的碰撞过程是一个道理。进而，连续能级系统只可能导致有温度的热平衡态分布，只有离散能级，才能作为基于细胞自动机的分岔重整化计算的对象。

第二个因素延迟效应，这个概念体现在系统的演化过程中，系统个体或元胞之间的协同效应，必须具有某种时间延迟性。超导中配对元胞之电子-晶格作用就体现了某种延迟效应。一个电子先行让晶格中的电荷分布发生畸变，后到的动能大小方向类似的电子，就会受到很强的吸引力作用。另外，常规测量只体现为外界测量扰动的线性响应，量子Hall效应的电阻测量在外磁场很弱时，也属于线性响应。但在强外场情况下所呈现出的非线性电阻平台，就呈现出某种量子态在磁场下回旋运动的延迟效应了。所以，我认为FQH也可用基于量子相位的园映像迭代函数来计算。事实上，延迟效应体现了不同系统个体之间的非直接相互作用，从而形成了简并稳态。如此稳态在演化过程中可能会发生偏离，从而要通过熵能判据的驱动来校准，这就导致了系统演化过程的鲁棒性。必须有延迟效应的系统，才可用细胞自动机或分岔重整化群来计算。这正体现了演化观与描述观的不同，后者是可用完全静态的可测量公式表述。

第三个稳态临界点是我发明的词汇，特指系统演化过程中必存在Lyapunov指数等于0的点，这也是简并稳态的相变点。鉴于Lyapunov指数小于0为周期解，大于0为混沌解，Lyapunov指数等于0的点就应当是稳态临界点，其含义不仅是指从周期解到混沌解的相变过程。不同的周期点稳态解之间的交界处，也属于稳态临界点。如此稳态临界点有什么特殊意义呢？其含义就体现为前述系统个体或元胞之间关联的延迟效应已经不存在。从而在Lyapunov指数等于0的点，就让系统个体变得无关联了。如前述约束方程n=2时，就有ε(p₁) +ε(p₂) = 2E(T)。如果这两个元胞元胞没有关联，那么，无论ε(p) 取何种函数形式，用任何初值ε(p₁)迭代必得ε(p₂) = 2E(T) -ε(p₁)。这意味着临界稳定系统中的个体或元胞已经彼此不相干，尽管总能量约束依然存在。可见，分岔重整化群计算与平衡相变的重整化群也截然相反——在平衡相变之相变点，系统要从短程序演变成了长程序，系统相干性在相变点会显得增强了。但分岔重整化群在临界稳定点时，系统中的元胞反倒变得不相干了。

以上稳态临界点对应于凝聚态物理的测量，就体现为某种测量特性的丧失和恢复的交汇点。超导和量子Hall效应都体现出了如此特性。磁场超过了临界值的超导中间态，就体现了普通态和超导态的交替出现。我认为这若用分岔重整化群计算，就会表现为周期解和混沌解的交替出现，两者的交界点就是稳态临界点。量子Hall效应若用分岔重整化群来计算，也应体现为同样的特征，因为从量子Hall效应的电阻测量平台来看，不同电阻平台区的确都呈现了某些空挡区域，这些都应当体现为稳态临界点。另外，通常人们认为量子相变是在绝对零度时发生的仅由量子涨落所驱动的相变而与温度无关。但对此我有个疑问：表现为热随机力的温度效应是否会破坏量子相变？因而我倾向于认为，量子相变只可能发生在具有测量鲁棒性的简并稳态系统——这不应是只有绝对零度才会发生的物理现象，因为简并稳态具有鲁棒性的抗干扰能力。为此，量子态相变点处，或许也应存在稳态临界点

在本文的最后，我要再多说几句。本文提出的以上对量子纠缠和超导现象的新理解，以及共振隧穿和分岔重整化群的思想，都还远远不够成熟。但我的强烈的感受是，这个新的演化观研究方向值得重视，这或许是Anderson演生论思想的具体化。另外，本文之所以用中文写成，一是希望中文圈的学人能提前了解我的以上简并稳态的想法。若我的这篇文章能让华人圈的学人在这个领域率先做些工作，将是我莫大的荣幸。二是对于我这个退休老头来说，已没有任何科研成果的压力，能否再发表什么论文，论文发表的期刊级别对我来说意义不大。若为了发表，而不得不删除不被他人认可的、但我又自认为有价值的观点，我并不乐意这样做。所以，我宁愿把自己的想法写成以上博客的形式。这样才能完整地、不受约束地表达自己的观点。好在如今有了ChatGPT，翻译成英文并将来发布到arXiv上，也是非常容易的。但愿博友们提出修改意见，我会考虑根据博友的修改文字以后，再改写成更标准的论文格式投稿到arXiv或其他学术期刊。