在连续介质力学中，大变形大转动的非线性方程运动方程是一个长期以来争论不休的论题。也是我正在写的一篇长论文(大概20页)的题目。特此写一文谈谈不能写到论文里的内容。

       这可以从力学理论和工程力学两个方面来考察。

       1）就力学理论而言，在早期，对任意变形，Stokes 给出了对称应变和反对称应变的定义（写成分量形式后，有6个运动方程）。但是，很快就发现：这种分解只适用于微小转动。随后，一方面在流体动力学中得到广泛应用，一方面又在固体力学中陷入了停顿。随后，在流体动力学中也陷入了停顿。

       Green 通过用拖带系中变形前后的度规张量的差来定义Green应变，由于消除了Stokes转动的影响，因而被认为适合于大变形（写成分量形式后，有3个运动方程）。并随后得到广泛应用。直到现在，还是主要的手段之一。

       但是，从Green应变提出之始，实验力学家就对它的平方定义持反对意见。从理论上看，数学上消除转动并不能等同于在物理上消除转动的客观存在的相应的力学作用。

       这样，以Truesdell为代表的理性力学学派发展了一个极分解：把变形梯度分解为一个伸张和一个转动的乘积。这样，由伸张部分构造一个消除转动以后的应变；而把转动等价于欧拉转动。这样，写成分量形式后，由回到了6个运动方程。但是，其应变张量的定义方法给出的是：两点张量。而对这个张量，当时的数学发展水平并不支持，而理性力学学派没能深入研究，因而，在内外部高压下，草草收场（被视为失败）。然而，塑性力学家全面接受了这种极分解。因而，对大变形大转动，也又许多研究工作采用极分解为主。

       这样，明眼人马上就看出来了：如何在数学上、力学上解决变形梯度张量的问题是取得进一步进展的关键所在。到了1980S后，我国力学家匡震邦在研究变形梯度张量的协变导数后发现：对于所定义的应变，除非求部分指标的协变导数，否则完全按数学上的协变导数法则求的话，得到零结果。这样，就排除了把变形梯度张量视为普通张量的合理性（据我所知，这部分论述只出现在他的书中，没在期刊上登出）。我国力学家陈至达则发展了对两点张量概念的数学开拓，把它看成为点集变换张量，并由此而得到S+R和式分解：变形梯度张量分解为一个伸张和一个转动的直和。但是，这样的一个张量是混合形式的。因而，反对意见很大。另一方面，协变导数是在当前位形下求还是在初始位形上求呢？这个数学问题直到2005年才由我的研究工作得到初步解决：对逆变力，在初始位形上求；对协变力，在当前位形下求。力学上是合理了，但是，数学上呢？

       这样，数学上的问题：变形梯度张量S+R和式分解的本性还是一个有待解决的问题。只到近几年，在研究Clifford 几何代数以后，我才认识到：是因为在经典张量理论中并不容许矢量的除法运算才导致数学上理解S+R和式分解的困难。事实上，R是与外积运算有直接联系的。因为在普通张量理论中并无外积运算，因而，造成很大的困惑。自今年起，随着这一困难的克服，有关的结果将陆续发表。对研究稳定性问题，高精度的非线性方程运动方程（不管是大变形还是小变形）是至关重要的。2012年，作为一个标志性成果，我对此是很得意的。

       2）从工程力学方面来考察，Kirchhoff 取变形后的中面为参考建立拖带系，引入相对于中面的微分局部转动，从而，将中面的大变形大弯曲分解为：中面的面向伸张和相对于中面的微分局部转动。对中面的面向伸张采用Green应变；对相对于中面的微分局部转动引入转动矩（体矩），从而得到：6个运动方程（三个应力方程；3个内矩方程）。这就巧妙的避开了力学理论上的缺陷，使得在这个大变形大转动的非线性方程运动方程走在了力学理论的前面。后来，Love, von Karman 等进一步发展了这条路线，从而形成了板壳的、经典的大变形大转动的非线性方程运动方程。

       但是，由于不能得到一般变形力学的理论支持，因而，在此后也陷入停滞不前的困境。一个很不好的副产品是：工程力学多多少少的很看不起张量表达的力学理论。而在我国，此点特别突出。

       还应指出：

       3）在过去的近半个世纪的困惑中，变分法被看成是引出大变形大转动的非线性方程运动方程的妙药。但是，随着非线性项的增加，不仅在理论上陷入混淆是非，而且，也在工程应用上越来越不靠谱（缺失普遍意义）。尽管利用计算机形成了一套所谓的计算力学体系，但是，实验力学家则是对此不屑一顾。

       4）力学理论的研究工作发现的两点张量在1970S前后受到数学家、理论物理学家的“严肃、严厉”的批判后，却在近十年成为研究工作的热点。其在物理科学中的意义也被重视起来。作为Truesdell为代表的理性力学学派的重量级人物，W Noll 难免的要对数学家过去的瞎批判回击一番，并试图进一步的拓展有关的研究工作。但是，别忘了，他本身就是一个数学家。

       可以预测，现代数学上的进展将给力学以新的前进的动力。

       总结以上的历史教训，力学前进的道路是非常曲折的。但是，为解决稳定性、疲劳等论题，力学理论必须前进。