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Zmn-0218 薛问天：同一符号dy代表的是不同的微分，评新华先生《0217》

已有 1880 次阅读 2020-6-4 09:00 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0218 薛问天：同一符号dy代表的是不同的微分，评新华先生《0217》

【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0217》新华先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

同一符号dy代表的是不同的微分

，-评新华先生《0217》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg 新华先生似乎还没有注意到我同师教民先生讨论的焦点问题。那就是【在y=f(x)和x=g(y)互为反函数的情况下， y=f(x)的自变量的微分dx，同 x=g(y)的因变量微分「dx」=dg(y)是不是同一个微分变量?同样，y=f(x)的因变量的微分「dy」=df(x)，同 x=g(y)的自变量微分dy是不是同一个微分变量?】

(一)，同一符号dy代表的不是同一个微分变量。

新华先生说【两个函数中的变量x、 y还是相同x、y，只是在y=f(x)和x=g(y)的身份发生了变化，x在函数y=f(x) 中是自变量，y是应变量，而在函数y=f(x)的反函数x=g(y)中，x变成应变量， x变成自变量。因此在对两个函数微分中，dy、dx不会改变。】

在这段话中说【dy、dx不会改变】，是什么意思？如果是指【dy只有一个】，或者【dy是同一变量】(同理指【dx只有一个】，或者【dx是同一变量】，)那就錯了。

因为【 x在函数y=f(x) 中是自变量，y是应变量】，因而

dy=df(x)=f'(x)dx，则dy/dx=f'(x)............①

中的dx①=Δx是自变量的微分，dy①=df(x)是应变量的微分。

【在函数y=f(x)的反函数x=g(y)中，x变成应变量， y变成自变量。】因而

dx=dg(y)=g'(y)dy，dx/dy=g'(y)............②

中的dx②=dg(y)是应变量的微分，dy②=Δy是自变量的微分。

其中dx①同dx②虽然都用dx表示，但却是两个不同的微分。同样虽然dy①同dy②都用dy表示，也是两个不同的微分。这点非常重要，绝对不要混淆。

这点也不难理解，按照微分的定义，dx①=Δx，而dx②是Δx的线性主部当然一般不等于Δx。同样， dy②=Δy，而dy①是Δy的线性主部当然一般不等于Δy。

另外对于复合函数y=h(y)=f(g(y))，

dy=dh(y)=h'(y)dy②,............③

这里的dy③是复合函数y=h(y)的应变量的微分，不要同dy①(是函数y=f(x)的应变量的微分)相混淆，这是不同的微分。

③中的dy②是自变量的微分，同②中的dy②是同一微分。

只是由于函数y=h(y)是恒等函数，它的导数恒等于1。所以可证dy③=dy②。因而dy③同dy②是同一微分，但是dy③同dy①是不同的微分。

综上所述，在这些微分中，dy並不是只有一个，有dy①同dy②之分，另外还有一个dy③，但是可证dy③=dy②。

同理， dx並不是只有一个，有dx①同dx②之分，另外还有一个dx④，但是可证dx④=dx①。

(二)，在数学中，不仅要求结论正确。推理也要正确。不能因为结论正确，就掩盖了推理中的错误。

例如，在复合函数中，如果y=f(x)，x=g(t)，y=f(g(t))=h(t)。则有h'(t)=f'(x)g'(t)。这个结论是正确的。但是如果是这样来证明:

因为dy=f'(x)dx，dx=g'(t)dt，将后式代入前式即得: dy= f'(x)g'(t)dt，所以 h'(t)=dy/dt=f'(x)g'(t)。

这个证明就是错误的。因为dx是不同的微分，不能【代入】。

再例如，在正反函数中，如果 y=f(x)，x=g(y)互为反函数，则其导数互为倒数。即f'(x)=1/g'(y)。这个结论是正确的。但是如果是这样来证明:

因为根据倒数的性质dy/dx=1/(dx/dy)。将dy/dx=f'(x)代入上式左端，将dx/dy=g'(y) 代入上式右端，即得 f'(x)=1/g'(y)。显然这样的证明也是错误的。因为不同的微分不能随意【代入】。

恰好新华先生也做了一番推导。他写道: 【因为

y=df(g(y))=f'(g(y))dg(y)=f'(g(y))g'(y)dy=f'(x)g'(y)dy，

所以dy=f'(x)g'(y)dy，由于dy不是恒为 0，所以 f'(x)g'(y)=1，则 f'(x)=1/g'(y)，亦即 dy/dx=1/(dx/dy)；】

由于新华先生只写了推导的过程，并未写推导过程的依据。所以我还不能断定新华先生的证明是对是错。那就请新华先生自己来检查了，如果在证明中混淆了不同的微分变量，把不同的微分看作是同一变量，如果在证明中用到了这点，那肯定证明就是错误的。

我把我去年写的文章《 Zmn-0026薛问天: 两个错误的证明》的链接放这里。供新华先生参阅。

Zmn-0026 薛问天: 两个错误的证明 2019-4-25

(三)，新华先生举例验证的作法，我非常欣赏。

验证了 f'(x)=1/g'(y)，这确实很好。但是验证的结果却说【在∆y/∆x与∆x/∆y的结果不能保证互为倒数，】这肯定是计算或判断错了。

我粗略看了一下新华先生的计算。实际上新华先生没有算完。 Δy/Δx算的是Δx的函数式，Δx/Δy 算的是Δy的函数式。没有把Δy换成Δx，你怎么知道它们不互为倒数。继续算下去，把Δy的函数式换算成Δx的函数式，两个式子才能真正比较。当你把两者都换算成Δx(或Δy)的函数式，它们就肯定互为倒数了。

我也用你的三次方的互反函数（y=x^3，x=³√y）作了一下筒单的验证。在x=1，y=1点求导。y'=3，x'=1/3，互为倒数没有问题。令Δx=1，则Δy=7。令Δy=7，则Δx=1。增量是一致的。而且Δy/Δx=7，Δx/Δy=1/7，互为倒数也没有问题。计算出dy①=df(x)=3Δx=3，dy②=Δy=7，显然dy①≠dy② ，是不同的微分。dx②=dg(y)=(1/3)Δy=7/3，dx①=Δx=1，显然dx①≠dx② ，是不同的微分。

我还具体画了图供参考。

y=f(x).jpg