Zmn-1115 薛问天: （修改稿）不要再坚持函数概念的简单错误了。评师教民先生《1112》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1112》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

不要再坚持函数概念的简单错误了

评师教民先生《1112》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，师教民先生在《1112》还在坚持他的错误。我初步查了一下，他是早在《1038》中就说了这样的简单错话。师教民当时公开说【据极限理论或第二代微积分的函数的定义：变量 x，y 的取值在一定的范围内变化时，按照一定的法则一一对应，则称变量 x，y 的关系为一元单值函数关系，记做 y=f(x)，其中 f 表示变量 x，y 的一一对应的法则，叫做函数关系．本来，变量 x，y 地位相同，权力均等，谁也不比谁更突出、更优越、更特殊．所以它们的取值完全同时，根本不分先后，只是一一对应！】

我随及在《1041》就作了批评〖对函数概念的理解上有错误。要知道函数y=f(x)，变量y是随变量x的变化而变的。x称为自变量，y称为因变量。y同x的关系是【映射关系】不是【一一对应】。〗

也就是说，指出了他对函数y=f(x)概念理解的两点错误，一是x和y分别为自变量和因变量，不是【地位相同】，二是函数关系f是【映射】，不是【一一对应】。

师教民先生並没有承认他的错误。关于认为变量x和y不分自变量和因变量地位相同的错误观点，由于错太明显，没有继续再说。但是对函数关系 f 认为是【一一对应】的错误仍在坚持。

师先生在《1049》中说【中国绝大多数的书中的一元单值函数的定义都是用的【一一对应】．只是近几年来才有的书启用【映射】．还说【同济大学数学教研室主编、高等教育出版社连续几十年出版的中国名著《高等数学》，除了第8版以外，前7版对一元单值函数y=f (x) 的定义，都是用的【一一对应】，都不是用的【映射关系】，】

师教民先生说得完全不对，有些不顾事实了。我还去看了第7版。函数讲得很清楚是映射，怎么能把函数的映射说成是【一一对应】呢，差得太远了。

再看看这是我《1061》的原文。〖沒想到师先生这次在《1057》中还坚持说【同济大学数学教研室主编、高等教育出版社连续出版的中国名著《高等数学》，前6版对一元单值函数y=f (x)的定义，都是用的【一一对应】，都不是用的【映射关系】，你薛问天先生敢说上述中国名著《高等数学》的前6版都错了吗？】

害得我又去查找。找到了个第五版，函数的定义写得清清楚楚，根本不是师先生所说的那样。函数的定义，原文如下。

【定义  设数集D⊂R， 则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x)，x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D。】

写得清清楚楚，明明白白。是【映射】，哪里是什么【一一对应】。

师先生太不负责任人了，随意乱说。函数就是由映射定义的。把函数定义为【一一对应】当然是错误的。〗

要知道数学最基本的功夫就是要概念清楚。映射和一一对应这都是数学中最基本的概念。一个高等学校的数学教师，怎么还坚持这样的错误。【映射关系】同【一一对应】有原则的区别。人人都知道【一一对应】要求存在的是【双射】 ，而【双射】则要求【映射】满足【单射】和【满射】的条件。师教民先生，你真的连这些最基本的概念都弄不清楚吗？

可笑的是师先生竟拿出教材第4版中的函数定义的原文件来为他辩护。要知道函数定义中的【如果对于每个数，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，】这就是映射。要知道满足单值条件的对应这就是映射。为此我还为师先生引入了教材中映射的定义以及一一对应的定义的原文，说明函数的定义所说的是就是映射不是一一对应。要知道我引的同济高等数学同你所引的【中名著】是一个教材。可师先生竟然说【薛问天先生在他的这篇文章Zmn-1104中为他的上述错误辩解时，不敢回答上述中名著第4版里无【映射】概念的问题、而回答了另一书《同济 高等数学》里有【映射】概念的问题，这就是答非所问了，答非所问就是理屈词穷，败下阵来的典型表现．】

师教民先生，你真的弄不懂第4版函数定义中所说的就是映射吗？你真的不懂第4版和第5版的函数定义是一致的吗？你真的弄不懂映射和一一对应是不同的概念，还要坚持你所说的【上述定义中没有用【映射】概念，只是用了x和y这两个变量的对应，因为这个定义包括了多值函数，所以只说了这两个变量的对应，我与薛问天先生讨论时，专门提出了单值函数，所以就成了两个变量x和y的一一对应．】

要知道教材第4版函数定义中说的就是映射。你说它不是【映射】而是【一一对应】就是严重的错误。

我真搞不懂，为什么师先生要这样反反复复地坚持这种明显的简单错误。

2，我在《1104》中说〖师文中所说的其它意見，我认为都是在做一些【无味的辩解】【毫无意义】，我就不在此一一回复了．因为这些都是明摆的事实，白纸黑字，是不是【无味的辩解】和【毫无意义】，让读者们自己判断好了．我就不必在此多说【错误的理由】了．至于是不是【薛问天先生已经理屈词穷，败下阵来．】你空口说了无用，让读者们判断好了．〗我现在还这样认为。因为这些问题，并不是师先生所说【你薛问天先生不敢也不能说出错误及其错误的理由，只是空喊了几句口号了事．】而是反反复复，批评的道理说的太多了，你师先生根本听不进去，也拿不出任何新的反驳意見来，又不承认错误，再这么无味地争论下去，毫无意义。所以我认为不必再争论了。你不承认错误，就让读者们去判断对错好了，只要不再坚持错误，可以暂不批评。但在以后的讨论中，如果还要以此错误作为根据，那当然仍是不允许的。

关于显函数的问颢就是明显一例。

回忆一下，我是一直在用各种方法，批评你对显函数的错误认识。那里是师先生所说【薛问天先生不敢也不能说出错误及其错误的理由，只是空喊了几句口号了事．】

你早在在《1059》中就说【y=f(x)和x=g (y)只是隐函数的两个特例叫做显函数。】我在《1062》就提出了批评。〖师先生把函数y=f(x)以及x=g (y)说成是【叫做显函数】。这显然是认识上的严重错误，y=f(x)以及x=g(y)只是函数的记号，只是函数定义中所说的【通常简记为】，不是显函数要求的【研究其中y对x的直接关系】，〗

而且我在《1068》中引述了菲书中的认为〖显示式被理解为显的解析表示式时始能显得十分明确〗，以及不能〖把按任何规则所给定的函数都看作显函数〗的原文。明确批评〖师先生错误地认为y=f (x)或x=g (y)是显函数的表示形式〗。明确说明〖y=f (x)或x=g (y)是一般函数的符号表示，根本同显函数的表示无关。显函数要求较高，必须是解析表达式，〗

要知道关于显函数的一般式，我们一直在争论，怎么能说是我【不敢说】呢。在《1070》中，我明确指出〖师先生说【方程y=f (x) 才是以y为因变量的显函数的一般式；方程 x=g (y) 才是以x为因变量的显函数的一般式。】是不对的。 x=g (y) 和 y=f(x)是函数的一般表示，不要随意说它是方程。而且只是有表示为明显的解析表达式时，才是显函数，一般的函数并不一定是显函数。〗

多么清楚，薛问天批评说不能说显函数一般式是x=g (y) 和 y=f(x)，那么说显函数一般式是什么？薛已明确回答〖表示为明显的解析表达式时，才是显函数，〗。

在《1080》中我批评说〖师先生对【显函数】的理解是错误的。他只注意到显函数有这样的表达，函数的因变量被单独地放在了等式的左边，而函数的自变量包含在等式的右边的表达式中。以为有了这样的表达，这个函数就称为显函数。要注意这不够，这只是显函数的要求的一部分。重要的是要求【表达式为明显的解析表达式】。

我在《1095》中明确说明了下述意見。

1)，我认为师先生不要再为在显函数表述上的错误辩解了，问题如此清楚，还有什么可辩解的。

①，要知道〖表示为明显的解析表达式〗，我已经说了这不是我发明的，这是菲书中对显函数的解释的原话。还追问什么【你说的条件“明显的解析表达式”是什么？】又说什么【既然是“明显的解析表达式”，那么就应该用明显的数学式子写出来．薛问天先生始终不敢用明显的数学式子写出来，是薛问天先生不知道这“明显的解析表达式”是什么的缘故．】

不要再做这些无味的辩解了，毫无意义。

既然你在《1085》中辩解说【我并非只是注意到显函数的【函数的因变量被单独地放在了等式的左边，而函数的自变量包含在等式的右边的表达式中】的表达，从而满足了薛问天先生说的【这只是显函数的要求的一部分】．我更是4次注意到、并说明了表示函数的变量〖被解析出来〗，从而满足了薛问天先生说的『重要的是要求【表达式为明显的解析表达式】』．】

你都说了，你说的【被解析出来】满足了这个重要要求，怎么现在又再问【你说的条件“明显的解析表达式”是什么？】连是什么都不知道，怎么满足？简直在这里乱弹琴。

②，既然师先生认可了我的意見，【说“表示为明显的解析表达式的函数x=g (y) 或y=f (x)是显函数”正确】，而且说这也是他的观点。也就是说，正确的说法要在函数x=g (y) 或y=f (x)的前面加上条件【表示为明显的解析表达式】才能说它是显函数。当然不说这个要求，单说函数x=g (y) 或y=f (x)是显函数就是错误的。要知道并不是所有的函数都是显函数，这还有什么可辩解的。

师教民先生这次却说【我在我的论文Zmn-1102中说『薛问天先生说他说的全文是〖单说函数x=g (y)或y=f (x)都不是显函数，只有当它们表示为明显的解析表达式时，这时的函数x=g (y)或y=f (x)才说它是显函数．〗我的意见是：我只是认可薛问天先生上述全文的后半段，没有认可薛问天先生上述全文的前半段．所以我只是半认可．薛问天先生却把我的“半认可”说成是“认可”．薛问天先生你为什么要擅自地、强行地、无理地改变我的观点？为什么要睁着眼儿说瞎话？】

师先生说这话简直是一点逻辑都不讲。我这句话前半段和后半段是一致的一个意思。怎么能认可后半段而不认可前半段，什么叫【半认可】。要知道承认【只有当它们表示为明显的解析表达式时，这时的函数x=g (y)或y=f (x)才说它是显函数．】那么就必须承认【单说函数x=g (y)或y=f (x)是显函数】是错误的。因为单说函数x=g (y)或y=f (x)，它指的是一般的函数表示，它不一定能【表示为明显的解析表达式】，并不是所有的函数都是显函数。

3，师教民先生辩解说【我说〖说了和没说是一回事〗的理由是：说了，方程y=f (x)中的因变量的符号y是被解析出来并放到方程y=f (x)中的左边，含有自变量的式子被放到方程y=f (x)中的右边，故符合中名著说的显函数的特点；没说，方程y=f (x)中的因变量的符号y也是被解析出来并放到方程y=f (x)中的左边，含有自变量的式子也被放到方程y=f (x)中的右边，从而也符合中名著说的显函数的特点．故〖说了和没说〗就〖是一回事〗，】

这简直在乱弹琴，说了和没说当然不同。说了y=f(x)是【被解析出来的】，你当然可以解释说【它们表示为明显的解析表达式】，就说它是显函数不能算错。但是你没说【变量的符号y是被解析出来并放到方程y=f (x)中的左边】，而是把一个y在左边的函数y=f(x)的等式看作是方程，你怎么能断定它能【表示为明显的解析表达式】，当然不能，要知道并不是所有的函数都是显函数。

要清楚，说【出生在北京的中国人是北京人】是正确的。不说出生在北京这个条件。【单说中国人是北京人】当然就是错误的。要知道并不是所有的中国人都出生在北京是北京人，这还有什么可辩解的。可笑的是师先生竟然在问【什么叫做【单说】？【单说】的内容是什么？】这还用问吗，单说x=g (y) 或y=f (x)，就是没有说前面这个形容词，给这个函数加上这个【明显的解析表达式】条件，还用问吗？可笑的是后面师先生还在问【单说】与【明显的解析表达式】有什么本质区别？】这是师先生故意在此乱问。单说函数x=g (y) 或 y=f(x) 是显函数，这是错的，只有当它们表示为明显的解析表达式时，这时的函数x=g (y) 或 y=f(x) 才说它是显函数。单说就是没有说它们表示为明显的解析表达式，这还不明确吗？

师先生这次说【你薛问天先生不敢反驳、也反驳不了的情况下，突然冒出个与你的对显函数的认识错误毫不相干的【出生在北京的中国人】来，不就成了答非所问了吗？不就成了编造观点了吗？】

怎么能说这同【对显函数的认识错误毫不相干】。

你不能【半认可】，你承认了【出生在北京的中国人才是北京人】，就必须承认【单说中国人是北京人是错误的】。【说了和没说当然不是一回事】。说了是对的，没说就是错的。

听清楚了吧，不是不相干，而是告诉你这个道理，对一个完整的句子，不能【半认可】。对一个重要条件，【说了和没说当然不是一回事】。

4，我在《1095》中说〖师先生终于正式承认，他所说的【 F(x，y)=0既是隐函数，又是方程，】以及【 y=f (x) 既是显函数，又是方程，】的这些话，【世名著的原文中确实〖没有这样的语句〗】，这只是他的理解和推理。〗

那究意是他【始终正式承认那些内容】，还是这次【终于正式承认】．是谁在【睁着眼儿说瞎话】？这本身就不是什么学术问题，没有必要在这里争论。可师先生竟说什么【那么你薛问天先生是干什么吃的？你薛问天先生自己不敢反驳、也反驳不了，......不是正说明你薛问天先生理屈词穷、败下阵来了吗？】对这毫无意义的问题纠缠不休。

于是我化时间查了一下《专栏》中的文章。说【世名著的原文中确实〖没有这样的语句〗】，确实是师教民先生《1092》中親自说的，而且是第一次说，过去从未说过。

师教民在《1085》中说【1)我在我的上篇论文 Zmn-1073 中的 2.1 里从理论上说明了变数方程和函数相同后，又在 2.2 里从实践的角度谈到世名著时说：〔该书在第 182 页把 F(x，y)=0 定义为隐函数的一般式，又在第 184 页说：“函数 y=f(x)”及“方程 F(x，y)=0 和 y=f(x)”．

这就说明：F(x，y)=0 既是隐函数，又是方程，所以隐函数就是方程，方程就是隐函数；y=f(x)既是显函数，又是方程，所以显函数就是方程，方程就是显函数．所以，薛问天先生说“方程不是函数”就错误了．薛问天先生始终不敢说出上述世名著中的上述原话错在哪里，是因为薛问天先生对自己的上述错误心知肚明的缘故．

所以我第 n 次追问薛问天先生一句：“上述世名著的上述原话错在哪里?”如果薛问天先生说不出来，那么就是他自己错了！】

是我在《1087》中质问说〖在师先生所引的书中的原文说得很清楚，是把方程给定的函数称为隐函数，根本就设有把方程称为隐函数。师先生所说的【这就说明：F(x.y)=0既是隐函数，又是方程，所以隐函数就是方程，方程就是隐函数；y=f (x)既是显函数，又是方程，所以显函数就是方程，方程就是显函数．】这全是师先生理解的错误。书中并没有说【F(x.y)=0既是隐函数，又是方程，】也没有说【y=f (x)既是显函数，又是方程，】你把原文列出来，没有这样的语句。这都是你理解的错误。师先生问【上述世名著的上述原话错在哪里?”】我可以明确回答，你把原话列出来，列清楚，原话没有错，是你的理解【隐函数就是方程，方程就是隐函数】，【显函数就是方程，方程就是显函数．】这些话是错的。这是你说的话不是书中的原话。书中的原话没有这个意思！〗

正是在我这样的质问后，在《1092》中师先生终于正式承认，他所说的【 F(x，y)=0既是隐函数，又是方程，】以及【 y=f (x) 既是显函数，又是方程，】的这些话，【世名著的原文中确实〖没有这样的语句〗】，这只是他的理解和推理。但是他要为他的理解来辩解。他说【这并不是我〖理解的错误〗】。要知道这是他第一次这么说，他以前都是在问名著的原话错在哪里，不是问他的理解。【我第 n 次追问薛问天先生一句：“上述世名著的上述原话错在哪里?”如果薛问天先生说不出来，那么就是他自己错了！】

所以我始终认为那究意是他【始终正式承认那些内容】，还是这次【终于正式承认】．是明摆着的事，这本身就不是什么学术问题，没有必要在这里争论。这算最后一次吧，我以后不再理会这些事了。

5，我在Zmn-1104中说：“师先生说【我在我的论文Zmn-1092中，确实没有引用中名著和世名著的原文，确实进行了推理．】在他的推理中，把方程【给出】和【表示】的函数，理解为方程【是】函数，我认为这种理解是错的，【理由完全站不住脚】．师先生理直气状，认为是正确的．至于究竟是谁对谁错，由读者们判断好了．我们完全可以不必在这里为此而争论不休．

师先生把这认为是我【不敢】和【不能说出】他错的理由。他说【你薛问天先生敢说明并能说明我的【这种理解是错误的】理由吗？】这当然是在扭曲事实。实际上是我己多次指出，而师先生不承认这是错误。要知道明明书上说的是隐函数y=f (x) 是由方程F(x，y)=0【给出】和【表示】的，而师先生却把它理解为【是】，这就是错误的根本理由，而师先生不承认这是错误。另外我已说过多次，函数表达式是等式，当然可以看作是方程式，但是方程和函数是两个不同的数学概念，当你把它分别看作是函数和方程时，含义不完全相同。所以不能简单地说函数就是方程。

师先生提不出任何反驳的理由。这次又说什么【我请你写出“方程【给出】和【表示】的函数式与【方程】比比看是否相同”，你为何就不敢呢? 】

这还用比吗，当然不同。方程是F(x.y)=0，它给出的或表示的隐函数有多个，可能是y=f(x)，还有x=g(y)。很可能不至一个，你指同哪个相同。

你不承认错误，又提不出任何新的辩解理由，老话反反复复地讲。这样的讨论有何意义。只好是仃止争论，是对是错由读者们自己判断好了。只要你暂不坚持，我们可以暂不批评。但是如果以后的讨论中，你还要坚持根据这些错误的结论来推论。那当然还是不允许的。我在这里宣布，这些己讨论过多次的问题，如果提不出什么新的理由来。还是老生常谈。我就不再回复了。今天是最后一次。

6，总之，我的意見还是再次重申在《1068》中说的那段话。〖关于我们讨论的问题(3)，师先生的主要错误我在《 1050》中做了全面的分析。但师先生对此并未做出认真的回复。希望师先生对《1050》中的一，二和三详细阅读，认真回答，哪些同意，哪些不同意。所有的问题都可解决。〗

因为解决【问题(3)】就是要纠正dx1=dx2的错误。《1050》对此做了全面的分析。解决【问题(3)】就是必须要对这些问题，一个个做出正面的回答。

我的这个申明当然不是什么【想转移视线或目标】，而是为了集中精力尽快解决我们讨论的主要问题。不要被一些不相干的问题实际上起到了【转移視线或目标】的作用。当然，如果师先生实在对《1050》给不出回答，从而不愿回复，我也不能勉强，只是大家就心中明白，是怎么回事了。特在此再次申明，希望不要发生。

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