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Zmn-0289沈卫国：简评师先生与薛先生关于复合函数的讨论

已有 1448 次阅读 2020-8-19 21:00 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0289沈卫国：简评师先生与薛先生关于复合函数的讨论

【编者按。下面是沈卫国先生发来的文章，简评师先生与薛先生关于复合函数的讨论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

简评师先生与薛先生关于复合函数的讨论

沈卫国

师先生与薛先生关于复合函数的讨论可谓连篇累牍。我这里发表些看法。

函数f，严格讲按教科书的规定，应该就是自变量x的函数。它不是复合函数。复合函数严格讲应该是fg。或薛先生的h。但是，请注意这个但是，师先生在写f时，是给出了明确的定义的，是有限制条件的。在这个意义上，也可以认为在这个师先生的定义下，此时的f可以认为是复合函数。但必须注意，在论述中，不能与原先的自变量为x的f混淆。

不得不说，这里有一个奇怪甚至滑稽的现象，不知道大家以及辩论中的二位注意到没有？师先生是反对用同一个符号dx定义两个不同的微分（自变量的与因变量的）的。但却用同一个f定义不同的函数（对x的与对y的），尽管此时这个f是“带个尾巴”的，也就是有补充定义的。而薛先生是完全同意用同一个dx定义不同的微分的，而且声称根据上下文去区别就可以了。但在这里，却反对师先生用同一个f（但带有补充说明的）定义不同的函数。是不是很有意思？是不是事实？唯一的区别或理由，一个是教科书规定的，一个是师先生规定的。教科书规定的就对了吗？师先生定义的复合函数f，薛先生就不能根据上下文去区别了吗？我的看法，教科书应该更严格，因为它是给千万学生写的，教学生根据上下文去自行区别，没道理。而这里师先生的定义，只是用于这里的讨论，无伤大雅，只要明白其意思就可以了，不必死揪住不放，强调与教科书一致云云。只要在这里的讨论中没有产生矛盾就行了。

真正应该关心的，我认为是我多次提醒薛先生，在此处的讨论中，为了说明问题，薛先生不得不把同样的微分dx，加上不同的数码，比如dx1，dx2，等等，为什么？不一样吗。既然如此，为什么在微积分教材中只用一个dx，dy 就表示了？根据上下文去区分，行吗？连薛先生自己，也做不到。我一再请薛先生试一下，把你在文清慧博客中文章中所有的dx1，dx2等等，统用dx表示，您看看会出现什么样的局面？讨论还能进行下去吗？薛先生对我的提问不予理睬。其实是回答不了的。我这里不是非要薛先生表什么态。但心里应该清楚就好了。这里的讨论实际上对dx等双重定义问题是否可行、应该给出了一个现实实例，就是不行，不可行。一般教科书，不涉及这些讨论，所以好糊弄，马马虎虎算了。这也是普林斯顿教材和方源、王元教材的所谓“大多数情况够用了”的描述。注意，他们都没有振振有词地一口咬定把自变量的微分定义成其增量的做法是毫无问题的。只是说，一般这样也可以了。不像国内教科书，有时还煞有介事地给出几个什么证明。而这些证明都是建立在特殊规定基础上的。

我早就指出，现有微积分理论，微分是建立在自变量的增量的基础之上的。但为什么不直接写这个增量“大德尔塔x”而非得写成dx（小德尔塔x）？这里自有其苦衷。不得不如此。实际上反映了现有理论的根本性的缺陷。明确说，把函数的微分定义成不是其增量，而是其部分，也就是其线性部分，是错的。应该如何做，我的系列文章中讲的清清楚楚了。逻辑上天衣无缝。其根源，还是一个导数的定义问题，求法问题。牛顿、莱布尼兹的思路是对的，求法也不错。只是需要一个解释罢了。详见我的系列论文。还有田茂老师搞的动画图。

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