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Zmn-0779 沈卫国：有关李红玲教授一文的解释—兼进一步说明与强调（三）
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Zmn-0779 沈卫国：有关李红玲教授一文的解释—兼进一步说明与强调（三）
【编者按。下面是沈卫国先生的的文章，是作者《Zmn-0773，0776》的续篇。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
有关李红玲教授“对不需要极限及无穷小概念的微积分新理论的研究”一文的解释
—兼对我微积分创新观点的进一步说明与强调（三）
第五、前述讨论，实际是解释传统微积分究竟何以可以求出导数，以及求出的导数究竟是什么（新导数定义）的。实际上，既然我们已经得到或明确了新的导数定义，那就可以完全基于这个定义去求新定义下的导数，而不必再依赖传统求法的非要针对有分母且分母上有自变量△x的增量比值函数去求，哪怕这个原先理解的△x实质是△g也罢。既然我们求的就是线性的（此时为切线的）增量函数的系数（斜率），那就直接从
（2z + △x）·△g = k（x，△x）·△g = （2z + △x）·1 = k（x，△x）·1去求好了。因为我们求的就是系数k，与△g无关。因此既然前面比式中得到△g/△g =1/1，那这里索性就令其为△g = 1算了。其实它等于什么，无任何关系，我们求的不是它，也与它无关，求的是其系数k，与△x有关。那么，好，既然所求k与△g 毫无关系，它等于什么都没事，那么，我们干脆就令其最终为0，也就是最终△g = 0，此时实际就可以是那一个切点。即由（2z + △x）·△g = k（x，△x）·△g ，当△x = 0与△g = 0时，最终得到0 = k（x，0）·0 = （2z + 0）·0。可是别忘了，我们求的就是式中的k，与其它什么为不为0无关，于是，就最终得到k = 2x。事实上，既然如此，而△g 又可以等于割线、切线上的任何两个点的增量（一个点的增量当然是0），那么最简单地，就可以令这个△g就等于其与曲线的两个交点差（增量），也就是写成（2z + △x）·△x = k（x，△x）·△x也无妨。当两个交点合二为一时，割线变切线，△x = 0，此时自然有0 = （2z + 0）·0 = k（x，0）·0。但注意，我们求的可是其中的k，它此时等于2x，如此而已。其它什么为0不为0的，与其无关。只是k中的那个△x会影响其数值。这个基于导数新定义的方法，也就是直接求切线增量方程的系数的方法，是迄今为止求导最简单的。也不可能还有其它方法比这更简单的了。总之，就是令增量函数式子最终等于0 = k（x，0）·0,而我们求的就是这里面的切线方程的系数k（x，0）。此法与传统微积分的区别，说起来可笑至极，传统微积分求导，实际求的是最终的0/0 = k（x，0），它是基于增量比值函数的，因此其中的那个0/0是怎么也摆脱不了的。极限法微积分号称是摆脱了，没有了，但是实际上还有。见笔者前面的论证既系列文章中更详尽的论证。这个极其简单的差异，却反映出对导数定义的本质差异：如果导数仅仅是切线方程作为一个线性方程的系数（在我的新导数定义下），则当然可以直接由0 = k（x，0）·0来求；但如果导数虽然只是在数值上“恰好”等于切线的斜率，但实质上却是曲线的固有性质，也就是必须由曲线上的点的增量比来决定，则当然只好由曲线的增量比去求，一如以往传统微积分（无论第一还是第二代）所认为的和所作的那样。这是从他们对导数的定义就可看出。他们都是把导数定义在曲线的增量比值函数上的，而不是像我一样定义在虽与曲线相关，但却本质上是定义在切线的增量函数上的。只有在这个认识上，才会有直截了当地求切线方程的系数这种想法进而求法。这看似不起眼的差异，却反映出两种“导数观”甚至“微积分观”、“数学分析观”的差异。而这种本质性的差异，我认为不仅仅是一个认识问题、理论的诠释问题。就像历来的认识论意义的创新一样，它当可有些后续的应用，甚至一些疑难问题的破解。就看谁会有足够的学术敏感性去捷足先登了。
补充：刚刚注意到李教授在近期另一篇文章中提到林群院士等的一篇文章中，介绍的Range的求导法。仔细看了下，居然与我在这里的0 = k（x，0）·0直接求导法完全一样。只不过我这里的k，他写成了q。由于k经常习惯性地表示成一个线性方程的系数，他故意不写k而写成q，有没有强调它还是曲线的什么特性的意思？也不知道他意识到没有导数的定义应该随之彻底改变，不改不行。我现在手头上资料不多，无法判断。但我估计他没有达到这个认识。而如果不把曲线的导数就认定（定义）为实际已经求出来的切线的斜率，而仍旧固执地认为是曲线本身的性质，只是数值与切线斜率一样（一般传统微积分就是这么认为的），那么，这个求出的切线斜率，对曲线而言究竟是什么？它是曲线在与切线的唯一一个交点处的增量比值吗？这个比值当然是0/0，不行。那是一个不可达极限？这就又有了一个这个增量比值函数（注意，是个有分母的比式）在0点的不可达极限为什么不也是0/0的问题。总之，问题仍旧没有从根本上解决。只是形式上把分母的问题暂时性地给掩盖了。因此，彻底的改变导数的定义、瞬时速度的定义，才是问题解决的根本。具体求法，除了这种最简的之外，还有其它的求法。正如笔者历次文章揭示的那样。
但不管怎样，我的“最简求导法”，是居然与Range的一致的。但或许，我对导数的实质意义比他明确，因此可以解释牛顿等的求法的实质。它为什么可以求出导数的原因。它的原先存在的矛盾（贝克莱悖论）是如何可以消除的。
7、既然极限法本质上有错，那么，笔者的诠释、定义，就不是可有可无的了。这是显然的。因此简而言之，笔者的诠释，既使得理论大为简化，还消除了传统理论中的矛盾（贝克莱悖论，笔者的另一个贡献是充分揭示了这个矛盾仍旧存在于以往被普遍认为已经没有了的第二代微积分中。见前面的简略讨论）。笔者等于是首先揭示其还有，再消除之。当然，以往认为第二代微积分中贝克莱悖论仍旧存在的人虽很少，但仍大有人在。但他们提出的论据不够充分，没有一击中的。而通过认清约分消分母的实质来彻底澄清这个问题的，应该只是笔者一人。
最后，笔者重申，根据笔者研究与揭示，极限法（严格而言应该是 “不可达极限法”）微积分求导不彻底抛弃是不行的。修修补补无济于事。倒是牛顿、莱布尼兹的所谓第一代微积分比较“地道”、“靠谱”。没有那么多的“花活”。只要澄清了与约分消分母有关的贝克莱悖论，把导数定义稍加改变（但确实是观念的改变。这点其实并不容易），就完全可以放心大胆地使用。返璞归真，这也是笔者的诠释、理论的本初与目的。应该说，它完全实现了。不可达极限法的第二代微积分的繁文缛节（好有一比：为赋新词强说愁），可以休矣。
马克思说，微积分求导完全不需要什么趋于一点又到不了一点之类的“昏话”（大意）。
罗素说，老师看不能令我们信服，就试图说服我们坚定不移的相信那些分明的“诡辩”。
欧拉说，导数就是该点之值，而不是不可达极限。（大意）
罗宾逊说：数学家对无穷小法非常苛刻，而对同样问题多多的极限法却宽容无比（大意）
莫绍揆说，自变量的微分等于其增量，肯定是错的。（大意）
哥德尔和吴文俊都说过，将来的分析，应该是非标准分析。他们没有明说，但其实对现在的所谓标准分析应该是有看法的。
注：哥德尔的说法是有据可考的。吴文俊的说法，为转述，出处尚未查到，待考。
我之所以老把这些无可争议的大人物抬出来，目的不言自明，无需我多解释。
最后，再一次感谢李红玲教授关注并部分肯定了笔者的研究。希望有机会对相关问题进行更进一步的交流。
参考文献
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[2] 沈卫国.论增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性.前沿科学，2017年03期.
[3] 方源,王元.微积分（上）.高等教育出版社，2014年7月第一版.
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[5] 沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述——不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报，2015年05期.
[6] 沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述（续）——不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报，2015年11期.
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[9].沈卫国.微积分求导问题考辩与新解（上）.天津职业院校联合学报.2018年04期.
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[12].[美]R.柯朗 H.罗宾.什么是数学——对思想和方法的基本研究（増订版）.复旦大学出版社.2005年5月第二版.
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[14].沈卫国.由1=0.99999..........与否引伸出的有理数、无理数的本质性定义问题以及无穷相关问题的讨论.国家科技图书文献中心预印本.2020年11月18日
[15].沈卫国.有关微积分的进一步讨论.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月3日
[16].沈卫国. 芝诺悖论、可达与不可达极限、无穷（无穷大、无穷小、实无穷、潜无穷、
1与0.9999........相等与否等相关问题与微积分.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月
[17].沈卫国. 微积分极限法（第二代微积分、标准分析）所必须正视与回答的问题.国家科技图书文献中心预印本.2021年1月
[18].沈卫国. 在新的导数定义下的无分母的、不会再有贝克莱悖论的直接求导法（修订稿） —————————高等数学初等化的必由之路及有效途径.国家科技图书文献中心预 印本.2021年1月
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[20]. 沈卫国. 再论与导数概念相关联的瞬时速度的新的定义及其相关问题
————兼论紧扣导数、瞬时速度新定义的新的直接求导方法.国家科技图书文献中心预印本.2021年2月
[21].沈卫国.新导数、瞬时速度定义及在此基础上的无矛盾最简直接求导法相关问题.国家科技图书文献中心预印本.2021年2月
【22】.李红玲.对不需要极限及无穷小概念的微积分新理论的研究.佛山科学技术学院学报（自然科学版）.2021年9月第39卷第5期
【23】.李红玲.一阶微积分理论近期发展的内容的比较分析.河南教育学院学报（自然科学版）.2021年6月.第30卷第2期
【24】.陈双、游春光、林群.Range的«微积分是什么？从简单代数到深入分析».数学的实践与认识.2017年1月.第47卷第2期
笔者近些年所写文章的检索方式
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5、进入“科学网”→搜“沈卫国”亦可。
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