【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1111》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

要承认客观存在可完成的无穷过程

它有无穷次但没有最后一次操作

评一阳生先生《1111》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

首先要说明，我们所说的无穷过程可以完成，是对集合论的解释和直观说明，这不是严格的数学推理和证明。数学定理的推理和证明要严格得多，每步推理都需要根据公理，定义，严格地遵照逻辑推理规则推出，步步不差，而且在有穷步推出。例如所有自然数集合这个无穷集合的存在，就要根据无穷公理，分离公理，以及自然数的定义等通过严格的推理才能得证。

我们所说的自然数这个无穷集合的生成过程是个无穷过程，它可以完成，只是对集合论的解释和直观说明，谈不上是证明，不要认为它是对这个集合存在的证明。一阳生先生评论说无穷集合的存在是得到证明的，如果要求对无穷过程的存在也要证明就是过分的要求。我们只要求在直观上承认在客观上存在可完成的无穷过程即可。不能说存在无穷过程，【从理论上和逻辑上来说，这是错误的。无穷是存在，没有过程。】这种说法不对，我们举小球的例子，就是解释和直观说明在客观上存在可完成的无穷过程。小球运动经过无穷个点的过程就是客观存在的无穷过程。你不能说在客观上不存在吧！

当然他最后还是承认【在客观世界中物理世界中谈论无穷过程及如何被完成，是可以的。】

总的来看，我对一阳生的观点，还是持肯定意見的。因为他的基本观点还是认为无穷过程是可以完成的。他承认【小球经过了全部无穷个点，无穷过程完成。】这一点很重要，就是他同意这个基本观点: 无穷过程是可以完成的。从而同认为无穷过程不能完成的观点是截然不同。

不过我也毫不隐瞒，对一阳生先生的有些观点，我并不同意。

(1)，一阳生先生说【如果我们对客观世界中的无穷过程的操作次数进行计数，会发现操作次数不是无穷次，并且有最后一次操作和有与其相对应的时空量。】

一阳生的记数方法是对的。小球的运动是匀速直线运动，小球经过的点是连续的，但是我们所说的【对小球经过的点数进行计数操作】，指的只是对经过我们所标注的这无穷个点。即坐标是0.9,0.99,0.999,...的这些点进行计数操作。

但是要知道这些点是无穷个点，虽然每次所记的数都是有穷数。但是所有点的个数是无穷的。怎么一阳生说【会发现操作次数不是无穷次】？显然说的不对，正确说法应是小球经过的点的操作次数不是有穷次，是无穷次。

另外，我们知道1并不在这无穷序列中间，这无穷序列并无最后一点，一阳生怎么说【并且有最后一次操作和有与其相对应的时空量】。因为1并不在这无穷个点之中，所以把经过1这个点看成是最后一次操作，这显然是非常错误的说法。正确的说法是，在到达1时，经过所有无穷个点的无穷过程就己全部完成。在经过的这无穷个点中並没有最后一个点。

(2)，既然经过1这个点不能算作无穷过程的最后一次操作。自然这个经过无穷个点的无穷过程就不能分成这样的两个子过程。说这个无穷过程是由第一子过程+最后一次操作形成的第二子过程，就不对了。

一阳生先生根据自己的主观臆想，糊里糊塗地按【小球在1点之前】和【小球到达1点】，将此无穷过程分为两个子过珵。说是在第一子过程，经过了有穷个点。而在第二子过程里【第二子过程，小球从1点之前到达1点。第一子过程中的剩余的无穷个点全部被经历，小球经过了全部无穷个点，无穷过程完成。】但是又说【经过剩余的无穷个点只须用【一次操作】即可全部完成】。公开声明【已对【到达1点】与【经过全部无穷个点】作了等价对应】。也就是说这个第二子过程就是【最后一次操作】，而且在这一次操作中【经过剩余的无穷个点】。

不用我来评价，一阳生先生的这个主观想像显然是矛盾重重，不符合事实的幻觉。怎么能在最后一次操作经历无穷个点，这个【1点之前】究竟在哪里？【1点之前】和【到达1点】到底是个什么关系。

关键还是个认识问题，缺乏对这个点的无穷序列有正确的认识。还是先从这无个点的无穷序列说起。

我们考虑的无穷个点，它们的坐标是a1=0.9,a2=0.99,a3=0.999,...,an=0.99...9(n位),....。对任何n，都有an<1。

显然这个无穷序列 a1,a2,a3,...，共有无穷个点，而且没有最大数。1并不属于这个序列，不是这个序列的最后一项。也就是说序列属于右开区间(0,1)，an∈(0,1)，区间并不包含右端点1。而且这个序列无限接近于1这个点，对1这个点是无限稠密的。即对任意小的ε≥0，序列an在区间(0,1-ε]中只有有限个点，但在(1-ε.1)中却有无穷个点。

有了以上准备知识后，我们就得出如下结论。这个无穷过程有三个特点:

①，序列an全在区间(0,1)之中，有无穷多个点。也就是说小球经历的是无穷个点。

②，当小球由0运动到1点，在小球到达1，但在此之前，即不包括经过1这个点，就经厉了序列的所有这无穷个点。也就是说，小球经历这无穷个点的无穷过程是可以完成的。

③，这无穷个点没有最后一个点。也就是说，完成这个无穷过程可以没有经过最后一个点。

此外我们看到，对任意ε>0，用小球到达1以前的这个点1-ε，来划分，可以将此无穷过程划分为两个子过程(0,1-ε]和(1-ε,1)。第一个子过程由0到1-ε，第二个子过程由1-ε到1。显然在第一子过程经历的an∈(0,1-ε]，共有有穷个点是有穷过程，在第二子过程经历的an∈(1-ε,1)，共有无穷个点是无穷过程，而且第二个子过程满足无穷过程的三个条件。

①，小球经历的是无穷个点。

②，小球经历这无穷个点的无穷过程是可以完成的。

③，完成这个无穷过程可以没有经过最后一个点。

也就是说，我也得出结论，这个经过无穷个点的无穷过程，对任何自然数n（令ε=1/10n，1-ε=0.9...9(n位) ），都可以分成两个子过程，经过前n个点的有穷过程是第一子过程，经过剩下的无穷个点的无穷过程是第二子过程。当然同一阳生的结论不同。一阳生的两个子过程是有穷过程+最后一次操作。这是不可能的。而我的结论两个真实的子过程是: 有穷过程+又一个无穷过程。面且这个无穷过程同样都满足我说的无穷过程的三个条件。得出这样的结论以后，你就觉得这种分法除了更深入地理解了无穷过程的特性外，实际上对我们讨论的无穷过程应满足的三个条件没有任何意义。

另外一阳生先生承认无穷集合的存在，但却认为生成无穷集合的生成过程和无穷过程不存在，这是毫无根据的错误观点。小球运动经过无穷个点的例子，正好就是解释和直观说明在客观上存在可完成的无穷过程。不少人就是通过这个例子，了解到无穷过程同有穷过程的不同，知道了无穷过程可以没有最后的操作而得到完成。

当然一阳生先生认为公理五【所有自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】为【明显不成立】的观点也是错误的。这是皮亚诺公理5的等价公理，可以严格证明。一阳生先生对证明不会有偏见吧，可以去仔细看看证明。

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