Zmn-1056 薛问天 : 错在把有穷到无穷看得过分简单。评李鸿仪先生的《1055》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《1055》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

错在把有穷到无穷看得过分简单。

评李鸿仪先生的《1055》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，把有穷到无穷看得过分简单。糊里糊塗地用【n→∞】，就以为把有穷变成无穷了。

发现一个观点是错误的，比较容易，但分析他为什么会发生这种错误，错误的核心和根源在哪里，却要费一番周折。我终于看清楚了，李鸿仪先生的错误的根子在于，错在把有穷到无穷看得过分简单。糊里糊塗地用【n→∞】，就以为把有穷变成无穷了。而且错误地就以为在有穷下成立的性质，无穷也是成立的。这在【长方形无限矩阵】这个问题上就看得很明显。

就以他文中开始举的例子谈起。

他说【例如将x-y平面的2个坐标各分成n和kn份，形成n*kn个网格。当常数k=1且n→∞时，构成了一个无限大的正方形矩阵；当常数k≠1时且n→∞时，则构成了一个无限大的长方形矩阵。】

显然对任何n，我们用An来表示由x-y平面分成的行数等于n，列数等于kn的有限网格矩阵。而且在k=1时是正方形矩阵，在k＞1时是长方形矩阵。对于n=1,2,3,...，An是一个有限矩阵的无穷序列。这一切都是准确无误的。

问题出在李说【当常数k=1且n→∞时，构成了一个无限大的正方形矩阵；当常数k≠1时且n→∞时，则构成了一个无限大的长方形矩阵。】

这里有两个错误。第1，糊里糊塗认为 n→∞，An就变成无限矩阵了。这是严重的错误。n→∞只是说明n可以变得任意大，网格可以任意小，並不能说明An可以变成【无限矩阵】。而且实数区间用这种n等分的方法根本分不成无穷个有序的等分点。要知道，用这种等分的方法形成不了【无限矩阵】。李先生你说这【无限矩阵】是什么矩阵？是网格矩阵还是点构成的矩阵？是哪些无穷个点构成【无限矩阵】？糊里糊塗以为就构成了【无限矩阵】，本身就是错误的，实践说明构成不了【无限矩阵】！

笫2点，还说是什么正方形长方形的矩阵则更是毫无跟据。

李先生的另一个例子，就是它把实数的序列(1)看作是无限矩阵。【用矩阵元素aij表示第i个第j位小数的值，则每个行向量表示了一个无限小数，】

然后说【当小数位数n→∞时，用数学归纳法可证（1）为一(2^n)＊n的长方形无限矩阵，】

我们知道，所有n位有限小数可以列为一个(2^n)＊n的有限长方形矩阵，如果我们用Bn表示。对于n=1,2,3,...，Bn形成一个有限长方形矩阵的无穷序列。这是没有问题的。问题出在李先生糊里糊塗地用n→∞，就说这个无穷序列Bn，就形成了所有无穷小数构成无限矩阵。这本身就是一个严重的错误，因为有限小数无论位数多大都构成不了无限小数，怎么能构成所有无限小数形成的无限矩阵呢？实际上证明中(1)是由【实数可数】的错误假定推出的，根本不可能是把全部无穷小数排成序列形成无限矩阵。

再加上说它是【长方形无限矩阵】，则更是毫无跟据的。

以上分析说明李先生把无穷㸔得太简单了，以为糊里糊塗，说声【 n→∞】有穷矩阵就变成无穷矩阵了。这就是他的错误所在！

二，正确认识【n→∞】的确切数学含义。

数学分析中说【n→∞】，是用在说【当n→∞时，数列{an}趋向于A或无穷大】(当n→∞时，an→A或an→∞)，含义是十分清楚的。例如如果说an是【趋向于无穷大】(an→∞)，是指数列{an}所具有的如下属性【对于任意正数M>0，总存在正整数N，使得当n﹥N时，|an|﹥M，】。即序列{an}中的数an，后面可以变得任意大，只要下标n足够大。但序列中每个下标n和αn都是有穷数。

也就是说n→∞并不是说序列an己经变成n=∞，而且a∞=∞了。

李先生的错就出在这里，在糊里糊塗地使用n→∞，以为用n→∞，就可以把有限矩阵变为无限矩阵。前面所说的An是行数等于n，列数等于kn的有限网格矩阵。对于n=1,2,3,...，An是一个有限矩阵的无穷序列。当n→∞时An这个矩阵的行数n和列数kn趋近于无穷大，意思是说这个序列An中的有限矩阵，后面可以任意大，但这个有限矩阵An不可能变成n=∞的无限矩阵。

同理Bn是n位有穷小数构成的(2^n)*n有限矩阵，用n→∞只能说明Bn中的有限矩阵，后面可以任意大，并不能使Bn变成n=∞的无穷小数的无限矩阵。

也就是说，在数学分析中，极限只对实数序列有定义。无穷集合并不是有穷集合序列在n→∞时的极限，无限矩阵也不是有穷矩阵序列，在n→∞时的极限。要知道，无限矩阵是定义为行标和列标都是无穷集合的矩阵。由于无限集合没有【元素数目】的数学概念，不能用行标和列标【元素数目】的相等和不等来区分，从而只有无限矩阵的概念，并无无限大正方形和长方形的定义。

李先生说A是一个无限大正方形，然后把每一行变成两行，形成成B。就认为B是无限大长方形。而且说【用数学分析的方法可证明，B的行数是其列数的两倍，】

要知道在无限集合的【元素数目】没有具体定义时，就没有无限大正方形和长方形的具体概念。上面这些论述全是错误的。

三，关于自然数集合的唯一性。

什么叫集合的同一，A的所有元素都是B的元素，反之B的所有元素都是A的元素，就叫做A和B是同一个集合。

请问李先生，你认为哪个自然数集合能不与自然数集合同一？它包含有非自然数吗，还是有某个自然数它没包含？你说说看。

李先生对他的错误命题【命题1 自然数集合不是唯一的.】的证明，错就错在不存在【长方形无限矩阵】，行标集合和列标集合都是无限集合，无限集合没有【元素数目】可以比较大小。所以不存在【长方形无限矩阵】。

四，关于康托尔的对角线证法。

关于李先生认为康托并没有做到b不在(1)中的解释也是错误的。这里要证明的是任意αk都不等于b。这里的k=1，k=2，...。这个k是什么？它是指的任意行标。只要能证明对任意行标k，αk都不等于b，就证明了b不在序列(1)中。

要知道(1)这个序列是根据实数可数的假定，实数同自然数一一对应的双射来排列的，并不是根据有穷小数的位数的不断增多来排列的。正如我在文中所说， 〖(2)，既然【对行标中任何自然数k，在列标中存在自然数k】，那么对任何小数ak就有它的第k位akk，和b的第k位bk，使bk≠akk，从而ak≠b。这就说明序列的任何行ak都不等于b，所以b不在序列中。〗

所以李先生说【当小数位数k任意大时，对角线只能保证b不等于2^k个小数中的k个小数，并不能保证b不等于另外2^k-k个小数，......康托无法保证b不同于（1）中任一个小数。】的说法是错误的。

李先生你所说的是有限矩阵的情况。对有穷小数的有限矩阵，如果行数大于列数，所说的【对角线只能保证b不等于2^k个小数中的k个小数，并不能保证b不等于另外2^k-k个小数，】，不能保证的原因就是对有穷小数的有限矩阵，不能保证【对行标中任何自然数k，在列标中存在自然数k】，而是【行标中有大于k自然数k´，在列标中不存在这个自然数k´】，因而证明不了ak´不是b。

我们现在讨论的是无限矩阵，而且己经证明，同时你也承认【对行标中任何自然数k，在列标中存在自然数k】，从而序列中的任何ak都不等于b。你的【不能保证b不等于另外2^k-k个小数，】，的质疑已完全失效，你还有什么理由可讲。

要知道所谓的无限长方形矩阵完全是你主观臆想的概念，根本并不存在。你能质疑我所说的推理〖(2)，既然【对行标中任何自然数k，在列标中存在自然数k】，那么对任何小数ak就有它的第k位akk，和b的第k位bk，使bk≠akk，从而ak≠b。这就说明序列的任何行ak都不等于b，所以b不在序列中。〗哪里有错？指不出错误，就应承认康托尔证明了〖序列的任何行ak都不等于b，所以b不在序列中。〗

李先生最后说【严肃的科学不允许引入任何未经证明的命题】。说得非常正确。李先生的错误就在于逻辑的混乱，糊里糊塗地乱用未加定义的概念和出错的证明。

全体自然数的存在性和唯一性都是可由集合论公理严格证明的属性。李先生竟然说它们【在传统集合论中都只是没有经过严格证明的信念甚至愿望】，显然是非常不符合实际的论断和无知的表现。全体自然数集合的存在性可由无穷公理和分离公理证明。全体自然数集合的唯一性可由外延公理容易证明。这都是集合论中最基本的知识。

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