函数拟合

   现实中各种各样的问题都可以归结为函数问题。比如医生诊断疾病，他得到病人检查的各种参数，体温、血压、血检报告和CT扫描的各种数据等，然后判断他是否健康，还是得了什么病。这个例子里，各种参数就是函数的自变量，病人的健康情况是函数值，比如健康是0，有病是1，也可以更具体，肝病是1，胃病是2等。又比如识别物体，输入的是物体的像素数据，输出的是物体的类别，是猫是狗，还是苹果梨子等。

机器学习是从样例中总结出规律，本质上是函数拟合。从有限的样本中得到一个函数，使它能拟合样本数据，然后把它应用到新的样例中。我们学习知识的过程也类似。比如我们每次见了狗，都跟小孩子说这是一条狗，经历过几次后，小孩子就能总结出规律，知道狗是什么样子，以后出现未见过的狗，他也会判断。

神经元模型

人工神经网络的研究受到了真实神经网络的启发。神经元是人工神经网络的基本要素，它表示为：

Sum是求和函数，x1、x2……xn是输入，w1、w2、……wn是权重：

Sum（x1，x2，……，xn）= w1x1 + w2x2 +……+ wnxn + b

f是激活函数。最简单的激活函数是符号函数，如下：

所以这个神经元模型表示的函数是：y=f (x1，x2，……，xn)

                                    =f (w1x1 + w2x2 +……+ wnxn + b)

线性划分

上面的神经元模型虽然简单，但它可以实现很多函数。比如可用它来表示大部分布尔函数。用1和-1分别表示真和假。设置w1=w2=0.5，b=-0.8，这时神经元是逻辑AND函数。将b改为-0.3，则变成OR函数。但它无法表示XOR函数（当x1≠x2时，输出为1，否则为0）。

由于这个神经元函数是线性函数，所以可以把它看作是n维空间的超平面决策器。对于超平面一侧的样例，神经元输出1，另一侧则输出-1。

当空间的点是线性可分时，可用神经元划分，否则不行。比如下面的左图，红色的点和蓝色的点可用一根直线分开，这些点可用神经元分类，而右边是XOR函数，无法用直线分开。

其他激活函数

激活函数除了是符号函数外，还有很多其他函数，比如阈值函数，sigmoid函数，双曲正切函数等。加入非线性的激活函数可用来分类那些线性不可分的点。

sigmoid函数：

多层网络

单层网络的功能太弱，引入多层网络，除了输入层和输出层外，其他的层是隐藏层。

前馈神经网络是最基本的多层网络，上一层的神经元和下一层的每个神经元都有连接，不能跨层连接，同一层的也不连接。可以看出这实质上是个复合函数。

除了前馈神经网络外，还有其他类型的网络，它们不遵守上面的这些限定。

前馈神经网络

学习算法

教小孩子什么是苹果，先告诉他这几个是苹果，他自己会总结出一些特征。当出现一个梨子时，他若判断为苹果，就告诉他这是错的。他会根据这个梨子和苹果的差异，修改他关于苹果的认知，这样反复几次后，就会掌握苹果这个概念。

学习算法是神经网络中最核心的要素，神经网络的学习和上面小孩子的学习有些相似。学习的目的是获得网络连接的正确权值。有各种各样的学习算法，反向传播算法是很重要的一种。它将网络输出和正确的函数值进行比较，根据两者的差异修改权值，再将修改后得到的网络输出和正确值比较，再根据差异修改，这样多次重复，逐渐缩小两者的差异。

下面是反向传播算法的图示，图中的f(x)是激活函数。

图片来源：http://galaxy.agh.edu.pl/~vlsi/AI/backp_t_en/backprop.html