大自然安排的天体布局，永远根据同一原理，这些原理在地球上如此奇妙地适合于个体的生存和物种的永存。

——拉普拉斯

虽然水星近日点的进动很有意思，而且这个方法也可以用来像勒维列那样预言海王星，但是，计算还是有点繁琐（主要是敲公式太烦了）。更重要的是，这个东西吧，懂的人看不上，看的人恐怕不一定读得懂。

就算自己做了个练习题，再做个备忘录吧。

为了展示大学普通物理和微积分的威力，我们考虑水星近日点的进动问题，因为它确实没有解析解，但是可以用近似方法得到相当精确的结果。

水星绕太阳公转是个偏心率$e=0.2$的椭圆轨道。如果只考虑太阳和水星的引力作用，这个轨道是闭合的，但是，因为太阳系里其他行星的引力作用，水星轨道的近日点在进动：每一百年进动的角度是5600角秒。其中，5000角秒来自于观测坐标系的变化，地球的自转轴在进动，每年50角秒，每一百年就是5000角秒。剩余的600角秒里，经典力学的计算可以得到500多角秒。准确地说，经典力学的计算结果和观测值的差别是每一百年43角秒，这个差别必须用爱因斯坦的广义相对论来解释。

用经典力学的方法来计算这个进动值，看看木星对水星近日点的影响（木星是太阳系里质量最大的行星，大约是太阳质量的千分之一）。需要明确的是，这是个三体问题，太阳、水星和木星彼此都有相互作用，不存在精确解。但是，因为木星对水星的引力很小（只有太阳引力的百万分之一），水星对太阳和木星的影响更是可以忽略不计，所以，这个问题是可以近似求解的。

现在是一周以后了。计算还是挺烦的，而且公式太多，敲不过来了，只好上照片了。下面是简单的总结：

用大学一年级的力学和微积分知识，计算了水星近日点的进动，达到了20%的精度：天文观测值（减去地球的岁差）为560角秒，经典力学的计算结果应该是500角秒多一点（剩余的43角秒来自于广义相对论的修正），这里做的一阶微扰的计算结果是400角秒。

计算的梗概如下：目录；问题描述（第1页）；运动方程（第2页）；太阳和水星的两体问题（第3页）；行星对水星近日点进动的影响（第4-8页）；太阳非球状对水星近日点进动的作用（第9-12页）；行星引力的常数部分对进动没有贡献（第13页）；总结（第14-15页）。

这里计算的是水星近日点进动的一阶微扰。主要结论是（第14页）：

水星公转轨道的离心率（$e=0.2$）是进动的主要原因。

行星的贡献是每百年进动角为（第7页）

$\approx \frac{-417}{2}\frac{m}{M}\frac{a^3_0}{a^3_p}(1-e^2)9e^2 \pi$

$\approx -2.45 \times 10^7 \frac{m}{M}\frac{1}{a^3_p}$ （角秒）

其中，$m$和$M$是行星和太阳的质量，$a_0$和$a_p$是水星和行星的公转轨道半长轴，$e$是水星轨道的离心率。

主要贡献来自于木星（质量最大，每百年167角秒）、金星（离得最近，158）和地球（74角秒）。见第8页。

太阳非球形的贡献在于，提供了一个负3次方的吸引势（负4次方的吸引力）

$U\approx -M\frac{1.4\times 10^{-5}r^2}{R^3}$

如果认为太阳密度是均匀的，则其贡献为每百年41角秒（第12页）。不幸的是，这个角度是正的，与行星的贡献具有相反的符号。

行星引力的常数部分没有贡献（第13页），只是把水星的能量增大了一些，但不会改变椭圆轨道的性质（我们观测到的水星轨道是最后的总结果）。

关于计算方法的一些说明（第15页）：

这里只考虑了经典力学的一阶微扰。系数算的也不一定很准。

没有考虑行星轨道的离心率。

这个方法应该是PLK方法的简陋版（Poincare-Lighthill-Kuo，P是庞加莱，K是郭永怀）。

误差大约是20%。由计算过程，可以看出如何进行误差分析和进一步的改进措施（经典力学部分）。现在这个计算结果，不足以显示相对论的贡献——还差了100多个角秒呢。

经典计算的结果与天文观测值的差别是每百年43角秒，这就是爱因斯坦广义相对论的修正值。

最后补充一点：广义相对论的概念很不一般，计算其实很简单的，以后再说。

水星近日点的进动.pptx